Математические олимпиды в РД

57

Оглавление

Методические рекомендации по проведению муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2015/2016 учебном

году……………………………………………………………………………..4

Задания 2014 - 2015 учебного года:

7 класс. 2014. Муниципальный этап. Условия……………………….....12

8 класс. 2014. Муниципальный этап. Условия…………………………..13

9 класс. 2014. Муниципальный этап. Условия…………………………..14

10 класс. 2014. Муниципальный этап. Условия…………………………15

11 класс. 2014. Муниципальный этап. Условия…………………………11

Решение заданий 2014 - 2015 учебного года:

7 класс. 2014.Муниципальный этап. Решения……………………………17

8 класс. 2014 Муниципальный этап. Решения……………………………19

9 класс. 2014. Муниципальный этап. Решения…………………………...22

10 класс. 2014.Муниципальный этап. Решения…………………………..26

11 класс. Муниципальный этап. Решения………………………………..28

Задания 2015 - 2016 учебного года:

7 класс. 2015.Муниципальный этап. Условия……………………………31

8 класс. 2015.Муниципальный этап. Условия…………………………….32

9 класс. 2015 Муниципальный этап. Условия…………………………….33

10 класс. 2015. Муниципальный этап. Условия…………………………...34

11 класс. 2015. Муниципальный этап. Условия…………………………..35

Решение заданий 2015 - 2016 учебного года:

7 класс. 2015. Муниципальный этап. Решения…………………………….36

8 класс. 2015. Муниципальный этап. Решения…………………………….38

9 класс. 2015. Муниципальный этап. Решения…………………………….41

10 класс. 2015. Муниципальный этап. Решения……………………………43

11 класс. 2015. Муниципальный этап. Решения……………………………45

Литература………………………………………………………………………48

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по проведению муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2015/2016 учебном году

Согласно введенному в 2013 году Порядку проведения Всероссийской олимпиады школьников (далее – Олимпиада, приказ Минобрнауки России № 1252 от 18 ноября 2013), сохраняется общая четырехэтапная структура Олимпиады: школьный, муниципальный, региональный и заключительный этапы. Олимпиада проводится в целях выявления и развития у обучающихся творческих способностей и интереса к научной (научно-исследовательской) деятельности, пропаганды научных знаний, отбора лиц, проявивших выдающиеся способности в составы сборных команд Российской Федерации для участия в международных олимпиадах по общеобразовательным предметам.

Основные задачи.

На муниципальном этапе происходят изменения в целях Олимпиады. Она теперь направлена не только на популяризацию математики и математических знаний. Анализ ее результатов позволяет сравнивать качество работы с учащимися в различных школах, устанавливать уровень подготовки учащихся всего региона, определять направления работы с одаренными школьниками в регионе. При этом усиливается стимулирующая роль Олимпиады, когда у ее участника появляется возможность сравнения своих математических способностей и олимпиадных достижений не только с учащимися своей школы. Участники получают дополнительные стимулы для регулярных занятий математикой в кружках и на факультативах. Кроме того, муниципальный этап олимпиады является серьезным отборочным соревнованием, поскольку по его итогам из большого числа сильнейших школьников различных муниципальных образований формируется состав участников регионального этапа.

Соответственно меняется и характер заданий олимпиады. Они предполагают знакомство участников со спецификой олимпиадных задач по математике: умение строить цепочки логических рассуждений, доказывать утверждения. Стилистически задания еще в большей, по сравнению со школьным этапом, степени начинают отличаться от заданий повышенной трудности, включаемых в школьные учебники по математике, что предполагает психологическую готовность участников олимпиады к таким заданиям. Наконец, большое количество обладающих математическими способностями участников муниципального этапа олимпиады (в особенности в крупных муниципальных образованиях) предполагает заметно более высокий уровень сложности заданий.

Таким образом, основными целями муниципального этапа олимпиады являются формирование и закрепление интереса математически способных обучающихся к регулярным дополнительным занятиям математикой; повышение качества работы учителей математики в школах и развитие системы работы с одаренными детьми в регионе, отбор наиболее способных школьников в каждом муниципальном образовании, формирование регионального списка наиболее одаренных учащихся.

