Последовательности

Числовые последовательности

• 1,3,5,7,9,…
• 2,4,6,8,10,…
• 5,10,15,20,25,…

Число + последовательность

_____________________

числовая последовательность

Математические модели ситуаций реальной жизни:

Тело падает с башни высотой 26 м.

В первую секунду оно проходит 2м, а за каждую следующую секунду – на 3м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд тело будет падать ?

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении 1 мин одна из них делится на два.

Записать колонию, рожденную одной бактерией за 1 час, 2 часа.

Из пункта А выехал грузовой автомобиль со скоростью 40км/ч. Одновременно из

пункта В навстречу ему отправился второй грузовик, который в первый час прошел

20 км, а за каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий.

Через сколько часов они встретятся, если расстояние от А до В равно 125 км?

Некто открыл счет в Сбербанке России, положив 10 000руб.

Какая сумма окажется на счету у клиента банка через месяц, 2 месяца, 6 месяцев, 12 месяцев, если банк ежемесячно начисляет 1%?

Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

П

Р

О

В

Е

Р

Ь

С

Е

Б

Я

½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;

1; 4; 7; 10; 13; …

Увеличение

на 3 раза

В порядке возрастания

положительные нечетные

числа

Чередовать увеличение

на 2 и увеличение в 2 раза

10; 19; 37; 73; 145; …

В порядке убывания

правильные дроби

с числителем, равным 1

1; 3; 5; 7; 9; …

5; 10; 15; 20; 25; …

6; 8; 16; 18; 36; …

В порядке возрастания

положительные числа,

кратные 5

Увеличение в 2 раза

и уменьшение на 1

• Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

• Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.

Определение .

Функцию y = f ( x ), x є N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f ( n ) или y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n ,…

y 1 – первый член последовательности,

y 2 - второй член последовательности,

y 3 - третий член последовательности,

y n - n -ый член последовательности,

n - индекс, который задает порядковый номер

Обозначение членов последовательности

1, 2, 3, 4, 5, …, n-1, n, n+1,…

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , …, a n-1 , a n , a n+1 ,…

Обозначение:

• а 1 , а 2 , а 3 ,…,а n ,…
• с 1 , с 2 , с 3 ,…,с n ,…
• х 1 , х 2 , х 3 ,…,х n ,…
• y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n ,…

Последовательностью называется

множество пронумерованных элементов.

Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать

Дни

недели

Дома

на улице

Классы

в школе

Названия

Номер

счёта

в банке

месяцев

Словесный способ

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

• Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
• Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
• Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...

Аналитический способ

Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

• Последовательность чётных чисел: y = 2n.
• Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n 2 ;
• Стационарная последовательность: y = C;
• Последовательность y = 2 n ;

Рекуррентный способ

Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.

•   Арифметическая прогрессия: a n+1 =a n +d, где d - разность арифметической прогрессии.
• Геометрическая прогрессия: b n+1 = b n q, q – знаменатель геометрической прогрессии.
• Последовательность Фибоначчи. y 1 =1, y 2 =1,y n-2 +y n-1 , если n=3, 4, 5, 6, ... . Она будет иметь вид: 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .

• Наиболее распространенным способом задания является задание последовательности с помощью формулы

Виды последовательностей