Россия, Тамбов
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Был в сети 29.10.2026 19:04
Мельник Павел Викторович
Преподаватель математики и основ программирования на Python
1 992
37 013 
Местоположение
Специализация
Понятие предела функции
Категория:
Математика
19.01.2020 13:21
Просмотр содержимого документа
«Понятие предела функции»
Понятие предела функции
ТОГАПОУ «КТиТНТ им. М.С. Солнцева»
Преподаватель математики
Мельник П.В.
Тип занятия – комбинированный урок, включающий в себя повторение пройденного материала, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.
Цели занятия:
Образовательные:
повторить понятие предела числа, предела функции;
научиться вычислять пределы функции;
систематизировать полученные знания,
активизировать самоконтроль,
взаимоконтроль.
Развивающие:
развивать умения анализировать собственные потребности, выбора соответствующей позиции на каждый этап урока с последующим анализом своей деятельности.
Воспитательные:
воспитывать:
- познавательный интерес к математике;
- информационную культуру и культуру общения;
- самостоятельность, способность к коллективной работе.
1. Организация занятия
Мобилизация учебной деятельности учащихся: доброжелательный настрой учителя и учащихся, быстрое включение класса в деловой ритм, организация внимания всех учащихся
2. Проверка знаний учащихся по теме: «Понятие функции, понятие предела функции в точке, о сновные теоремы о пределах ».
Методы проверки: устный опрос, диалоговые технологии.
План:
I . Повторение материала.
1. Понятие функции.
2. Предел функции в точке.
3. Основные теоремы о пределах.
4. Замечательные пределы и формулы в помощь для вычисления пределов.
II . Закрепление материала.
1. Решение простых пределов.
2. Раскрытие неопределённостей.
I . Повторение материала.
1. Понятие функции.
- Определение . Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), значения х определяются множеством значений, входящих в область определения функции (Х) .
- В этом случае х называется аргументом, а у - значением функции. Множество X называется областью определения функции, Y - множеством значений функции.
0 существует такое число δ 0, что для всех точек х ≠ x 0 , удовлетворяющих условию | х — x 0 | 0 , выполняется неравенство | f (x) — A | у А+ ε А А- ε х 0 х О х 0 +δ х 0 -δ " width="640"
2. Предел функции в точке.
- Определение. Число А называется пределом функции f в точке x 0 , если для любого числа ε 0 существует такое число δ 0, что для всех точек х ≠ x 0 , удовлетворяющих условию
- | х — x 0 | 0 , выполняется неравенство | f (x) — A |
у
А+ ε
А
А- ε
х 0
х
О
х 0 +δ
х 0 -δ
- Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (х α ), показательная функция (a x ), тригонометрические функции (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.
у = x 2
Предел функции при x → 2 равен 4 ( при x → 2 значения функции → 4).
Примеры функций, имеющих предел в точке
Предел функций при x → 0 равен 0.
Примеры функций, не имеющих предел в точке
у
у
у
А
1
х
О
а
х
О
а
О
х
-1
3. Основные теоремы о пределах.
Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют конечные пределы в точке a , причем
То
если B ≠ 0 и если g ( x ) ≠ 0 в δ-окрестности точки a .
4. Замечательные пределы
- Первый замечательный предел
- Второй замечательный предел
II . Закрепление материала. 1. Решение простых пределов.
Вычисление предела функции в точке
1. Сначала просто пытаемся подставить число в функцию
Найдем
Предел числителя
Предел знаменателя
.
Используя теорему о пределе частного, получим
2. Найдем
Предел числителя
Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя.
Величина 1/( x -3) является бесконечно большой величиной при x →3. Тогда
2. Раскрытие неопределенности
- При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида
- Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.
1) Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на х 2
2) В следующем примере разделим числитель и знаменатель на х 4
ВЫВОД : Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться конечное число , ноль или бесконечность.
3) В следующем примере разделим числитель и знаменатель на х 2
подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Очевидно, что можно сократить на (х+1)
Раскрытие неопределенности вида 0/0
Вычислить предел
:
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители .
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Найти предел
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.
Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Самостоятельная работа с взаимопроверкой 5 мин
Инструкция по проверке
- 5 правильно решённых примеров- 5 баллов
- 4 правильно решённых примеров – 4 балла
- 3 правильно решённых примеров – 3 балла
- Менее 3 правильно решённых примеров – 0 баллов.
Подведение итогов урока
- Итак, ребята, на данном уроке мы повторили понятие функции, понятие предела функции, закрепили методы решения при раскрытии неопределённостей для вычисления пределов. Есть ли у вас вопросы?
- Проверте, все ли баллы вы себе проставили в технологическую карту и сдайте для проставления оценки в журнал.
Домашнее задание
- СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Вебинар для учителей
🎓 Свидетельство об участии ✨БЕСПЛАТНО!✨