Необходимость решения сформулированных выше задач формирует подход к порядку проведения и характеру заданий на муниципальном этапе Олимпиады.

Порядок проведения.

Олимпиада проводится для учащихся параллелей 7-11 классов. Рекомендуется проведение муниципального этапа олимпиады и для параллелей 5 и 6 классов, в особенности в тех регионах, где развита система дополнительного образования (например, проводятся кружки при университетах). Кроме того, согласно п. 38 Порядка проведения Всероссийской олимпиады школьников, участники школьного этапа олимпиады вправе выполнять олимпиадные задания, разработанные для более старших классов по отношению к тем, в которых они проходят обучение. В случае прохождения на последующие этапы олимпиады, данные участники выполняют олимпиадные задания, разработанные для класса, который они выбрали на школьном этапе олимпиады. Таким образом, участники школьного этапа олимпиады, выступавшие за более старшие классы по отношению к тем, в которых они проходят обучение, на муниципальном этапе также выполняют задания для более старших классов.

По возможности муниципальный этап Олимпиады должен проводиться без установления квот представительства от школ: это означает, что участниками олимпиады могут быть все победители и призеры школьного этапа Олимпиады. Кроме того, участниками олимпиады являются обучающиеся, ставшие победителями и призерами муниципального этапа олимпиады предыдущего года, при условии, что они продолжают обучение в общеобразовательных учебных заведениях. Следует еще раз подчеркнуть недопустимость ограничения числа участников Олимпиады от одного образовательного учреждения. Олимпиада является индивидуальным соревнованием одаренных детей, а не соревнованием школ, и в ней имеют право принимать участие все наиболее способные учащиеся.

Рекомендуемая продолжительность олимпиады: для учащихся 5 и 6 классов – 3 часа; для учащихся 7-11 классов – 4 часа.

Во время Олимпиады участники:

должны соблюдать установленный порядок проведения Олимпиады;

должны следовать указаниям организаторов;

не имеют права общаться друг с другом, свободно перемещаться по аудитории;

не вправе пользоваться справочными материалами, средствами связи и электронно-вычислительной техникой.

При установлении факта нарушения участником Олимпиады Порядка или использования во время тура запрещенных источников информации решением Оргкомитета соответствующего этапа Олимпиады такой участник лишается возможности дальнейшего участия в Олимпиаде.

Олимпиада должна проходить как абсолютно объективное, беспристрастное и честное соревнование с высоким уровнем качества проверки работ участников и удобными условиями работы для участников. Для достижения этих целей:

а) Рекомендуется выполнение олимпиадных работ в тетрадях в клетку в силу того, что на математических олимпиадах предлагаются задачи на разрезание фигур, задачи на клетчатых досках, задачи, требующие построения рисунков и графиков.

б) Работы участников перед проверкой обязательно шифруются. Наиболее удобной формой кодирования является запись шифра (например, 9-01, 9-02, …) на обложке тетради и на первой беловой странице с последующим снятием обложки и ее отдельным хранением до окончания проверки. Расшифровка работ осуществляется после составления предварительной итоговой таблицы и предварительного определения победителей и призеров олимпиады.

в) В состав жюри олимпиады наряду с лучшими учителями необходимо включение преподавателей университетов, а также студентов и аспирантов, окончивших школу в данном муниципальном образовании и успешно выступавших на олимпиадах высокого уровня.

г) После опубликования предварительных результатов проверки олимпиадных работ Участники имеют право ознакомиться со своими работами, в том числе сообщить о своем несогласии с выставленными баллами. В этом случае Председатель жюри Олимпиады назначает члена жюри для повторного рассмотрения работы. При этом оценка по работе может быть изменена, если запрос Участника об изменении оценки признается обоснованным. Жюри олимпиады не вправе «защищать честь мундира» и отказывать участнику олимпиады в исправлении оценки его работы в ситуации, когда реально требуется ее повышение. Изменение оценки согласуется с Председателем жюри и вносится в итоговую таблицу.

