Перестановки. Факториал

Урок №6-1 на тему «Перестановки. Факториал»

1. Организационный момент.

2. Повторение (устно).

- Что такое комбинаторика? (Комбинаторика — это раздел математики, посвященный задачам выбора и расположения предметов из различных множеств. Типичной задачей комбинаторики является перечисление комбинаций, составленных из нескольких предметов. )

- Сформулируйте комбинаторное правило для подсчёта числа комбинаций предметов двух множеств? (Комбинаторное правило умножения. Чтобы найти число комбинаций предметов двух типов, нужно число предметов первого типа умножить на число предметов второго типа. Если число предметов первого типа равно m, а число предметов второго типа равно n, то число их комбинаций равно mn).

- Сформулируйте комбинаторное правило для подсчёта числа комбинаций предметов нескольких множеств? (Комбинаторное правило умножения для нескольких типов предметов. Чтобы найти число различных упорядоченных комбинаций из предметов нескольких типов, нужно перемножить количества предметов каждого типа).

1. В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Ответ: .

2. Сколько существует трехзначных чисел, у которых цифры не повторяются?

Ответ: .

3. Сколько существует способов выбрать двух дежурных из класса, в котором 23 ученика?

Ответ: . Всего пар можно выбрать способами, причем одну и ту же пару выбирают 2 раза.

3. Актуализация знаний. Повторение (устно).

На предыдущем уроке было начато знакомство с комбинаторикой, а именно с правилом умножения. На этом уроке мы подробно изучим перестановки.

4. Определение темы и целей урока.

Тема урока: «Перестановки. Факториал».

Цель урока: знакомство с элементами комбинаторики. Изучить правило нахождения количества перестановок, научиться применять его при решении несложных задач.

4. Работа по теме урока.

Рассмотрим пример.

Пример 1. Подсчитаем, сколько существует разных способов построить трех человек в шеренгу?

Воспользуемся комбинаторным правилом умножения. На первое место можно поставить любого из трех человек. На второе – любого из двух оставшихся. И на последнее место можно поставить только одного оставшегося человека. Первого человека можно выбирать тремя способами, второго – двумя способами, а третьего – одним-единственным способом.

Таким образом, мы получили способов перестановки трех человек.

Если людей четверо, то первый номер мы можем присвоить любому из четырех, второй номер - любому из трех оставшихся, третий - любому из двух оставшихся, четвертый номер – одному из оставшихся. Таким образом, мы получили способов перестановки четырех человек.

Продолжая рассуждения тем же способом, мы обнаружим, что если людей, например, семеро, то из них можно составить различных перестановок.

Перестановкой из n предметов называется любой способ нумерации этих предметов (способов их разложения в ряд).

Обобщим полученные результаты. Если есть n предметов, то число способов перенумеровать их равно .

Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначается факториал .

Число перестановок n предметов равно .

Приведем таблицу факториалов от 0 до 10.

Пример 2. Найдите значение выражения:

.

Ответ:

Пример 3. Сколько существует пятизначных чисел, в которых все цифры нечётны и различны?

Решение: Таких чисел ровно столько, сколько перестановок цифр 1, 3, 5, 7 и 9, то есть ровно 5!=120.

Ответ: 120.

Пример 4. Сколько всего анаграмм можно получить из слова:

а) СЛОВО; б) ЗАДАЧА?

Решение : а) Покрасим в слове СЛОВО первую букву О в синий, а вторую – в красный цвет. В полученном слове все буквы различны, и поскольку их всего 5, то число всех их перестановок равно 5!=120. Теперь в каждой отдельно взятой перестановке (например, ВОЛОС) мы можем переставлять буквы О двумя (2!) способами. При этом полученное слово не изменится. Значит, на самом деле анаграмм не 120, а 60.

б) Поступим так же: раскрасим буквы А слова ЗАДАЧА в три цвета. Всего перестановок слова ЗАДАЧА будет 6!=720. В каждой такой перестановке буквы А можно расставить 3!=6 способами, поэтому на самом деле количество анаграмм слова ЗАДАЧА равно .

