Последовательности

Тема: Последовательность.

Записать конспект

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям: для каждого натурального числа существует элемент данного множества; это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности; для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент. х_n=f(n), x₁,x₂, x₃, x₄…

Различают:

1) постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1... 

2) возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего: 2,4,6,8,…

3) убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего: 10,9,8,7…

Арифметическая прогрессия

Последовательность а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆, а₇…а_n, в которой каждый последующий член можно найти, если к предыдущему прибавить одно и то же число d, называется арифметической прогрессией.

Число d называется разность арифметической прогрессии.

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… - арифметическая прогрессия, где d=2 (так как, d=а₂- а₁=3-1=2).

Формулы

а_n= а₁+ d(n-1), d= а_n+1 - а_n, S_n =(а₁+ а_n):2·n.

Геометрическая прогрессия

Последовательность b₁, b₂, b₃, b₄, b₅,… b_n , в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q, называется геометрической прогрессией.

Число q называется частное геометрической прогрессии.

Пример: 1, 3, 9, 27, 81… - геометрическая прогрессия, где q=3

(так как q= b₂:b₁=3:1=3).

Формулы

b_n = b₁· q^n-1, q = b_n+1: b_n, S = , S = .

Предел числовой последовательности

Число А называют пределом числовой последовательности  y_n,  если для любого  ε 0 существует номер члена последовательности N(ε) такой, что для всех n N(ε) выполняется неравенство | y_n-A| ε . Обозначают:

Читают: предел числовой последовательности y_n при n стремящемся к бесконечности, равен A.