д) По результатам олимпиады создается итоговая таблица по каждой параллели. Участники муниципального этапа Олимпиады, набравшие наибольшее количество баллов своей параллели, признаются победителями. Количество призеров муниципального этапа Олимпиады определяется, исходя из квоты победителей и призеров, установленной организатором регионального этапа Олимпиады. Призерами муниципального этапа Олимпиады в пределах установленной квоты победителей и призеров признаются все участники муниципального этапа Олимпиады, следующие в итоговой таблице за победителями.

Характер заданий

Задания муниципального этапа олимпиады должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Задания должны носить творческий характер и проверять не степень усвоения участником олимпиады различных разделов школьной математики, а его способность к нахождению решений новых для него задач. Большая часть заданий должна включать в себя элементы (научного) творчества.

2. В задания нельзя включать задачи по разделам математики, не изученным по всем базовым учебникам по алгебре и геометрии в соответствующем классе к моменту проведения олимпиады.

3. Задания олимпиады должны быть различной сложности для того, чтобы, с одной стороны, предоставить большинству Участников возможность выполнить наиболее простые из них, с другой стороны, достичь одной из основных целей олимпиады – определения наиболее способных Участников. Желательно, чтобы с первым заданием успешно справлялись около 70% участников, со вторым – около 50%, с третьим –20%-30%, а с последними – лучшие из участников олимпиады.

4. В задания должны включаться задачи, имеющие привлекательные, запоминающиеся формулировки.

5. Формулировки задач должны быть корректными, четкими и понятными для участников. Задания не должны допускать неоднозначности трактовки условий. Задания не должны включать термины и понятия, не знакомые учащимся данной возрастной категории.

6. Вариант по каждому классу должен включать в себя 4-6 задач. Тематика заданий должна быть разнообразной, по возможности охватывающей все разделы школьной математики: арифметику, алгебру, геометрию. Варианты также должны включать в себя логические задачи (в среднем звене школы), комбинаторику. Так в варианты для 7-8 классов добавляются задачи, использующие для решения преобразования алгебраических выражений, задачи на делимость, геометрические задачи на доказательство, комбинаторные задачи; в 9-11 последовательно добавляются задачи на свойства линейных и квадратичных функций, задачи по теории чисел, неравенства, задачи, использующие тригонометрию, стереометрию, математический анализ, комбинаторику.

7. Желательно составление заданий олимпиады из новых задач, специально подготовленных методической комиссией для олимпиады. В случае, если задания олимпиады подбираются из печатных изданий и Интернет-ресурсов, необходимо, чтобы эти источники были неизвестны участникам Олимпиады. Олимпиада должна выявлять не энциклопедичность знаний Участника, а его математические способности.

Проверка олимпиадных работ

Для единообразия проверки работ Участников в разных муниципальных образованиях необходимо включение в варианты заданий не только ответов и решений заданий, но и критериев оценивания работ.

Наилучшим образом зарекомендовала себя на математических олимпиадах 7-балльная шкала, действующая на всех математических соревнованиях от начального уровня до Международной математической олимпиады. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных Участником.

Задания 2014 - 2015 учебного года

7 класс. 2014. Муниципальный этап. Условия.

1. Найдите хотя бы одну пару натуральных чисел x и y таких, что

.

2. На скамейке сидят десять школьников: мальчики и девочки. Может ли быть так, что между каждыми двумя мальчиками сидит четное число школьников, а между каждыми двумя девочками — нечетное?

3. Какое наибольшее количество уголков вида ,состоящих из пяти квадратов 1x1, можно поместить в квадрат 7x7? (Уголки можно поворачивать и переворачивать, но нельзя накладывать один на другой.)

4. Имеется 7 внешне одинаковых монет, среди которых 5 настоящих (все — одинакового веса) и 2 фальшивые (одинакового между собой веса, но легче настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить 3 настоящие монеты?

