Основные понятия и правила курса алгебры 7 класса

Основные понятия и правила, которые должны знать ученики по итогам изучения геометрии в 7 классе

1. Выражения и преобразования

• Числовые выражения — записи, состоящие из чисел и знаков арифметических действий.

• Алгебраические выражения — выражения, содержащие буквы (переменные), числа и знаки действий.

• Значение выражения — результат выполнения всех действий в выражении.

• Допустимые значения переменных — значения, при которых выражение имеет смысл.

• Тождественные преобразования — преобразования, не меняющие значения выражения.

2. Степень с натуральным показателем

• Определение степени: a=a⋅a⋅…⋅a (n раз).

• Свойства степеней:

• a^m ⋅aⁿ =a^m+n ;

• a^m :aⁿ =a^m-n (при a≠0, mn);

• (a^m )ⁿ =a^mn ;

• (ab)ⁿ =aⁿ ⋅bⁿ ;

• = ​ (при b≠0).

• Степень с нулевым показателем: a⁰ =1 (при a≠0).

3. Одночлены

• Определение одночлена.

• Стандартный вид одночлена.

• Коэффициент одночлена.

• Степень одночлена.

• Действия с одночленами: сложение, вычитание (только подобных), умножение, деление, возведение в степень.

4. Многочлены

• Определение многочлена.

• Стандартный вид многочлена.

• Степень многочлена.

• Сложение и вычитание многочленов.

• Умножение одночлена на многочлен.

• Умножение многочлена на многочлен.

• Деление многочлена на одночлен.

5. Разложение многочленов на множители

• Вынесение общего множителя за скобки.

• Способ группировки.

• Формулы сокращённого умножения:

• квадрат суммы: (a+b)² =a² +2ab+b² ;

• квадрат разности: (a−b)² =a² −2ab+b² ;

• разность квадратов: a² −b² =(a−b)(a+b);

• сумма кубов: a³ +b³ =(a+b)(a² −ab+b² );

• разность кубов: a³ −b³ =(a−b)(a² +ab+b² ).

• Комбинация различных способов разложения.

6. Линейные уравнения

• Линейное уравнение с одной переменной: ax+b=0.

• Алгоритм решения линейного уравнения.

• Линейное уравнение с двумя переменными: ax+by+c=0.

• Решение уравнения с двумя переменными.

• График линейного уравнения с двумя переменными (прямая линия).

7. Системы линейных уравнений

• Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными.

• Методы решения систем:

• метод подстановки;

• метод алгебраического сложения;

• графический метод.

• Применение систем уравнений для решения текстовых задач.

8. Функции

• Понятие функции, область определения, область значений.

• Способы задания функции (формулой, таблицей, графиком).

• Линейная функция: y=kx+b.

• график линейной функции (прямая);

• угловой коэффициент k и его геометрический смысл;

• свободный член b и его значение.

• Прямая пропорциональность: y=kx.

• Взаимное расположение графиков линейных функций:

• параллельные прямые (k1​=k2​, b1​≠b2​);

• пересекающиеся прямые (k1​≠k2​);

• совпадающие прямые (k1​=k2​, b1​=b2​).

• Функция y=x2:

• график (парабола);

• свойства функции;

• решение уравнений графическим способом с использованием графика y=x2.

9. Математический язык и моделирование

• Математический язык (символика, обозначения).

• Математическая модель реальной ситуации.

• Этапы математического моделирования:

  1. Составление математической модели (уравнения, системы уравнений).

  2. Работа с математической моделью.

  3. Ответ на вопрос задачи.

10. Основные навыки и умения

• Упрощать алгебраические выражения.

• Решать линейные уравнения и их системы.

• Строить графики функций.

• Анализировать графики функций.

• Разлагать многочлены на множители.

• Применять математические знания для решения практических задач.

• Переводить текстовые задачи на математический язык.

Этот список охватывает ключевые темы и навыки, которые ученики должны освоить к концу 7 класса по курсу алгебры. В зависимости от учебной программы отдельные темы могут быть представлены в расширенном или сокращённом виде.