Научная работа "Формула Пика"

Введение

Рано или поздно всякая правильная

математическая идея находит

применение в том или ином деле.

(А.Н. Крылов)

Многие ученики сталкиваются с задачами на нахождение площади треугольника, параллелограмма, многоугольника и других геометрических фигур по рисунку на клетчатой бумаге. Применяя правила и теоремы из геометрии, ученик может запутаться или забыть, да и к тому же уходит много времени на дополнительное построение, а в условиях экзамена дорога каждая минута. Чтобы не тратить много усилий, времени и не вспоминать впопыхах теоремы, аксиомы, правила, существует теорема Пика, с помощью которой можно без проблем и траты времени вычислить площадь фигуры, расположенной на клетчатой бумаге.

Увидев такие задачи в контрольно–измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ, решил обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Так и была определена тема для исследования.

Теорема Пика актуальна для всех школьников, сдающих экзамены. Поэтому её нужно знать, чтобы быстро и правильно решать задачи на нахождение площади.
Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования:

Теоретические: анализ и синтез.

Эмпирические: сравнение.
Индуктивный метод – получение выводов из конкретных примеров.

Эксперимент.

Цель исследования: Проверить формулу Пика для вычисления площадей геометрических фигур в сравнении с формулами геометрии.

А кто же такой Пик?

Георг Алекса́ндр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942)

Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Уже в следующем году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет. Он изучал математику и физику, окончил в 1879 г. универститет, получив возможность преподавать оба эти предмета. В 1877 году из Дрезденской Высшей технической школы (Technische Hochschule) переехал Лео Кёнигсбергер, который занял кафедру в венском университете. Он стал руководителем Пика, и 16 апреля 1880 г. Пик защитил докторскую диссертацию “О классе абелевых интегралов”

Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Это задание мы рассматривали на уроке. Хотя многоугольник выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось изрядно потрудиться. Мы потратили 10 минут времени на решение этой задачи. Хочу отметить, что не все учащиеся нашего класса справились с данным заданием. А когда нам сказали, что есть формула позволяющая вычислить площадь за одну минуту, то меня очень заинтересовало и я решил заняться изучением этого вопроса.

Рис.1

Сначала я решил узнать какими способами вычисляли площадь мои одноклассники, кто справился с заданием и заняться изучением формулы. В нашем классе никто не знал формулы Пика. Также это задание мы решили дать учащимся 9 и 11 классов. Вот что у нас получилось.

Формула Пика:

А сейчас мы хотели показать вам пример, как с помощью формулы Пика можно найти площадь фигуры на клетчатой решетки.

Вывод: Таким образом, рассматривая задачи на нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнивая результаты в таблицах, мы показали справедливость формулы Пика и пришли к выводу, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле геометрии.

Исследовательская работа по математике

Применение формулы Пика для вычисления площади многоугольников с вершинами в узлах клетки

Выполнил: Васякин Михаил, ученик 10 класса

Руководитель: Паркина Наталья Ивановна,

учитель математики

Актуальность работы состоит в том, что формула Пика для вычисления площади многоугольников в школьном курсе математики (геометрии) не рассматривается. Изучение данной темы расширяет интеллектуальный кругозор учащихся, а применение её упрощает нахождение площади геометрической фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (сетке). Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ содержат задания подобного типа, и их можно решить, применяя формулу Пика.

Объект исследования:

Задачи на клетчатой бумаге.

Предмет исследования:

Задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.

Методы исследования:

Сравнение, моделирование, обобщение, аналогии, изучение литературы и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования:

Обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Основные задачи:

• Изучить литературу по данной теме;
• Рассмотреть различные способы вычислений площадей многоугольников;
• Показать практическое применение этих способов;
• Выяснить преимущества и недостатки каждого способа;
• Систематизировать и углубить накопленные мной знания;
• Повысить качество знаний и умений;
• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит

применение в том или ином деле.

