Площадь трапеции

Эта многоликая геометрия

Площадь трапеции

Площадь трапеции

• Тема: «Эта многоликая геометрия.

Площадь трапеции»

• Возрастная категория –

обучающиеся 8 класса

Площадь трапеции

• Основополагающий вопрос:

• Проблемный вопрос:

А я могу быть

ученым – исследователем?

Теорему Пифагора математики доказали более чем 100 способами.

А сколькими способами я смогу доказать формулу площади трапеции?

Продолжительность

• Первый вариант –

2 учебных часа и

5-6 часов внеклассной работы

• Второй вариант – 2 учебных часа

Организация работы

Класс

Группа

исследователей

12-16 человек

Группа

теоретиков

6-8 человек

Дизайнеры

3-4 человека

Исследователи

• Изучают литературу
• Подбирают необходимый материал
• Доказывают теорему различными способами
• Представляют полученные результаты в виде пошаговых алгоритмов

Теоретики

• Изучают методическую литературу
• Составляют вопросы для самоконтроля и повторения
• Осуществляют подбор задач
• Решают задачи
• Оформляют решение задач и «помощников» для их решения

Дизайнеры

• Помогают исследователям и теоретикам в оформлении результатов работы
• Создают презентацию по материалам групп

Площадь трапеции

• Итог работы – создание презентации
• Итоговое занятие - защита своей части работы

• Практическая значимость: - возможность использовать

неоднократно, - для осуществления контроля и

повторения

Вопросы для самопроверки

• Дайте определение трапеции.
• Как найти площадь квадрата?
• Как найти площадь прямоугольника?
• Как найти площадь параллелограмма?
• Как найти площадь треугольника?
• Сформулируй свойство площадей равных фигур.
• Чему равна площадь многоугольника, составленного из нескольких многоугольников?
• Как относятся площади треугольников, имеющих по равному углу?

Определение трапеции

• Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны

не параллельны.

Формулы площадей

Квадрат

а

Прямоугольник

S = a 2

b

a

Параллелограмм

a

S = a · b

Треугольник

a

S = a · h

S = 0,5 a · h

h

h

Свойство площадей равных фигур

• Равные многоугольники имеют равные площади

Свойство площадей

• Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

Отношение площадей

• Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

a

S 1

b

c

S 2

m

Работа в группах

Группа 1

• Начертите трапецию ABCD ( BC // AD ), в которой BC = a, AD = b, С H – высота трапеции, С H = h .
• Проведите дополнительное построение: достройте трапецию до параллелограмма со сторонами AB и BC ( если возникли затруднения – обратитесь к помощнику ).
• Найдите площадь трапеции, состоящую из параллелограмма ABCP , но без треугольника DCP ( если возникли затруднения – обратитесь к помощнику ).
• Проверь правильность вывода формулы площади трапеции

• Решите задачу

Помощник для группы 1

• Четырехугольник ABCP – параллелограмм
• С H – высота треугольника DCP является и высотой параллелограмма ABCP ( докажите это )
• Найдите площадь треугольника DCP
• Найдите площадь параллелограмма ABCP
• Найдите площадь трапеции ABCD как разность площадей его частей

B

C

A

D

P

H

Группа 2

• Начертите трапецию ABCD ( BC // AD ), в которой BC = a, AD = b, BH – высота трапеции, BH = h .
• Проведите дополнительное построение: через точку В проведите прямую BK // CD (если возникли затруднения – обратитесь к помощнику ) .
• Найдите площадь трапеции, состоящую из треугольника ABK и четырехугольника KBCD (если возникли затруднения – обратитесь к помощнику ) .
• Проверь правильность вывода формулы площади трапеции

• Решите задачу

Помощник для группы 2

• Четырехугольник BKDC- параллелограмм
• BH – высота треугольника ABK является и высотой параллелограмма BKDC ( докажите это )
• Найдите площадь треугольника ABK
• Найдите площадь параллелограмма BKDC
• Найдите площадь трапеции ABCD как сумму площадей его частей

H

K

A

D

B C

Группа 3

• Начертите трапецию ABCD ( BC // AD ), в которой BC = a, AD = b, С H – высота трапеции, С H = h .
• Проведите дополнительное построение: «пристройте» к ABCD равную ей трапецию KMNP так, что точка C совпадает с точкой P , а точка D – с точкой N ; отрезок MN лежит на прямой AD , а отрезок KP – на прямой BC (если возникли затруднения – обратитесь к помощнику ).
• Рассмотрите четырехугольник ABKM (определите его вид) ; найдите его площадь (если возникли затруднения – обратитесь к помощнику ).
• Найдите площадь трапеции ABCD ( если возникли затруднения – обратитесь к помощнику ).
• Проверь правильность вывода формулы площади трапеции

• Решите задачу

Помощник для группы 3

K

B

C

P

A

D

N

M

H

• Четырехугольник ABKM – параллелограмм ( обратите внимание, чему равны его стороны).
• С H – высота трапеции ABCD является и высотой трапеции KMNP ( докажите это )
• Найдите площадь параллелограмма ABKM
• Найдите площадь трапеции ABCD , учитывая, что параллелограмм ABKM составлен из двух равных частей (вспомните свойство площади)

Группа 4

• Начертите трапецию ABCD ( BC // AD ), в которой BC = a, AD = b, А H – высота трапеции, А H = h
• Проведите дополнительное построение: проведите диагональ AC (если возникли затруднения – обратитесь к помощнику ).
• Найдите площадь трапеции, состоящую из треугольника ABC и треугольника ACD ( если возникли затруднения – обратитесь к помощнику ).
• Проверь правильность вывода формулы площади трапеции

• Решите задачу

Помощник для группы 4

C

B

H

K

A

D

• Рассмотрите треугольник ABC и треугольник ACD
• А H – высота треугольника AB С, DK - высота треугольника ACD , причем AH = DK ( докажите это )
• Найдите площадь треугольника ABC
• Найдите площадь треугольника ACD
• Найдите площадь трапеции ABCD как сумму площадей его частей

Площадь трапеции

1

-

h

S

=

·

(

a

b

)

·

+

2

a

h

b

Решите задачу

• Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD , если угол D равен 30 0 , AB = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см.

• Выполните чертеж ( помощник - ).
• Проведите дополнительное построение ( помощник - ).
• Рассмотрите треугольник для нахождения высоты трапеции ( помощник - ).
• Используя формулу, найдите площадь трапеции ( помощник - ).

Помощник для решения задачи

• Дополнительное построение: проведите высоту AH

• Рассмотрите прямоугольный треугольник AHD и найдите катет AH

(В треугольнике есть угол 30 0 )

• Вспомните формулу для нахождения площади трапеции

• (при необходимости
• вернитесь назад)

A

B

30 0

D

C

H

Поздравляю! Ты – исследователь! Кто хочет, тот добьется! Кто ищет, тот всегда найдет!