5. Точки Е и F — середины сторон ВС и CD квадрата ABCD. Отрезки АЕ и BF пересекаются в точке К. Что больше: площадь треугольника AKF или площадь четырехугольника KECF?

8 класс. 2014. Муниципальный этап. Условия.

1. Даны n чисел. Сумма любых двух из них равна нулю. Найдите эти числа.

2. Марья Ивановна, выступая на родительском собрании восьмиклассников, в каком-то году по поводу прогульщика Вани рассказывает: «Стало нормой, что Ваня учится, вернее, прогуливает, по своему расписанию. В понедельник он пропускает один урок, во вторник – 2 урока, в среду – 3 урока, в четверг – 4 урока, а в пятницу – все 5 уроков и так весь месяц, 30 дней. Хорошо, что у нас суббота и воскресенье – выходные, а то пропусков было бы еще больше, чем 69!». Верно ли рассчитала Марья Ивановна или нет?

3. Даны отрезки, длины которых , и . Найдите зависимость между числами и , чтобы из данных отрезков можно было построить треугольник или прямоугольный треугольник.

4. Дана трапеция АВСD с тупым углом А . Из вершины А проведена биссектриса угла САD , продолжение которой пересекает прямую ВС в точке Е. Луч, исходящий из точки Е перпендикулярен прямой ВС в точке К , пересекает продолжение медианы СМ треугольника АВС в точке F. Оказалось, что точка С – центр вписанной в треугольник АЕF окружности. Найдите величину угла А.

5. В урне лежат от 20 до 30 разновесных шаров. Из урны случайно извлекли один шар, и оказалось, что количество шаров, которые тяжелее извлеченного, в три раза больше, чем количество тех, которые легче его. Когда извлекали таким же образом второй шар, то оказалось, что количество шаров, которые легче извлеченного шара, в два раза больше, чем количество шаров, тяжелее этого шара. Сколько шаров в урне?

9 класс. 2014. Муниципальный этап. Условия.

1. Четные числа от 2 до 32 разбили на пары, и числа в каждой паре сложили. Какое наибольшее число из этих сумм может делиться на 16 или 17?

2. Даны n чисел. Сумма любых трех из них равна нулю. Найдите эти числа.

3. Даны отрезки, длины которых 3а, 4а,5b. Найдите зависимость между а и b, чтобы из этих отрезков можно было построить остроугольный треугольник; тупоугольный треугольник.

4. На основании ВС равнобочной трапеции АВСД взята точка К. Прямые АК и DК пересекают окружность, описанную около данной трапеции соответственно в точках М и N.

Оказалось, что КМ||ВN.Докажите, что треугольники KMN и BKN подобны

5. Найдите значения параметра a, при которых сумма квадратов корней квадратного трехчлена достигает наименьшего значения.

10 класс. 2014. Муниципальный этап. Условия.

1. Сквер имеет форму круга радиуса 60 м. Вдоль периметра проложена внутренняя дорожка ширины 3 м. Для увеличения проезжей части радиус сквера уменьшили на 8 м. с сохранением ширины дорожки. Сколько плиток станет лишним, если на 1 квадратный метр расходуется 16 плиток. Значение считать равным 3.

2. Найти площадь сегмента круга радиуса , если длина соответствующей хорды равна R.

3. Квадратное уравнение имеет два корня. Составьте новое квадратное уравнение, корни которого равны квадратам его корней.

4. В десятичной записи числа N цифры 2 и 9 встречаются по 3 раза, цифра 1 – два раза, а остальные по одному разу. Может ли число N быть точным квадратом?

5. Последовательность имеет вид

.

Решите уравнение

относительно n.

11класс. 2014. Муниципальный этап. Условия.

1. Пусть последовательность задается формулой

Докажите, что для любого положительного числа найдется такое натуральное число n, что .

1. Квадратное уравнение имеетдва корня. Составьте новое квадратное уравнение, корни которого равны кубам его корней.

2. Решить неравенство

1. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство

имеет хотя бы одно решение.

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 13, 20 и 21 см, а высота призмы равна 25 см. Вычислите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.