(А.Н. Крылов)

Георг Александр Пик— австрийский математик, родился в еврейской семье.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

10 августа 1859 -13 июля 1942

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ

• Подсчет количества клеток;
• Применение формул планиметрии;
• Разбиение фигуры на более простые фигуры;
• Достроение фигуры до прямоугольника;
• Формула Пика.

Найдём площадь многоугольника

Искать её можно по-разному.

Способы, применяемые для вычисления площади данной фигуры

1способ: Подсчет количества клеток (для данной фигуры приближенный).

2 способ: Попробовать разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры (рис.2), найти их площади и сложить.

3 способ: Вычислить площадь фигуры (рис.3), которая дополняет многоугольник до прямоугольника, и вычесть эту площадь из площади прямоугольника. Дополненная фигура (в отличие от исходного многоугольника) легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники так, что её площадь вычисляется без усилий.

S = 2+1+0,5 + 3+ 2 + 1 + 2 +1,5=13 ( кв.ед.)

Следовательно, площадь исходного многоугольника равна

S = 5 ・ 6 – 13=17 ( кв.ед.)

Вот что у нас получилось

Класс

Правильно

9

Неправильно

16

10

21

всего

2

7

37

9

Способ

Класс

9

Подсчет клеток

10

Разбиение фигуры

3

всего

-

Достроить фигуру до прямоугольника

8

7

15

Формула

Пика

3

-

13

23

-

20

-

Попробуйте найти площадь фигуры

Для этого есть простой и удобный способ.

Теорема Пика или Формула Пика

Пусть В − число узлов сетки внутри многоугольника,

Г − количество узлов на его границе, S − его площадь.

Тогда справедлива формула Пика: S = В + Г/2 – 1

1см

Пример.

Для многоугольника на рисунке В = 13 (красные точки),

Г= 6 (синие точки), поэтому

S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

Доказательство

Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, то есть имеют целочисленные координаты.

Многоугольник разобьём на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах

Обозначим:

n – число сторон многоугольника,

m – количество треугольников с вершинами в узлах

решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на

сторонах,

В – число узлов внутри многоугольника,

Г – число узлов на сторонах, включая вершины.

  Площади всех этих треугольников одинаковы и равны

1/2.

Следовательно, площадь многоугольника равна 1/2 m .

Общая сумма углов всех треугольников равна 180 0 m .

  Теперь найдём эту сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 360 0 .

Тогда сумма углов с вершинами во всех внутренних узлах равна 360 0 В.

Общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна

180 0 (Г – n ).

Сумма углов при вершинах многоугольника равна 180 0 ( n – 2) .

Общая сумма углов всех треугольников равна

360 0 В +180 0 (Г– n ) + 180 0 ( n –2).

  Таким образом, 180 0 m = 360 0 В + 180 0 (Г– n ) + 180 0 ( n – 2),

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г – 180 0 n + 180 0 n – 180 0 ·2,

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г– 360 0 , 1/2 m = В + Г/2 – 1 ,

откуда получаем выражение для площади S многоугольника:

S = В + Г/2 – 1 , известное как формула Пика.

На рисунке: В = 24, Г = 9, следовательно, S = 24 + 9/2 – 1 = 27,5.

Теперь найти площадь фигуры не составит большого труда.

Г=4(точки на узлах)

В=0(точки внутри фигуры)

2-1=1

Ответ: 1см 2

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

Ответ:

• 1 клетка = 1 см
• Г = 15 (обозначены красным)
• В = 34 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

Отметим узлы:

Ответ:

• Г = 14 (обозначены красным)
• В = 43 (обозначены синим)

Решение заданий ЕГЭ

Формула Пика-

формула для вычисления

площади

многоугольников,

полезна при решении заданий

ЕГЭ и ОГЭ

Задание ЕГЭ – 2015

Найдите площадь четырёхугольника АВСD

Решение.

