Предел последовательности

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

10 класс

а) 1, 2, 3,…,n,….

(-1) n+1 /n

б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…,

в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n,…

Любое число в совокупности имеет номер

в соответствии с тем местом , которое оно

занимает и от него зависит.

Пример: n=12

а) a 12 =12

б) b 12 =-1/12

в) c 12 =sin 12

ОПР. Совокупность чисел , каждое

из которых имеет свой номер n є N

и от него зависит, называется

числовой последовательностью.

X n ={X 1 ,X 2 ,…,X n }

a n ={a 1 ,a 2 ,…,a n }

Задать числовую последовательность, значит указать как отыскивается любой ее член, если известен номер занимаемого им места.

• Описание

( x n )-последовательность приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001…

√ 2=1,1421356…

( X n )= {1, 1 ; 1, 14 ; 1, 142 ; 1, 1421 ;…}

2 . Формула n -го члена.

Формула, позволяющая найти любой член последовательности по его номеру

Назовите первые 5 членов последовательности ( X n ) = n ²

3. Рекуррентные соотношения

Заданы несколько первых членов, остальные члены последовательности определяются через предыдущие по некоторому правилу

АП: a n =a n-1 +d ГП: b n =b n-1 *q

(a n ) a 1 =0 a 2 =1 a n =a n-1 +a n-2

0,1,1,2,3,5,8,13,21,.-числа Фибоначчи

Виды последовательностей

Конечные, бесконечные, монотонно убывающие, монотонно возрастающие, знакочередующиеся.

Рассмотрим последовательность площадей правильных многоугольников,

вписанных в окружность:

S 3

S 4

S 5

S 6

S 8

lim S n = S кр = п r 2

n → ∞

1/4

1 /2

1/16

1/8

1/32

lim 1/ 2 n = 0

n→∞

1+1/2; 1-1/2; 1+1/3; 1-1/4;…

a n =

1+

(-1) n+1 /n

2; 1 / 2; 1 1 / 3; 3 / 4; 1 1 / 5; 5 / 6; 1 1 / 7; 7 / 8;

a 1

a 4

a 3

a 2

a 5

a 8

a 9

a 6

a 7

a 10

2

1

0

| a n -1 | → 0 при n→∞

Опр. Окрестность числа а – это окружность

(а, r= Е) (Е-достаточно мало) отсекающая на

числовой прямой интервал

( а- ε ; а+ ε )

а+ ε

а- ε

а

х

Выберем некоторую окрестность точки 1,

начиная с некоторого номера N , конечное

число членов числовой последовательности

остается за пределами интервала (1- ε ; 1+ ε ),

а все остальные члены ( a n )-внутри

а

1

0, n 0 │ Nn 0 |a n -a| n→∞ " width="640"

А

Е

ОПР. Число а называется пределом

числовой последовательности, если для

любого положительного числа Е

существует номер N , такой что все члены

последовательности, начиная с N попадают

в интервал (а- ε ; а+ ε )

a= lim a n ‹═› ε 0, n 0 │ Nn 0 |a n -a|

n→∞