Перпендикулярность в пространстве.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ

В ПРОСТРАНСТВЕ

Основные понятия, признаки и примеры

Выполнила: Юсупова Мохирабону

студентка 1 курса ГАУ КО ПОО КСТ

01 / 10

1. Что такое перпендикулярность?

В пространстве рассматривают прямые, прямую и плоскость, а также две плоскости.

Перпендикулярные прямые

Две прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.

b

Обозначение: a ⟂ b

a

Важно: В планиметрии (на плоскости) перпендикулярные прямые всегда пересекаются. Но в стреометрии они могут быть и скрещивающимися.

02 / 10

2. Перпендикулярные прямые в пространстве

Если прямые пересекаются под прямым углом, они перпендикулярны.

Угол между прямыми равен 90°.

Перпендикулярные прямые могут располагаться в разных направлениях пространства.

Если прямые скрещиваются, угол между ними определяют через параллельные прямые, проведённые через одну точку.

b

a

a ⟂ b

03 / 10

3. Прямая, перпендикулярная плоскости

Прямая называется перпендикулярной к поскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Плоскость обычно обозначают греческой буквой α.

Если прямая a перпендикулярна плоскости α, записывают: a ⟂ α.

Точка пересечения прямой с плоскостью называется основанием перпендикуляра.

a

H

α

04 / 10

4. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Ключевой признак помогает доказать, что прямая перпендикулярна плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Обе прямые должны лежать в одной плоскости.

Они должны пересекаться между собой.

Проверяем перпендикулярность данной прямой к каждой из двух прямых.

a ⟂ b, a ⟂ c ⇒ a ⟂ α

05 / 10

5. Свойство перпендикуляра к плоскости

Если прямая перпендикулярная плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости,(как пересекающей ее, так и скрещивающейся с ней).

Представим столб, стоящий строго вертикально на полу.

столб

Столб — перпендикуляр к плоскости пола.

Любая прямая на полу, проходящая через основание столба, образует с ним угол 90°.

Это свойство используют при решении задач и доказательствах.

пол

06 / 10

6. Перпендикулярные плоскости

Две плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.

β

Обозначение: α ⟂ β.

Угол между плоскостями измеряют в сечении, перпендикулярном линии их пересечения.

Пример: стена и пол комнаты.

стена

α

пол

07 / 10

7. Признак перпендикулярности плоскостей

Удобный способ доказать, что две плоскости взаимно перпендикулярны.

Если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Как применять признак

Найти прямую, лежащую в первой плоскости.

Доказать, что эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Сделать вывод: плоскости перпендикулярны.

α ⟂ β

08 / 10

8. Где встречается перпендикулярность?

Геометрические модели помогают увидеть свойства в реальном мире.

Стена и пол

Ножка стола и пол

Перпендикулярные плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости

Угол комнаты

Стойка и основание

Две стены могут быть перпендикулярны

Вертикаль к горизонтальной плоскости

09 / 10

ИТОГИ

Прямая может быть перпендикулярна другой прямой или плоскости.

Плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.

Признаки перпендикулярности помогают доказывать геометрические утверждения:

- прямой и плоскости;

- прямой, перпендикулярной плоскости;

- двух плоскостей;

- свойств перпендикулярных плоскостей.

Спасибо за внимание!

10 / 10