По формуле Пика:

S = Г:2 + В - 1

Г = 7 , В = 5

S = 7:2 + 5 – 1 =

= 7,5 (см²)

  Ответ: 7,5 см².

Задания ЕГЭ - 2015

Г = 7 В = 2

S = 7:2 + 2 - 1 = 4 ,5

Г = 4 В = 0

S = 4 : 2 + 0 - 1 = 1

Теперь, зная новую формулу, мы легко сможем найти площадь и этого четырехугольника.

Так как В =5; Г = 14, то 5+14:2-1=11 (см в квадрате)

Площадь данного четырехугольника равна 11 см в квадрате.

По той же формуле мы можем найти площадь треугольника.

Так как В=14, Г=10,то 14+10:2-1=18 (см в квадрате)

Площадь данного треугольника равна 18 см в квадрате.

Если В=9, Г=12, тогда: 9+12:2-1=14 (см в квадрате)

Площадь данного четырехугольника равна 14 см в квадрате.

Задача. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

Решение: Г= 5, В= 2, S = В + Г/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5 .

≈ 1,11

Ответ: ≈ 1,11.

Задача . Найдите площадь треугольника ABC .

Решение: Г = 7, В = 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 7/2 – 1= 7,5.

Ответ: 7,5.

.

Задача. Найдите площадь четырехугольника ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.

Решение: Г= 4, В= 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 4/2 – 1= 6

Ответ: 6

Задача. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите

Решение: Г= 8, В= 8, S = В + Г/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11,

≈ 3,5

Ответ: ≈3,5.

Пример №1

Г = 14

В = 43

S = 14:2 + 43–1 =

= 49

Пример № 2

Г = 11

В = 5

S = 11:2 + 5 – 1= = 9,5

Пример №3

Г = 15

В = 22

S = 15:2 + 22 – 1=

= 28,5

1см

Пример № 4

Г = 8

В = 16

S = 8:2 +16 – 1 =

= 19

1 см

Пример № 5

Г = 10

В = 30

S = 10:2 + 30 –1 =

= 34

1 см

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах .

Ответ: 27

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 17

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=4,Г=14, S=4+½·14-1=10

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=36, Г=21

S = 36 + ½·21 -1=36+10,5-1=45,5

• По формуле Пика S =В +½Г-1 В=36, Г=21 S = 36 + ½·21 -1=36+10,5-1=45,5

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=6,Г=18, S=6+½·18-1=14

Г = 16 В = 4 S = Г : 2 + В - 1 S = 16 : 2 + 4 – 1 = 11

Задача. Найти площадь прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить площадь

полной поверхности по формуле Пика невозможно!

Основной вывод:

Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

1.Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: S = В + Г/2 - 1

2.Формула Пика очень проста для запоминания.

3.Формула Пика очень удобна и проста в применении.

4.Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Заключение

При выполнении работы были решены задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.

Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы :

1) Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2) Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

3) Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

4) Формула Пика облегчает и ускоряет нахождение площади многоугольников. Но и она имеет свои недостатки:

• Чертёж должен быть очень четким (для подсчета узлов);
• Формула применяется лишь в том случае, если многоугольник изображен на клетчатой бумаге;

Способы вычисления площадей многоугольников, в том числе с помощью формулы Пика позволяет успешному изучению геометрии в старших классах. Данная работа может быть полезна для учащихся при подготовке к итоговой аттестации.

Спасибо за внимание!

Исследовательская работа по математике

Применение формулы Пика для вычисления площади многоугольников с вершинами в узлах клетки

Выполнил: Васякин Михаил, ученик 10 класса

Руководитель: Паркина Наталья Ивановна,

учитель математики

Актуальность работы состоит в том, что формула Пика для вычисления площади многоугольников в школьном курсе математики (геометрии) не рассматривается. Изучение данной темы расширяет интеллектуальный кругозор учащихся, а применение её упрощает нахождение площади геометрической фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (сетке). Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ содержат задания подобного типа, и их можно решить, применяя формулу Пика.