Решение заданий 2014 - 2015 учебного года

7 класс. 2014. Муниципальный этап. Решения.

1. Найдите хотя бы одну пару натуральных чисел x и y таких, что

Ответ. 33 и 27.

Решение. .

На самом деле, найденное решение единственное.

2. На скамейке сидят десять школьников: мальчики и девочки. Может ли быть так, что между каждыми двумя мальчиками сидит четное число школьников, а между каждыми двумя девочками — нечетное?

Ответ. Не может.

Решение. Посмотрим на места с четными и на места с нечетными номерами. Если какая-то девочка сидит на месте с нечетным номером, и другая − на четном, то между ними четное число школьников. Значит, либо четные, либо нечетные места свободны от девочек.

Рассмотрим первый случай: тогда на четных местах сидят только мальчики, и между любой их парой − нечетное число школьников — противоречие. Второй случай точно так же приводит к противоречию.

3. Какое наибольшее количество уголков вида ,состоящих из пяти квадратов 1x1, можно поместить в квадрат 7x7? (Уголки можно поворачивать и переворачивать, но нельзя накладывать один на другой.)

Ответ. 9.

Решение. Площадь каждого уголка равна 5, а площадь квадрата − 49, поэтому в квадрат нельзя поместить более 9 уголков. На рисунке 1 приведен один из способов размещения в квадрате 9 уголков.

Рис. 1.

4. Имеется 7 внешне одинаковых монет, среди которых 5 настоящих (все — одинакового веса) и 2 фальшивые (одинакового между собой веса, но легче настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить 3 настоящие монеты?

Решение. Занумеруем монеты: 1, 2, ..., 7.

1-е взвешивание: 1, 2, 3 и 4, 5, 6.

а) В случае равенства среди монет 1, 2, 3 и 4, 5, 6 по одной фальшивой монете, а монета 7 настоящая.

2-е взвешивание: 1 и 2. При равенстве монеты 1, 2, 7 настоящие. Если 1 2, то монеты 1, 3, 7 настоящие.

б) Если 1, 2, 3 4, 5, 6, то монеты 1, 2, 3 настоящие.

5. Точки Е и F — середины сторон ВС и CD квадрата ABCD. Отрезки АЕ и BF пересекаются в точке К. Что больше: площадь треугольника AKF или площадь четырехугольника KECF?

Ответ. Площадь треугольника больше.

Решение. Пусть 4S — площадь квадрата (рис. 2). Тогда площадь каждого из треугольников ABE, ADF, BCF равна S, поэтому площадь треугольника ABF равна 2S. Но треугольник АКB — часть треугольника ABE , поэтому его площадь меньше S, а это означает, что площадь треугольника AKF больше S. С другой стороны, площадь четырехугольника KECF меньше S, так как он составляет часть треугольника BCF.

Рис. 2.

8 класс. 2014. Муниципальный этап. Решения

1. Даны n чисел. Сумма любых двух из них равна нулю. Найдите эти числа.

Решение. Пусть данные числа. Напишем ряд равенств:

.

Из первых трех равенств следует, что , т.е. Учитывая, что все суммы равны нулю, получаем Из последующих трех равенств и т.д. последовательно находим .

Ответ: все числа равны нулю.

2. Марья Ивановна, выступая на родительском собрании восьмиклассников, в каком-то году по поводу прогульщика Вани рассказывает: «Стало нормой, что Ваня учится, вернее, прогуливает, по своему расписанию. В понедельник он пропускает один урок, во вторник – 2 урока, в среду – 3 урока, в четверг – 4 урока, а в пятницу – все 5 уроков и так весь месяц, 30 дней. Хорошо, что у нас суббота и воскресенье – выходные, а то пропусков было бы еще больше, чем 69!» Верно ли рассчитала Марья Ивановна или нет?

Решение. Если месяц содержит 30 дней, то всего будут четыре полных недели и два дня. За неделю Ваня прогуливает уроков, а всего за 4 недели уроков. Остаются два дня. Если эти дни учебные, то число прогулов будет нечетным: 3, 5, 7, 9, а самое большое число прогулов за месяц равно 69.

