Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Внимание!!!

• ТЕСТ по теме «Неопределенный и определенный интеграл»

Ньютон

• «…законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».

• Второй закон Ньютона, является не чем иным, как дифференциальным уравнением второго порядка:

• Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642-1727).

• Многие задачи физики приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений.

• С помощью дифференциальных уравнений можно вычислить движение планет солнечной системы вокруг Солнца.
• Решая такие , довольно сложные дифференциальные уравнения (т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые могут достаточно точно предсказать моменты лунного и солнечного затмений.

Понятие дифференциального уравнения

• Дифференциальные уравнения (ДУ) — это уравнения, содержащие производные.
• Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в его состав.

• Общий вид обыкновенного ДУ n-го порядка: F(x; y; y′,у′′,… y n )=0

• ДУ I-го порядка: F(x; y; y′)=0
• ДУ II-го порядка: F(x; y; y′,у′′)=0

График решения дифференциального уравнения называют 

• интегральной кривой дифференциального уравнения.

• Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
• F(x, y, y′) = 0

• Множество всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением, или общим интегралом.

• Оно имеет вид y = f (x, С)

• Задача нахождения частного решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию y 0 = f (x 0 ), называется задачей Коши для уравнения первого порядка.

Уравнения с разделенными переменными

• Уравнением с разделенными переменными называется дифференциальное уравнение вида

f ( x ) dx  +  g ( y ) dy  = 0

с непрерывными функциями  f ( х ) и  g ( y ).

Равенство

где  C  — произвольная постоянная, определяет  общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.

Замечание

• При решении алгебраических уравнений мы находим х - число или множество чисел.
• При решении ДУ мы находим у - функцию или множество функций

Виды обыкновенных ДУ

• 1) Простейшие
• 2) Степенные
• 3) Тригонометрические
• 4) Логарифмические
• 5) Показательные

1) Простейшие

• Решите уравнения:
• 1) dy=x ⁴dx
• 2) dy=dx/x
• 3) dy=cosx dx
• 4) dy=dx/sin²x

• dy=xdx
• Решение:
• ∫ dy= ∫ xdx
• y=x²/2+С

2)Степенные

ДУ

Алгебраические уравнения

• уdy=xdx
• Решение:
• ∫ у dy= ∫ xdx
• y²/2=x²/2+С
• y²=2(x²/2+С)
• y²=2x²/2+2С
• y²=x²+С
• y=√x²+С

• 1) х²=25
• 2) х²=81
• 3) х ⁴ =16
• 4) х ⁵ =-32
• 5) х 3 =27

Решите ДУ образец:

• 1) у ⁵ dy=x⁴dx
• 2) 5у ⁴ dy=dx/x
• 3) 3у ⁵ dy=sinxdx
• 4) 16y 3 dy=dx/cos²x
• 5) 4y 3 dy=e x dx

3) Тригонометрические

1) cosx=a

х=±arccosa+2πn, nϵz

2) sinx=a

x=(-1) n arcsina+πn, nϵz

Решите уравнения

• cosx=1/2

• cosx=√3/2

• Решение:
• х=±arccos a+2πn, nϵz
• х=±arccos 1/2+2πn, nϵz
• х=±π/3 +2πn, nϵz
• Ответ: х=±π/3 +2πn, nϵz

arccos1/2=π/3

Решите уравнения

• sinx=√3/2

• sinx=1/2

• Решение:
• х=(-1) n arcsin a+πn, nϵz
• х= (-1) n arcsin 1/2+πn, nϵz
• х= (-1) n π/6+ πn, nϵz
• Ответ: х= (-1) n π/6+ πn, nϵz

arcsin1/2=π/6

Тригонометрические ДУ

• сosуdy=xdx
• Решение:
• ∫ cosу dy= ∫ xdx
• siny=x²/2+С
• y= (-1) n arcsin(x²/2+С)+πn, nϵz
• Ответ:
• y= (-1) n arcsin (x²/2+С)+πn, nϵz

Решите тригонометрические ДУ

• 1) sinydy=5x ⁴ dx
• 2) cosydy=dx/x
• 3) sinydy=
• 4) cosydy=dx/cos²x
• 5) sinydy=e x dx

4) Логарифмические

Решите уравнение

x

x

log

3

3

=

=

2

2

Решение:

х=8

Решите уравнение

x

x

log

2

2

=

=

5

5

Решение:

х=25

Натуральный логарифм

• log e a=lna

Решите уравнения:

lnx=6

lnx=3

lnx=-2

4) Логарифмические ДУ

• dy/у=xdx
• Решение:
• ∫ dy/y= ∫ xdx
• lny=x²/2+С
• y=e x²/2+С
• Ответ: y=e x²/2+С

Решите логарифмические ДУ

• 1) dy/у=5x ⁴dx
• 2) dy/у =dx/x
• 3) dy/у =dx/sin²x
• 4) dy/у =3 x dx

5) Показательные

• 1) 2 x =3
• x=log 2 3

• 2) e x =3
• x=log e 3
• x=ln3

5) Показательные ДУ

• e у dy=xdx
• Решение:
• ∫ e у dy= ∫ xdx
• e у =x²/2+С
• y= ln(x²/2+С)

Ответ: y= ln(x²/2+С)

e x =3

x=ln3

Решите показательные ДУ

• 1) e у dy=5x ⁴dx
• 2) e у dy=cosxdx
• 3) e у dy=dx/cos²x
• 4) e у dy=3dx

Домашнее задание

• dy=7x ⁶dx
• 6у⁵dy=cosxdx
• sinydy=e x dx
• dy/у =dx/cos²x
• e у dy=3x ⁵dx