Построение графиков функций, содержащих модуль.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ С МОДУЛЕМ

(методическое пособие по курсу алгебры 8-9 классов)

Чернышев Эдуард Николаевич,

учитель математики

МБОУ СОШ №6

ВВЕДЕНИЕ Построение и «чтение» графиков функций представляет наиболее интересную , познавательную, но сложную часть алгебры. Не секрет, что изучение функции, опирающееся на ее график, становится более наглядным и полным. Изучение модуля в школе не ограничивается только вычислением значений соответствующих выражений, решением уравнений и неравенств с модулем. При подготовке к ОГЭ в 8-9 классах мы встречаем задания на построение графиков функций, содержащих один или два модуля; при этом подмодульное выражение может представлять собой линейную или квадратичную функции. А вот в материалах школьных олимпиад уже встречаются задания на построение графиков функций, подмодульное выражение которых содержит иррациональность, степень и др. В связи с этим мы определили цель исследования: выяснить общие подходы к построению графиков функций, содержащих модуль. При этом мы предположили, что методы построения графиков функций зависят от количества модулей и вида подмодульного выражения в задающих выражениях. Средством достижения цели является подробный разбор построения графиков функций, содержащих модуль.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЕДИНСТВЕННЫЙ МОДУЛЬ

Построение таких графиков не предполагает «движение» графика вдоль осей координатной плоскости.

Задание № 1. Построить график функции 

В “основе” его лежит график функции

и все мы знаем, как он выглядит:

Чтобы получить график функции , достаточно всего лишь сдвинуть полученный ранее график на три единицы вправо. Заметим, что, если бы в знаменателе дроби стояло бы выражение х+3, то мы сдвинули бы график влево:

Теперь необходимо умножить на два все ординаты, чтобы получить график функции

Наконец, сдвигаем график вверх на две единицы:

Далее отражаем симметрично вверх (относительно оси абсцисс) ту часть графика, ординаты точек которой отрицательны:

Задание № 2. Построить график функции

Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х= . При х функция выглядит так:

При х функция выглядит так:

То есть прямая х= делит координатную плоскость на две области, в одной из которых (правее) мы строим функцию 

а в другой (левее) – график функции

Строим график:

Таким образом, при построении графиков функций, содержащих один модуль, необходимо: строить график исходной функции, а далее,- осуществлять его перенос вдоль осей координат; либо искать «пограничные» прямые (определяемые точками излома) и строить соответствующие графики в каждой части координатной плоскости.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВА МОДУЛЯ

Задание № 3. Следующий график – также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля:

Подмодульные выражения меняют знак в точках излома:

Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой:

Раскрываем модули на первом интервале:

На втором интервале:

На третьем интервале:

Таким образом, на промежутке (-∞; 1.5] имеем график, записанный первым уравнением, на промежутке [1.5; 2] – график, записанный вторым уравнением, и на промежутке [2;∞) – график по третьему уравнению:

Строим график функции:

Обращаем внимание на то, что допустимо включение точек излома только в один из промежутков. включение

Задание № 4. Построить  график функции

В основе - график функции

но, если в знаменателе x стоит под знаком модуля, то график имеет вид:

Теперь произведем сдвиг на три единицы, ,при этом сдвинутся обе части: правая – вправо, левая – влево; при этом в полосе от -3 до 3 образуется перевернутая латинская буква U:

График этой функции, умноженной на два ,выглядит так:

Теперь можно поднять график по оси у:

и тогда он будет таким:

Наконец, строим окончательный вид графика, отражая все, что ниже оси абсцисс, вверх:

Таким образом, при построении графиков функций с двумя модулями: разбивают плоскость на пограничные участки и строят графики соответственно полученным функциям; либо строят график исходной функции, а затем преобразуют его в требуемый.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КОМБИНАЦИИ МОДУЛЯ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ ЛИБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Задание № 5.Построить график функции

В точках 2 и (-2) знак подмодульного выражения меняется, поэтому график состоит из трех кусков (точки 2 и (-2) выколоты).