Если же среди этих двух дней один выходной, т.е. либо понедельник, либо пятница, то Ваня прогулял бы 1 урок или 5 уроков. Значит, Ваня не мог прогулять больше 69 уроков. Марья Ивановна рассчитала неверно.

Ответ: нет, неверно.

3. Даны отрезки, длины которых , и . Найдите зависимость между числами и , чтобы из данных отрезков можно было построить треугольник или прямоугольный треугольник.

Решение. Так как , то наибольшим отрезком может быть либо _, либо .

Тогда эти отрезки должны удовлетворять системе неравенств:

Из этой системы следует, что ˗ условия возможности построения из данных отрезков треугольника. Построенный из таких отрезков треугольник окажется прямоугольным, если квадрат длины наибольшего отрезка равен сумме квадратов длин двух других отрезков, то из них можно построить прямоугольный треугольник. Причем гипотенузой будет наибольший отрезок, катетами – два других отрезка.

Пусть - наибольший отрезок, тогда должно выполняться равенство

, из которого следует, что . (Отметим, что получится бесконечное множество прямоугольных треугольников, подобных египетскому треугольнику (5, 4, 3)).

Если допустить, что - наибольшая сторона, то

.

Ответ: ; или .

4. Дана трапеция АВСD с тупым углом А . Из вершины А проведена биссектриса угла САD , продолжение которой пересекает прямую ВС в точке Е. Луч, исходящий из точки Е перпендикулярен прямой ВС в точке К , пересекает продолжение медианы СМ треугольника АВС в точке F. Оказалось, что точка С – центр вписанной в треугольник АЕF окружности. Найдите величину угла А.

Решение. П усть лучи АЕ, АК, АF и точка С удовлетворяют условию задачи (рис.1). Так как СЕ//АD, секущая АЕ является биссектрисой угла САD, то , как накрест лежащие. Так как АК - высота ΔЕАF и точка С- центр вписанной окружности, то имеем, что СК – радиус этой окружности. Высота АК становится и биссектрисой, = , что означает равнобедренность ΔЕАF (АЕ=АF). Значит, _. Оказалось, что углы ΔАЕF равны между собой, то есть ΔАЕF- правильный, и . Тогда и ,т.к. ВС//АД и АС- секущая. Значит, .

Ответ:

5. В урне лежат от 20 до 30 разновесных шаров. Из урны случайно извлекли один шар, и оказалось, что количество шаров, которые тяжелее извлеченного, в три раза больше, чем количество тех, которые легче него. Когда извлекали таким же образом второй шар, то оказалось, что количество шаров, которые легче извлеченного шара, в два раза больше, чем количество шаров, тяжелее этого шара. Сколько шаров в урне?

Решение. Пусть в урне n шаров. После извлечения одного шара в ней останется n-1 шаров. Обозначим через х количество шаров, которые тяжелее извлеченного. Тогда количество шаров, которые легче извлеченного, будет 3х. Значит в урне 4х шаров. Имеем равенство

4х = n-1. (1)

Когда извлекли второй шар, в урне остались n-2 шаров. Если обозначить количество шаров в урне, которые тяжелее второго шара через у, то количество шаров легких извлеченного будет 2у. Итак, в урне 3у шаров. Имеем равенство

3у=n-2. (2)

Из равенств (1) и (2) получим равенства: n-1=4х=3у+1, (3) из которых следует, что число n-1 с одной стороны, должно делиться на 4, с другой, при делении на 3 должно давать в остатке 1. В указанном в задаче интервале есть единственное число n=29, удовлетворяющее равенству (3).

Ответ:29

9 класс. 2014. Муниципальный этап. Решения.

1. Четные числа от 2 до 32 разбили на пары, и числа в каждой паре сложили. Какое наибольшее число из этих сумм может делиться на 16 или 17?

