Применение интеграла

Тема: Применение интегралов для решения геометрических и физических задач.

Цель: изучить области применения интеграла, развивать навыки применения анализа, синтеза, обобщения, умения делать выводы, развивать сообразительность, наблюдательность

Тип занятия: обобщение и систематизация знаний по теме.

Ход и структура занятия

Актуализация знаний.

1. Что называется криволинейной трапецией?

2. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на I?

3. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?

4. В чем заключается основное свойство первообразной?

5. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их первообразных»?

6. Что называется неопределенным интегралом?

7.Что называется определенным интегралом?

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции

формула Ньютона – Лейбница

 путь, пройденный телом

Прирост численности популяции N(t) за промежуток времени от t₀ до T равен  .

Объем тела вращения 

Примеры и разбор решения заданий.

№1. Найти объем тела вращения вокруг оси 0х, ограниченной прямыми у=0, х=0ю у= х², х=4.

Решение: Построим тело вращения, образованного вращением фигуры вокруг оси 0х

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. 

и формулой нахождения объемов тел вращения. 

Далее подставляем значения в формулу и рассчитываем объем тела вращения.

Ответ 51,2 ед³

№2. Сила в 1 Н растягивает пружину на 3 см. Какую работу она при этом производит?

Решение.

Если F–сила, А – работа S– перемещение, то F = A’(S).

Обратимся к физике.

По закону Гука сила пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F = kx, где k – коэффициент пропорциональности, х – величина растяжения или сжатия.

Используя данные задачи, найдите коэффициент k. Подставим данные в задаче величины в уравнение, выражающее закон Гука. Получим:  .

Следовательно, сила, растягивающая нашу пружину, выразится следующим образом: .

Так как сила начинает действовать на пружину в состоянии покоя, то работа 

Ответ: 0,015 Дж

№3. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м³), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4 м x 0,7 м.

Решение.

Выберем систему координат так, чтобы оси Оy и Оx соответственно содержали верхнее основание и боковую сторону вертикальной стенки аквариума. Для нахождения силы давления воды на стенку воспользуемся формулой

Р=

Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f(x)=0.7x, xϵ [0;0.4]  Так как пределы интегрирования а=0 и b=0,4, то получим:

Ответ: 549 Н

№4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой  . Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Решение.

Физический смысл производной: если тело движется по закону S = S(t), то скорость тела в момент времени t₀ равна значению производной функции S(t) в этой точке, т. е. v = S’(t₀). Тогда обратное утверждение: если скорость движения тела задана уравнением v = v(t), то путь, пройденный телом от момента времени t = a до момента времени t = b равен  . Подставим уравнение скорости в формулу и рассчитаем путь.

Ответ 150м.

Итак, интеграл применяют:

Домашнее задание

Выполнить задания:

1. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)= 16t – 4t² (м/с). Найти длину пути, пройденного телом от начала движения до его остановки.

2. Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной равен  2х.