Математика силлабус

Лекция №2

Тема: Сан түшүнүгү менен таанышуу. Натуралдык сандар. Бүтүн сандар. Алардын үстүнөн жүргүзүлүүчү амалдар.

1. Натуралдык сандардын көптүгү, алардын үстүнөн жүргүзүлүүчү амалдар. Натуралдык сандардын бөлүнүүчүлүгү.

2. Бүтүн сандар, алардын үстүнөн жүргүзүлүүчү амалдар.

Аныктама. Нерселерди эсептөөдө колдонулуучу сандар натуралдык сандар деп аталат. Натуралдык сандардын көптүгүн N тамгасы менен белги-лейбиз жана төмөнкүдөй жазылат: N = {1, 2, 3, ..., n, ...}.

Байыркы замандан бери адамдар ар түрдүү буюмдарды эсептөөгө, ченөөгө, өлчөөгө, божомолдоого ж.б.у.с. жумуштарды жүргүзүүгө мажбур болуп келишет. Санактын натыйжасында келип чыккан сандарды биз натуралдык сандар деп атайбыз. Сандарды атоо жана белгилөө (жазуу) ыкмаларынын жыйындысын эсептөө системасы деп айтылат.

Бардык натуралдык сандар 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 - он белгинин жардамында жазылат. Ал белгилер цифралар деп аталат жана натуралдык сандардын алфавитин түзөт. Ал алфавиттин каалагандай белгиси анын тамгасы болот. Тамгалардын каалагандай комбинациясы натуралдык сандарга тиешелүү “сөздөрдү” түзөт. Мисалы, 243 үч тамгадан турган “сөз”, 890025 болсо алты тамгадан турат. Бул жазууларда ар бир цифра өзүнүн ээлеген ордуна жараша (позициясына) мааниге ээ. Мисалы, 434 жазуусунда сол жактан биринчи турган “4” цифрасы төрт жүздү билдирсе, акырында турган “4” цифрасы төрт бирдикти билдирет. 7777 жазуусундагы ар бир 7 цифрасы өзүнүн ээлеген ордуна ылайык, анык бир разряддын жети бирдигин билдирет. Ошол себептүү жогорудагы он цифранын жардамында натуралдык сандарды жазуу (номерлөө) эсептөөнүн позициялуу системасы деп айтылат. Позициялуу эмес системалар да бар. Мисалы, айрым бир кубулуштар, тарыхый маалыматтарда , CXC , DCXXXVII сыяктуу жазууларды учуратууга мүмкүн. Бул жазуулардын биринчиси 1834тү, экинчиси 193тү, үчүнчүсү болсо 637 сандарын билдирет. Алар рим цифраларынын жардамында жазылган. Рим цифраларынын белгилери: I=1, V=5, X=10, C=100, M=1000, XXXIII жазуусу 33 санын билдирет, X цифрасы кайсы жерде турса да (позицияда) ал бир эле 10 ду билдирет. Ошондуктан ал позициялуу эмес система. Илгери Мисирликтер бирди , онду - , жүздү - ж.у.с цифралары менен белгилеп келишкен. Бул белгилөөдө ; = 500 болот. Бул номерлөө да эсептөөнүн позициялуу эмес системасы. Натуралдык сандарды 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 цифраларынын жардамында жазуу эсептөөнүн ондук системасын түзөт. Себеби ар бир он бирдик бир ондукту. Он ондук бир жүздүктү, он жүздүк бир миңдикти ж.у.с. түзөт. Ар бир кийинки разряддык бирдик мурдагы разряд бирдигинен 10 эсе чоң. Ар бир үч разряд бир классты түзөт:

1, 2, 3 разряддар бирдиктер,

4, 5, 6 разряддар миңдиктер

7, 8, 9 разряддар миллиондор,

10, 11, 12 разряддар миллиарддар (биллиондор)

13, 14, 15 разряддар триллиондор,

16, 17, 18 разряддар квадриллиондор,

19, 20, 21 разряддар квинтиллионддор,

22, 23, 24 разряддар секстиллиондор классын түзөт.

Андай кийин класстар септиллиондор, октиллиондор, нонилиондор, дециллиондор, ундециллиондор жана башкалар деп айтылат. Мисалы, шахмат тууралуу легендада, аны ойлоп тапкан окумуштуу Индия падышасынан: даана буудай сураган. Ал 18 квинтиллион, 446 квадриллион, 744 триллион, 73 миллиард, 709 миллион, 551 миң, 615 даана болот. Жер шаарынын массасы , Күндүн массасы . Жердин бетинин аянты ж.б. Бул сандарды окуганды билүү керек. Бул сандардын бардыгы ондук системада берилген. Эсептөөнүн ондук эмес да системалары бар. Мисалы, практикада бут кийимдердин “жуп” менен эсептешет. Базарда болсо алма, өрүк, калемпир саткандар “бештен” эсептешет. Убакытты саат, минут, секунда менен эсептөөдө 60 негиз кылынып алынат. Айрым элдер “уучтук”, ”он экилик”, “бештик” системаларда эсептешет. Техникада “сегиздик”, “экилик” системалары кеңири колдонулат. Эсептөөнүн “ондук системасында”сандарды 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 он цифрасынын жардамында жазгандай эле, эсептөөнүн “сегиздик” системасында каалагандай сан 1,2,3,4,5,6,7,0 сегиз гана цифранын жардамында жазылат, “бештик” системадагы сандар 1,2,3,4,0 беш цифранын жардамында, “экилик” системада сандар 1 жана 0 цифраларынын жардамында жазылат.