Решение. Из этих четных чисел можно получить 8 пар. Так как сумма чисел во всех парах есть можно получить два разбиения по 8 пар так, чтобы сумма в каждой паре разделилась либо на 16, либо на 17:

1. 

И пара . Всего 8 пар.

1. 

Всего 8 пар.

Другие разбиения на пары, удовлетворяющие условию задачи, отсутствуют .

Ответ: 8

2. Даны n чисел. Сумма любых трех из них равна нулю. Найдите эти числа.

Решение. Пусть – данные числа. Напишем последовательно равенства:

Из первых четырех равенств следует, что

. А так как сумма любых трех слагаемых рана нулю, то

имеем , т.е. .

Установить, что все остальные числа также равны 0, просто:

Ответ: все числа равны нулю.

3. Даны отрезки, длины которых 3а, 4а, 5b. Найдите зависимость между а и b, чтобы из этих отрезков можно было построить остроугольный треугольник; тупоугольный треугольник.

Решение. Определим зависимость между между а и b так, чтобы можно было построить треугольник. Так как 3а 4а, то наибольшим отрезком может быть 5b или 4а. Тогда имеем систему неравенств:

При выполнении неравенств (1) можно построить треугольник.

Треугольник этот будет остроугольным (тупоугольным), если

_{квадрат длины наибольшего отрезка должен быть меньше суммы квадратов длин двух других сторон. А так как наибольшей стороной может быть либо 5b, либо 4а,то следует рассмотреть 2 случая:}

1. 5b- наибольшая сторона:

2. 4а- наибольшая сторона:

Получим, что треугольник остроугольный, если заметим, что: или . Рассуждая аналогично, заключаем, что треугольник будет тупоугольным при или .

Ответ: _{; ;}

4. На основании ВС равнобочной трапеции АВСД взята точка К. Прямые АК и DК пересекают окружность, описанную около данной трапеции соответственно в точках М и N.

Оказалось, что КМ||ВN.Докажите, что треугольники KMN и BKN подобны

Пусть ВN||KM, т.е. (рис.1). Опишем около окружность и докажем, что прямая ВС- касательная к этой окружности в точке К. Так как АD||ВС, то (как соответственные). А , как опирающиеся на одну и ту же дугу АВN. Оказалось, что угол между( ВС) и хордой КN равен углу, опирающемуся на хорду KN, т.е. углу КМN. Значит прямая ВС касается окружности в точке К. По той же причине . Следовательно .

Примечание. Не имеет значения, на каком из оснований взята точка К.

5. Найдите значения параметра a, при которых суммы квадратов корней квадратного трехчлена достигает наименьшее значение

Решение. Пусть уравнения имеет корни ( и ), что означает неравенство , т.е. Если или 1, то квадратные уравнения

имеют равные корни :

_{Естественно,} при _{. (При} =50.₎ Исследуем, может ли достигать = минимума, если или _.

Преобразуем:

Так как не может быть и , то . Если положить , то . Следовательно, при _,если минимальное значение суммы равно 2.

Ответ: 1.

1. класс. 2014. Муниципальный этап. Решения.

1.Сквер имеет форму круга радиуса 60 м. Вдоль периметра проложена внутренняя дорожка ширины 3 м. Для увеличения проезжей части радиус сквера уменьшили на 8 м. с сохранением ширины дорожки. Сколько плиток станет лишним, если на 1 квадратный метр расходуется 16 плиток. Значение считать равным 3.

1. Решение. Обозначим через Rрадиус круга (R=60 м). Тогда площадь дорожки равна . Та же площадь после уменьшения радиуса на 8 м равна . Следовательно, ( )

Ответ: 2 304

2. Найти площадь сегмента круга радиуса , если длина соответствующей хорды равна R.

2. Решение.

Используя теорему косинусов, находим :

Значит, .

Искомая площадь

Ответ:

3. Квадратное уравнение имеет два корня. Составьте новое квадратное уравнение, корни которого равны квадратам его корней.

Решение. Имеем

= ,

Ответ. Уравнение:

4. В десятичной записи числа N цифры 2 и 9 встречаются по 3 раза, цифра 1 – два раза, а остальные по одному разу. Может ли число N быть точным квадратом?

