Неравенства с модулями

5) Пример 2. Решить неравенство

Решение:

расстояние от точки х до точки 2. Таким образом, нужно найти на координатной оси такие точки, расстояние от которых до точки 2 больше 3.

Найдём сначала точки, находящиеся от точки 2 на расстоянии, равном 3.Их две-это -1 и 5. Чтобы расстояние было больше 3, точка х должна быть расположена дальше, т.е. левее -1 или правее 5.Это точки, принадлежащие множеству:

Ответ:

6) Пример 3. Решить неравенство

Решение:

Переформулировав задачу на языке расстояний, установим, что нужно найти такую точку х, расстояние от которой до точки -2 на 5 больше, чем расстояние от неё до точки 5.Подумаем, где может находиться такая точка.

Если х лежит левее -2,то понятно, что расстояние меньше, чем расстояние ,так как точка х ближе к -2,чем к 5.

Если х лежит правее 5,то искомая разность расстояний равна длине отрезка [-2;5],т.е. 7,следовательно, все точки из промежутка удовлетворяют условию.

Пусть теперь х лежит на отрезке [-2;5].

Тогда ax+bx=7.

Если к тому же ax- bx =5,то ax =6, bx =1 и x=4.

Чтобы разность ax- bx была больше 5,точка x должна располагаться ближе к b, чем точка с координатой 4.Таким образом, неравенству удовлетворяют все числа промежутка

Ответ:

7) Пример 4. Решить неравенство

Данное неравенство равносильно следующей совокупности:

Первое неравенство каждой из систем является следствием второго, а потому оба первых неравенства можно опустить. В результате получим совокупность

Решая неравенства этой совокупности, находим соответственно ;

Итак, получаем ответ:

8) Пример 5. Решить неравенство

Здесь нужно рассмотреть два случая: x≥0 и х|x|=x,во втором

|x|= ─ x.Значит, заданное неравенство равносильно совокупности двух cистем,
Решим первую систему. Так как то левую часть второго неравенства системы можно сократить на (х─3) при условии x≠3.

Тогда мы получим систему

которая имеет следующие решения:0≤xx≤4.

Решим вторую систему совокупности. Так как мы рассматриваем случай хх─3(х─3), изменив при этом знак неравенства. Тогда получим

Дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен, а старший коэффициент положителен. Значит неравенство выполняется при всех х, а множество решений системы совпадает с множеством решений первого неравенства системы, т.е. х.