Объект исследования:

Задачи на клетчатой бумаге.

Предмет исследования:

Задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.

Методы исследования:

Сравнение, моделирование, обобщение, аналогии, изучение литературы и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования:

Обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Основные задачи:

• Изучить литературу по данной теме;
• Рассмотреть различные способы вычислений площадей многоугольников;
• Показать практическое применение этих способов;
• Выяснить преимущества и недостатки каждого способа;
• Систематизировать и углубить накопленные мной знания;
• Повысить качество знаний и умений;
• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит

применение в том или ином деле.

(А.Н. Крылов)

Георг Александр Пик— австрийский математик, родился в еврейской семье.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

10 августа 1859 -13 июля 1942

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ

• Подсчет количества клеток;
• Применение формул планиметрии;
• Разбиение фигуры на более простые фигуры;
• Достроение фигуры до прямоугольника;
• Формула Пика.

Найдём площадь многоугольника

Искать её можно по-разному.

Способы, применяемые для вычисления площади данной фигуры

1способ: Подсчет количества клеток (для данной фигуры приближенный).

2 способ: Попробовать разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры (рис.2), найти их площади и сложить.

3 способ: Вычислить площадь фигуры (рис.3), которая дополняет многоугольник до прямоугольника, и вычесть эту площадь из площади прямоугольника. Дополненная фигура (в отличие от исходного многоугольника) легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники так, что её площадь вычисляется без усилий.

S = 2+1+0,5 + 3+ 2 + 1 + 2 +1,5=13 (кв.ед.)

Следовательно, площадь исходного многоугольника равна

S = 5 ・ 6 – 13=17 (кв.ед.)

Вот что у нас получилось

Класс

Правильно

9

Неправильно

16

10

21

всего

2

37

7

9

Способ

9

Подсчет клеток

10

Класс

Разбиение фигуры

3

всего

-

Достроить фигуру до прямоугольника

8

7

15

Формула

3

-

13

23

Пика

-

20

-

Попробуйте найти площадь фигуры

Для этого есть простой и удобный способ.

Теорема Пика или Формула Пика

Пусть В − число узлов сетки внутри многоугольника,

Г − количество узлов на его границе, S − его площадь.

Тогда справедлива формула Пика: S = В + Г/2 – 1

1см

Пример.

Для многоугольника на рисунке В = 13 (красные точки),

Г= 6 (синие точки), поэтому

S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

Доказательство

Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, то есть имеют целочисленные координаты.

Многоугольник разобьём на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах

Обозначим:

n – число сторон многоугольника,

m – количество треугольников с вершинами в узлах

решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на

сторонах,

В – число узлов внутри многоугольника,

Г – число узлов на сторонах, включая вершины.

  Площади всех этих треугольников одинаковы и равны

1/2.

Следовательно, площадь многоугольника равна 1/2m.

Общая сумма углов всех треугольников равна 180 0 m .

  Теперь найдём эту сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 360 0 .

Тогда сумма углов с вершинами во всех внутренних узлах равна 360 0 В.

Общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна

180 0 (Г – n ).

Сумма углов при вершинах многоугольника равна 180 0 ( n – 2) .

Общая сумма углов всех треугольников равна

360 0 В +180 0 (Г– n ) + 180 0 ( n –2).

  Таким образом, 180 0 m = 360 0 В + 180 0 (Г– n ) + 180 0 ( n – 2),

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г – 180 0 n + 180 0 n – 180 0 ·2,

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г– 360 0 , 1/2m= В + Г/2 – 1 ,

откуда получаем выражение для площади S многоугольника:

S = В + Г/2 – 1 , известное как формула Пика.

На рисунке: В = 24, Г = 9, следовательно, S = 24 + 9/2 – 1 = 27,5.

Теперь найти площадь фигуры не составит большого труда.

