Презентация по теме Испытания Бернулли

Приветствие. Сегодня мы изучим модель Бернулли — основу теории вероятностей для серий независимых опытов. Обсудим, почему важно постоянство условий и как наличие всего двух исходов упрощает расчеты.

Испытания Бернулли

Независимые повторные испытания с двумя исходами

Математика · 9 класс

Важно подчеркнуть два условия: неизменность вероятности p в каждом испытании и независимость испытаний друг от друга. На схеме показано распределение вероятностей для примера p=0,4 и q=0,6.

Испытание Бернулли

Пример

На предыдущем слайде дано определение: «Случайный опыт с двумя исходами: успехом (вероятность p) или неудачей (q = 1 - p), не зависящий от других опытов». Вариант А не подходит, так как без возврата вероятность меняется. Вариант В не имеет двух четких исходов с постоянной вероятностью.

Ответ: Б, 10 бросков кости: выпадение 6 или нет. Здесь два исхода (6 или не 6), и вероятность успеха не меняется от броска к броску.

Какая ситуация является серией испытаний Бернулли?

А

Б

В

Выбор 3 карт из колоды без возвращения

10 бросков кости: выпадение 6 или нет

Температура воздуха в течение недели

Формула позволяет вычислить вероятность того, что в серии из n независимых испытаний Бернулли успех наступит ровно k раз. Напомните ученикам, что p и q в сумме всегда дают единицу. Эти данные понадобятся для решения задачи на 9-м слайде.

Формула Бернулли

Обратите внимание

Предложите ученикам записать этот алгоритм в тетрадь как универсальный план действий. Обратите внимание, что сначала важно проверить, являются ли испытания независимыми и остается ли вероятность p неизменной.

Алгоритм решения задач

1

2

3

4

Разбираем классический пример с симметричной монетой. Напоминаем, что вероятность выпадения орла и решки одинакова и равна 0,5. Обращаем внимание на расчет сочетаний C из 5 по 2.

Монету бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

Решение:

Дано:

n = 5

k = 2

p = 0,5

P₅(2) = 10 · 0,5² · 0,5³

q = 0,5

P₅(2) = 10 · 0,5⁵ = 10 · 0,03125

P₅(2) — ?

P₅(2) = 0,3125

Ответ: 0,3125

Рассматриваем ситуацию, когда испытания Бернулли проводятся до тех пор, пока не наступит первый успех. Вероятность того, что успех произойдет ровно в n-м испытании, вычисляется по формуле P = qⁿ⁻¹ · p. Это означает, что первые n-1 раз случилась неудача, а в последний раз — успех.

Серия до первого успеха

1-е испытание

2-е испытание

...

Повторение неудач

Разбираем случай, когда успех (брак) происходит ровно на 3-м шаге. Это значит, что первые два испытания закончились неудачей с вероятностью q = 0,9. Обратите внимание, что для решения задачи про стрелка на 10-м слайде используется та же логика: q · q · p.

Дано:

Решение:

p = 0,1

P(3) = q · q · p

n = 3

P(3) = 0,9 · 0,9 · 0,1

q = 1 − p = 0,9

P(3) = 0,9² · 0,1

P(3) = 0,081

P(3) — ?

Ответ: 0,081

Ученики должны применить формулу Бернулли со слайда 4: Pn(k) = Cn^k · p^k · q^(n-k). Важно не забыть вычислить вероятность неудачи q = 1 - p. Ответ: 0,4096.

Решение: q = 1 - 0,8 = 0,2; C₄³ = 4!/(3!(4-3)!) = 4; P₄(3) = 4 · 0,8³ · 0,2¹; P₄(3) = 4 · 0,512 · 0,2 = 0,4096

Ответ: 0,4096

Дано:

n = 4

k = 3

p = 0,8

q = 0,2

P₄(3) — ?

Решите в тетради

Задание на закрепление модели серии испытаний до первого успеха, разобранной на примере с бракованной деталью: P(3) = q q p. В данном случае q = 0,3, а p = 0,7.

Ответ: Б, 0,3 · 0,3 · 0,7. Событие означает две неудачи (q = 1 - 0,7 = 0,3) и один успех в конце.

А

0,7³

Б

0,3 · 0,3 · 0,7

В

0,3 · 0,7