Неравенства и их решения

Неравенства и их решения

Неравенство

Решить неравенство .

Совокупность неравенств

Неравенства

Алгебраические

Трансцендентные

рациональные

иррациональные

0, (24-10 x + x ²)(24-10 x + x ²-( x -4²))x-4 0 (x-4) (x-6)(x-4)(-2) x-4 0, (x-4)²(x-6)0 x=4 x6 Ответ: {4} ; [ 6 ; +∞ ) " width="640"

Пример : Решить неравенство

√ 24 – 10 x + x ²

x -4 0,

(24-10 x + x ²)(24-10 x + x ²-( x -4²))

x-4 0

(x-4) (x-6)(x-4)(-2)

x-4 0,

(x-4)²(x-6)0 x=4

x6

Ответ: {4} ; [ 6 ; +∞ )

Методом интервалов :

1. Все члены неравенства переносятся в левую часть и приводятся к общему знаменателю.

2. Определить критические точки.

3. Критические точки наносятся на числовую прямую, прямая разбивается при этом на интервалы.

4. Определить знаки на интервалах.

5. . Множество решений неравенств объединяется интервалом с соответствующим знаком, при этом случае , если неравенство нестрогое ,то к этому множеству прибавляется корни числителя.

b , ax ax ≥ b , ax ≤ b , где a и b действительные числа или выражения , зависящие от параметров ( ax – неизвестное) " width="640"

Линейные неравенства

– неравенства вида ax b , ax

ax ≥ b , ax ≤ b , где a и b действительные числа или выражения , зависящие от параметров ( ax – неизвестное)

Например , (3 - √10 )(2х- 7)

6x- 21- 2x√10 + 7√10

36 x ² + 441+40 x ² + 490

76 x ² + 931

x ²

x1 = 3.5 x2 = -3.5

a + 3 a 5, тогда х a +3 5-a 2. а , тогда x a+3 5-a 3 . a =5 , x є Ø Пример: " width="640"

(5 - a ) x a + 3

• a 5,

тогда х a +3

5-a

2. а ,

тогда x a+3

5-a

3 . a =5 , x є Ø

Пример:

0, где a , b , c – действительные числа " width="640"

Квадратные неравенства

– это неравенства вида ax ² + b x + c 0,

где a , b , c – действительные числа

0 и D то х є Ø Если a 0 и D=0 , то x є ( - ∞ ; - b/2a) (-b/2a ; + ∞ ) Если а 0 и D 0, то х є(- ∞ ; х 1 ) (х 2 ; + ∞ ), где х 1 , х 2 - корни квадратного трехчлена. Если aто х є Ø Если a то х є Ø Если a 0 , то х є (х 1 ;х 2 ), х 1 , х 2 - корни квадратного трехчлена. " width="640"

Если а0 и D

то х є Ø

Если a 0 и D=0 ,

то x є ( - ∞ ; - b/2a) (-b/2a ; + ∞ )

Если а 0 и D 0,

то х є(- ∞ ; х 1 ) (х 2 ; + ∞ ), где х 1 , х 2 - корни квадратного трехчлена.

Если a

то х є Ø

Если a

то х є Ø

Если a 0 ,

то х є (х 1 ;х 2 ), х 1 , х 2 - корни квадратного трехчлена.

0 и D = (2-2 m ) ² - 4 m ( m +2)=1 – 12 m нет решений 2.Пусть m 0 и D =0 ; m = ¼; уравнение имеет один корень . 3.Пусть m 0 и D 0, то есть m є (0; ¼ ). Тогда х (х 1 ; х 2 ), где х 1 = 1/ m[ ( m – 1 - √1-4 m ), x 2 = 1/ m ( m -1+√1- 4 m ) 4.Пусть m Тогда m є Ø 5.Пусть m 0 m є Ø 6.Пусть m 0, то есть m є ( - ∞ ;0) Тогда х є ( - ∞ ;х 1 ) (х 2 ; + ∞ ) " width="640"

Пример : m x ² – 2( m - 1) x + ( m +2)

1.Пусть m 0 и D = (2-2 m ) ² - 4 m ( m +2)=1 – 12 m

нет решений

2.Пусть m 0 и D =0 ;

m = ¼; уравнение имеет один корень .

3.Пусть m 0 и D 0, то есть m є (0; ¼ ).

Тогда х (х 1 ; х 2 ), где х 1 = 1/ m[ ( m – 1 - √1-4 m ), x 2 = 1/ m ( m -1+√1- 4 m )

4.Пусть m

Тогда m є Ø

5.Пусть m 0

m є Ø

6.Пусть m 0, то есть m є ( - ∞ ;0)

Тогда х є ( - ∞ ;х 1 ) (х 2 ; + ∞ )