На промежутках  (-∞; -2) и (2; ∞) справедливо первое уравнение, а на промежутке (-2;2) – второе:

Задание № 6. Две следующие функции отличаются знаком, и графики их выглядят по-разному:

Задание 7. Еще два похожих графика, вид которых меняется в зависимости от х в показателе степени:

Первый:

Второй:

 

Задание № 8.Теперь построим график такой функции:

Здесь точкой перемены знака подмодульного выражения является х=4. Тогда на промежутке (-∞; 4] функция выглядит так:

А на промежутке [4; ∞)  так:

Вершина первой параболы (2;-12), сама парабола обращена вниз ветвями; вершина второй параболы (6, -20), а ветви параболы обращены вверх. В итоге имеем:

Задание № 9. Построить график функции

Многочлен в числителе раскладывается на множители:

Точки перемен знака подмодульных выражений – 4 и (-2). Точки эти (они выколоты) разбивают числовую прямую на три интервала, на которых данная функция будет выглядеть:

На интервале (-∞; -2):

На интервале (-2;4):

На интервале (4;∞):

Строим график:

Задние № 10.Внесем небольшие изменения, добавив двойку в знаменатель исходной функции:

Тогда точки перемены знака остаются те же, но функция выглядит иначе на разных интервалах:

На интервале (-∞; -2):

На интервале (-2;4):

На интервале (4;∞):

График изменится:

Задание № 11. Построить график функции

Начнем построение с “базовой” для этого графика функции

она выглядит так:

Далее добавим знак модуля под корень:

Теперь опустим этот график вниз на 4 единицы по оси у:

Заметим, что график пересекает ось абсцисс в точках (-16; 0) и (16;0).

Отразим все, что ниже оси х, вверх, и разделим все ординаты на 2:

Таким образом, при построении графиков функций в описанных случаях исходным положением является нахождение точек излома (или нулей подмодульного выражения); далее: разбивают плоскость на пограничные участки и строят графики соответственно полученным функциям; либо строят график исходной функции, а затем преобразуют его в требуемый посредством переноса вдоль осей или отображение в другую полуплоскость..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Материалы исследования показывают, насколько многообразно множество функций с модулем: модуль может выступать как отдельная единица задающего выражения, либо как базовая модель. При этом в выражениях разнится количество модулей, вид подмодульного выражения, а также включенность точек излома в график исходной функции.

Однако, общим для всех процедур построения графиков является следующее:

а) определение пограничных прямых;

б) определение точек излома (в которых подмодульное выражение меняет знак);

в) возможное построение требуемого графика через движение базового графика (движение вдоль осей координат либо осевая симметрия).

Следование этим общим подходам позволит восьмиклассникам и девятиклассникам, более осознанно и безошибочно строить графики функций, содержащих модуль. Это касается не только школьной алгебры, но и вопросов подготовки к ОГЭ, олимпиадам и конкурсам по математике.

ЛИТЕРАТУРА

1. https://easy-physic.ru/postroenie-funktsij-soderzhashhih-modul/

2. https://pandia.ru/text/78/587/51058.php

3. Абсолютная величина. М.: Просвещение, 1968.

4. Виленкин Н. Я. « Функции в природе и технике » - М. Просвещение, 1985

5. Гельфанд И. М. и др. « Функции и графики » - М. Наука, 1973

6. Математика 8-9 классы. Выпуск 2. Сборник элективных курсов. Волгоград: Учитель, 2007. Построение графиков некоторых функций. Журнал «Математика в школе», №3-1995г.

7. Пичурин Л. Ф. « За страницами учебника алгебры » - М. Просвещение, 1999

8. Программа для построения графиков функций https://www.softsalad.ru/software/znaniya/matematika-i-nauka/graph

9. Садыкина И. « Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля » - Математика №33, 2004

10. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. И. Л. Никольская – М. Просвещение, 1991

11. Фальке М. Решение сложных тем курса алгебры в средней школе. М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2002.

3