Г=4(точки на узлах)

В=0(точки внутри фигуры)

2-1=1

Ответ: 1см 2

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

Ответ:

• 1 клетка = 1 см
• Г = 15 (обозначены красным)
• В = 34 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

Отметим узлы:

Ответ:

• Г = 14 (обозначены красным)
• В = 43 (обозначены синим)

Решение заданий ЕГЭ

Формула Пика-

формула для вычисления

площади

многоугольников,

полезна при решении заданий

ЕГЭ и ОГЭ

Задание ЕГЭ – 2015

Найдите площадь четырёхугольника АВСD

Решение.

По формуле Пика:

S = Г:2 + В - 1

Г = 7 , В = 5

S = 7:2 + 5 – 1 =

= 7,5 (см²)

  Ответ: 7,5 см².

Задания ЕГЭ - 2015

Г = 7 В = 2

S = 7:2 + 2 - 1 = 4,5

Г = 4 В = 0

S = 4 : 2 + 0 - 1 = 1

Теперь, зная новую формулу, мы легко сможем найти площадь и этого четырехугольника.

Так как В =5; Г = 14, то 5+14:2-1=11 (см в квадрате)

Площадь данного четырехугольника равна 11 см в квадрате.

По той же формуле мы можем найти площадь треугольника.

Так как В=14, Г=10,то 14+10:2-1=18 (см в квадрате)

Площадь данного треугольника равна 18 см в квадрате.

Если В=9, Г=12, тогда: 9+12:2-1=14 (см в квадрате)

Площадь данного четырехугольника равна 14 см в квадрате.

Задача. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

Решение: Г= 5, В= 2, S = В + Г/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5 .

≈ 1,11

Ответ: ≈ 1,11.

Задача . Найдите площадь треугольника ABC .

Решение: Г = 7, В = 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 7/2 – 1= 7,5.

Ответ: 7,5.

.

Задача. Найдите площадь четырехугольника ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.

Решение: Г= 4, В= 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 4/2 – 1= 6

Ответ: 6

Задача. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите

Решение: Г= 8, В= 8, S = В + Г/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11,

≈ 3,5

Ответ: ≈3,5.

Пример №1

Г = 14

В = 43

S = 14:2 + 43–1 =

= 49

Пример №2

Г = 11

В = 5

S = 11:2 + 5 – 1= = 9,5

Пример №3

Г = 15

В = 22

S = 15:2 + 22 – 1=

= 28,5

1см

Пример № 4

Г = 8

В = 16

S = 8:2 +16 – 1=

= 19

1 см

Пример № 5

Г = 10

В = 30

S = 10:2 + 30 –1=

= 34

1 см

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах .

Ответ: 27

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 17

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=4,Г=14, S=4+½·14-1=10

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=36, Г=21

S = 36 + ½·21 -1=36+10,5-1=45,5

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=6,Г=18, S=6+½·18-1=14

Г = 16 В = 4 S = Г : 2 + В - 1 S = 16 : 2 + 4 – 1 = 11

Задача. Найти площадь прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить площадь

полной поверхности по формуле Пика невозможно!

Основной вывод:

Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

1.Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: S = В + Г/2 - 1

2.Формула Пика очень проста для запоминания.

3.Формула Пика очень удобна и проста в применении.

4.Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Заключение

При выполнении работы были решены задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.

Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы :

1) Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2) Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

3) Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

4) Формула Пика облегчает и ускоряет нахождение площади многоугольников. Но и она имеет свои недостатки:

• Чертёж должен быть очень четким (для подсчета узлов);
• Формула применяется лишь в том случае, если многоугольник изображен на клетчатой бумаге;

Способы вычисления площадей многоугольников, в том числе с помощью формулы Пика позволяет успешному изучению геометрии в старших классах. Данная работа может быть полезна для учащихся при подготовке к итоговой аттестации.

Спасибо за внимание!