Пример 5. На плоскости отмечены шесть точек, причем никакие три не лежат на одной прямой (см. рис). Сколько можно нарисовать треугольников с вершинами в этих точках?

Решение. Выбрать три точки из шести можно способами, но каждый треугольник при этом мы считаем шесть раз (3!=6). Поэтому разных треугольников:

Ответ: 20.

В оставшееся время урока предложите учащимся самостоятельно решить следующие задачи.

5. Отработка навыков по решению задач

1. Саша, Ваня и Петя получили номера 1, 2 и 3 для участия в соревнованиях. Запишите все способы распределения этих номеров между участниками.

Ответ:

2. В автосервис одновременно приехали 3 машины для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?

Ответ:

Первой в очереди может стать любая машина из трех – 3 варианта; второй – любая машина из двух оставшихся – 2 варианта; третьей – последняя оставшаяся машина – 1 вариант. Тогда существует 6 способов выстроить машины в очередь на обслуживание:

3. Сколько есть способов раздать пяти хоккеистам номера с 1-го по5-й?

Ответ:

Первому хоккеисту можно дать любой номер из пяти данных – 5 варианта; второму – любой номер из четырёх оставшихся – 4 варианта; третьему – любой номер из трёх оставшихся – 3 вариант; четвертому - любой номер из двух оставшихся – 2 варианта; пятому – последний оставшийся номер – 1 вариант. Тогда существует 120 способов раздать пяти хоккеистам номера:

4. Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, определяющий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт, если в соревнованиях принимают участие:

а) 6 лыжников; в) 10 лыжников;

б) 8 лыжников; г) k лыжников?

Ответ:

Число перестановок n предметов равно n!:

5. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова:

а) учебник; в) фонарь;

б) автор; г) бабуин?

Ответ:

Число перестановок n предметов равно n!:

6. Вычислите значение дроби:

Ответ:

7. Выпишите все натуральные делители числа: а) 4!; б) 5!.

6. Рефлексия.

- Что такое перестановка?

- Что такое факториал натурального числа?

- Чему равно число различных перестановок из n предметов?

- Чему равен факториал нуля?

На уроке школьники познакомились с важным новым объектом – с перестановками. Перестановки и факториал натурального числа тесно связаны: факториал !n равен числу различных перестановок порядка n (перестановок множества из n элементов). Перестановки являются общематематическим понятием, они встречаются не только в комбинаторике и теории вероятностей, но и повсюду, где возникают упорядоченные конечные множества.

Факториалы даже не очень больших чисел очень велики. Достаточно помнить несколько первых факториалов. Например, до 5!:

1!=1; 2!=2; 3!=6; 4!=24; 5!=120.

Важно помнить, что 0!=1 по определению.

7. Домашнее задание: в рабочем листе.

8. Для разработки урока использованы следующие источники:

Литература:

1. Математика. Вероятность и статистика. 7-9 классы. Базовый уровень. Учеб. пособие для общеобразоват. организаций. В 2 ч. / И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: Просвещение, 2023. – 177 с.

2. Математика. Универсальный многоуровневый сборник задач. 7-9 классы. Учеб. пособие для общеобразоват. организаций. В 3 ч. / И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: Просвещение, 2020. – 238 с.

3. Высоцкий И. Р. Дидактические материалы по теории вероятностей. 8-9 классы. – М. : МЦНМО, 2018. – 224 с.

Интернет:

Сайт «Математическая вертикаль / Вероятность в школе https://ptlab.mccme.ru/vertical

Самостоятельная работа. Вариант 1

1. Сколько существует способов повесить на стену в один ряд детские рисунки на выставке, если всего 6 рисунков?

2. Найдите значение выражения:

3. Сколько всего анаграмм можно получить из слова:

а) ЛАСТИК; б) ПРИМЕР?

Самостоятельная работа. Вариант 2

1. Сколькими способами можно сложить цветные карандаши в коробку, если всего в наборе 8 карандашей?

2. Найдите значение выражения:

3. Сколько всего анаграмм можно получить из слова:

а) ДОСКА; б) ЗВОНОК?