Аныктама. a санын b санына кошуу деп a санын b санына чоңойтууну айтабыз, анда ал a + b = c деп жазылат, мында a, b лар кошулуучулар деп аталат, ал эми с сумма деп аталат.

Аныктама. a санын b санынан кемитүү деп b санына кошкондо a саны келип чыга турган санды табууну айтабыз, анда ал a - b = c деп жазылат, мында a - кемүүчү, ал эми b - кемитүүчү деп аталат, ал эми с - айырма деп аталат.

Аныктама. a санына b санын көбөйтүү деп a санын өзүн-өзүнө b жолу кошууну айтабыз, анда ал a · b = c деп жазылат, мында a, b лар көбөйтүүчүлөр деп аталат, ал эми с көбөйтүндү деп аталат.

Аныктама. a санын b санына бөлүү деп b санына көбөйткөндө a саны келип чыга турган санды табууну айтабыз, анда ал a : b = c деп жазылат, мында a - бөлүнүүчү, ал эми b - бөлүүчү деп аталат, ал эми с - тийинди деп аталат.

Натуралдык сандардын үстүндө кошуу, кемитүү, көбөйтүү жана бөлүү амалдары аткарылат, ал эми кошуу жана көбөйтүү амалдары ар дайым атка-рылат жана алар төмөнкү касиеттерге ээ:

1. a + b = b + a, кошуунун орун алмаштыруу закону;

2. (a + b) + c = a + (b + c), кошуунун топтоштуруу закону;

3. a b = b a, көбөйтүүнүн орун алмаштыруу закону;

4. (a b) c = a (b c), көбөйтүүнүн топтоштуруу закону;

5. (a + b) c = a b + b c, кошуунун көбөйтүүгө карата бөлүштүрүү закону.

Натуралдык сандардын бөлүнүүчүлүк белгилери:

1. 2 ге бөлүнүүчүлүк белги: 0, 2, 4, 6, 8 цифралары менен аяктаган сандар 2 ге бөлүнөт. Мындай сандар жуп сандар деп аталат.

2. 3 кө бөлүнүүчүлүк белги: Цифраларынын суммасы 3 кө бөлүнгөн сан 3 кө бөлүнөт.

3. 4 кө бөлүнүүчүлүк белги: Акыркы эки цифрасынан түзүлгөн сан 4 кө бөлүнгөн сан 4 кө бөлүнөт.

4. 5 ке бөлүнүүчүлүк белги: 0 же 5 цифрасы менен аяктаган сан 5 ке бөлүнөт.

5. 6 га бөлүнүүчүлүк белги: Цифраларынын суммасы 3 кө бөлүнгөн жуп сан 6 га бөлүнөт.

6. 8 ге бөлүнүүчүлүк белги: Акыркы үч цифрасынан түзүлгөн сан 8 ге бөлүнгөн сан 8 ге бөлүнөт.

7. 9 га бөлүнүүчүлүк белги: Цифраларынын суммасы 9 га бөлүнгөн сан 9 га бөлүнөт.

8. 10 го бөлүнүүчүлүк белги: 0 цифрасы менен аяктаган сан 10 го бөлүнөт.

Аныктама. Бегилери менен гана айырмаланган сандар карама-каршы сандар деп аталат. Мисалы, 3 жана -3, -10 жана 10 ж. б.

Аныктама. Натуралдык сандар, аларга карама-каршы сандар жана 0 саны бүтүн сандар деп аталат. Бүтүн сандардын көптүгү Z тамгасы менен белгиленет жана төмөнкүдөй жазылат: Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }.

Бүтүн сандардын үстүнөн кошуу, кемитүү, көбөйтүү жана бөлүү амал-дары аткарылат, ал эми кошуу, кемитүү жана көбөйтүү амалдары ар дайым аткарылат. Бүтүн сандардын үстүнөн аткарылуучу кошуу жана көбөйтүү амалдары орун алмаштыруу, топтоштуруу жана бөлүштүрүү касиеттерине ээ.

Аныктама. Үстүнөн эсептөө башталышы, бирдик кесинди жана багыт тандалып алынган түз сызык сандык ок деп аталат.

Бүтүн сандарда модуль түшүнүгү кийирилет. Сандык окто эсептөө башталышынан санга тиешелеш коюлган чекитке чейинки аралык сандын модулу деп аталат. Мисалы, 5 тин модулу 5 ке барабар, анткени сандык окто эсептөө башталышынан 5 санына тиешелеш коюлган чекитке чейинки аралык 5 ке барабар жана анын жазылышы 5 болот.

Жалпы түрдө санынын модулунун аныкталышы төмөнкүдөй жазылат:

Бүтүн сандардын үстүндө кошуу, кемитүү, көбөйтүү жана бөлүү амалдары аткарылат, ал эми кошуу, кемитүү жана көбөйтүү амалдары ар дайым аткарылат жана алар төмөнкү касиеттерге ээ:

1. a + b = b + a, кошуунун орун алмаштыруу закону;

2. (a + b) + c = a + (b + c), кошуунун топтоштуруу закону;

3. a b = b a, көбөйтүүнүн орун алмаштыруу закону;

4. (a b) c = a (b c), көбөйтүүнүн топтоштуруу закону;

5. (a + b) c = a b + b c, кошуунун көбөйтүүгө карата бөлүштүрүү закону.