Подготовка к ОГЭ

Признаки подобия треугольников

1. По двум углам

Если

2. По двум сторонам и углу между ними

Если АВ/А 1 В 1 = АС/А 1 С 1 ;

∆ АВС ~ ∆ А 1 В 1 С 1

3. По трем сторонам

Если АВ/А 1 В 1 = АС/А 1 С 1 = ВС/В 1 С 1 , то

∆ АВС ~ ∆ А 1 В 1 С 1

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. По острому углу

Если

2. По двум катетам

АС/А 1 С 1 = ВС/В 1 С 1 , то ∆ АВС ~ ∆ А 1 В 1 С 1

3. По гипотенузе и катету

АВ/А 1 В 1 = АС/А 1 С 1, то ∆ АВС ~ ∆ А 1 В 1 С 1

А 1

А

В

С

В 1

С 1

Медиана треугольника

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны

Медианы пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника).

Свойства медиан треугольника

1 . Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 , считая от вершины угла

АО = 2ОЕ; ВО = 2ОF; СО= 2ОD

2 . Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника

S ∆АВD = S ∆СВD

В

Е

F

О

А

С

D

Свойства медиан треугольника

• Если О – точка пересечения медиан, то S ∆АОВ = S ∆ВОС = S ∆АОС

• Медиана на сторону а вычисляется по формулам:

В

О

А

С

В

а

с

m a

С

А

в

Биссектриса треугольника

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины угла до противолежащей стороны.

Свойства биссектрис треугольника

1 . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности

2 . Если СD – биссектриса угла С ∆АВС, то: 1) АD : ВD=АС : ВС

2) S ∆АСD : S ∆ВСD =АС : ВС

С

А

В

D

Высота треугольника

Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, на которой лежит противолежащая сторона.

Свойства высот треугольника

1 . Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке – ортоцентре треугольника.

2 . Если АD, ВЕ,СF – высоты ∆АВС, О- точка пересечения этих высот или их продолжений, то

АО·ОD = ВО·ОЕ = СО·ОF

С

D

Е

О

А

В

F

Свойства высот треугольника

3. Высота на сторону с вычисляется по формулам:

h c = в· SinA

h c = a· SinB

h c = 2S ∆ : с

С

в

а

hc

В

А

с

С

в

hc

а

А

с

В

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника

Свойство средней линии :

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

MN II AB и MN=1/2·AB

M

N

Свойства треугольников

1 . Сумма углов треугольника равна 180°

2 . Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

3 . В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла – большая сторона.

4 . Неравенство треугольника .

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон

Свойства треугольников

5 . Прямая СD делит ∆АВС на два таких треугольника, что

S ∆АСD : А D = S ∆DСВ : DВ

С

А

В

D

Свойства треугольников

6 . Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

а : SinA = b : SinB = c : SinC = 2R

где R – радиус окружности, описанной около треугольника

Свойства треугольников

7 . Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

а² = в² + с² - 2вс·СоsА

в² = а² + с² - 2ас·СоsВ

с² = а² + в² - 2ав·СоsС

Соотношение между сторонами и углами треугольника

В треугольнике:

• В треугольнике:
• В треугольнике:
• В треугольнике:
• В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла

лежит большая сторона

3) В прямоугольном треугольнике

гипотенуза больше катета

4) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Свойства равнобедренного треугольника

1 . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

2 . В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Свойства равнобедренного треугольника

3 . В равнобедренном треугольнике медианы (соответственно высоты и биссектрисы ), проведенные из вершин при основании, равны.

Свойства прямоугольного треугольника

1 . Гипотенуза больше катета

2 . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

3 . Катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение.

4. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

CD = ½ АВ

В

D

А

С

Свойства прямоугольного треугольника

5. Высота, опущенная из прямого угла делит прямоугольный треугольник на два подобных треугольника, которые подобны и исходному треугольнику

6. Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

с² = а² + в²

Египетский треугольник : 3; 4 и 5

Пифагоровы треугольники : 5; 12 и 13

8; 15 и 17 7; 24 и 25

h

с

а

в

Свойства прямоугольного треугольника

7. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

а) Высота, опущенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов.

h : а с = в с : h

т.е.

В

а с

D

а

в с

h

А

С

в

б) Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу:

а : с = а с : а, т.е.

в : с = в с : в, т.е.

в) Высота, опущенная на гипотенузу, делит гипотенузу на отрезки, которые относятся так же как относятся квадраты прилежащих катетов:

а с : в с = а² : в²

а

в

а с

в с

Свойства прямоугольного треугольника

8. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

• Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
• Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе
• Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету

А

с

в

В

С

а

Свойства подобных треугольников

1 . У подобных треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 :

1) 1 ; 1 ; С = С 1

2) АВ : А 1 В 1 =АС : А 1 С 1 =ВС : В 1 С 1 = k

(коэффициент подобия)

В 1

В

А

С

А 1

С 1

Свойства подобных треугольников

2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

P ∆ABC : P ∆A 1 B 1 C 1 = k

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

S ∆ABC : S ∆A 1 B 1 C 1 = k²

Формулы площади треугольника

Произвольный треугольник:

S = ½ · аh а = ½ · вh в = ½ · сh с ;

S = ½·ab·SinС= ½· aс·SinВ= ½· вс·SinА;

где р - полупериметр

Прямоугольный треугольник:

S = ½ · ав, где а и в - катеты

Правильный треугольник:

S = (а²√3) : 4

Источники

• Л.С. Атанасян. Учебник геометрии 7-9.М.: «Просвещение», 2009 г.
• Т.С. Степанова. Математика. Весь школьный курс в таблицах., Минск, «Букмастер»,2012

https://www.google.com/search?hl=ru&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1382&bih=732&q=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&oq=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&gs_l=img.1.0.0l10.11499.13684.0.20805.10.7.0.3.3.0.113.481.6j1.7.0...0.0...1ac.1.7.img.ZRxa7gaF-MI#imgrc=hBP2SMLPpmMX9M%3A%3BLrDnnfsdseyC3M%3Bhttp%253A%252F%252Fimg16.slando.ua%252Fimages_slandocomua%252F74852745_1_644x461_podgotovka-k-zno-matematika-harkov.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fkharkov.kha.slando.ua%252Fobyavlenie%252Fpodgotovka-k-zno-matematika-ID5e1v1.html%3B527%3B461