Решение. Справедливы утверждения.

1. Если N точный квадрат, то при делении на 3 в остатке могут быть только 0 или 1.

Действительно, если и , то .

При делении на 3 в остатке получим 0 ( ) или 1 ).

1. Остаток от деления числа N на 3 совпадает с остатком деления суммы цифр в записи N на 3.

В нашем случае сумма цифр числа N

.

Значит, число N при делении на 3 имеет остаток 2 и он же не может быть точным квадратом.

5. Последовательность имеет вид

.

Решите уравнение

относительно n.

Решение. Так как

, то

.

Решаем уравнение

Ответ: n=45.

1. класс. 2014. Муниципальный этап. Решения.

1. Пусть последовательность задается формулой

Докажите, что для любого положительного числа найдется такое натуральное число n, что .

1.Решение. Рассмотрим для , – натуральное число:

Для любого имеем

Следовательно, для будет .

Поэтому можно найти такое число , что .

2. Квадратное уравнение имеет два корня. Составьте новое квадратное уравнение, корни которого равны кубам его корней.

2.Решение. Имеем

Ответ. Уравнение: .

3. Решить неравенство

3. Решение. 1) Находим О.Д.З.: ; .

1. Пусть . Тогда ⇔

.

Ответ:

4. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство

имеет хотя бы одно решение.

4. Решение. Положим . Теперь надо найти все значения параметра a, при которых квадратное уравнение

имеет хотя бы один положительный корень.

Пусть .

Хотя бы один положительный корень получится в двух случаях:

.

В первом случае получаем ; во втором – решаем систему

Ответ: .

5.В прямой треугольной призме стороны основания равны 13, 20 и 21 см,

а высота призмы равна 25 см. Вычислите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.

5.Решение. В сечении получается прямоугольник высотой 25 см и осно-

ванием, равным меньшей высоте треугольника.

Меньшая высота будет та, которая проведена к стороне, равной 21 см. Зная 3 стороны треугольника, находим, что высота h, проведенная к стороне a=21 см имеет длину h=12 см.

Ответ: 300 кв. см.

Задания 2015 - 2016 учебного года

7 класс. 2015. Муниципальный этап. Условия.

1. К бабушке в гости приехали 11 внуков − все дети двух ее дочерей. Одна из внучек сказала: «Здесь у меня в 2 раза больше сестричек, чем дома», а другая ответила: «А у меня здесь в 3 раза больше сестричек, чем дома». Сколько внуков и внучек у бабушки?

2. Петя хочет разрезать квадратный торт на 5 кусков, одинаковых по весу, разрезами, параллельными между собой, но не параллельными краям торта. Помогите ему сделать это.

3. Имеются 10 арбузов и весы, с помощью которых за одно взвешивание можно определить общий вес любых трех арбузов (на весы разрешается класть ровно 3арбуза). Как за шесть таких взвешиваний определить общий вес всех арбузов?

4. Для натурального числа N вычислили суммы всех пар соседних цифр (например, для N = 35207 суммы составляют {8, 7, 2, 7}). Найдите наименьшее N, для которого среди этих сумм есть все числа от 1 до 9.

5. На смотре войска Острова лжецов и рыцарей (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов, стоящих в шеренге, сказал: «Мои соседи по шеренге − лжецы». (Воины, стоящие в концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге − лжец».) Какое наибольшее число рыцарей могло оказаться в шеренге, если на смотр вышли 2015 воинов?

8 класс. 2015. Муниципальный этап. Условия.

1. Найдите все пары натуральных чисел x и y таких, что .

2. Существует ли 20-значное число с ненулевыми цифрами, которое не делится на 9, но такое, что при вычеркивании любой одной его цифры получается 19-значное число, которое делится на 9?

3. Набор, состоящий из целых чисел а, b, с, заменили на набор а−1, b+1, с². В результате получившийся набор совпал с исходным. Найдите числа а, b, с, если известно, что их сумма равна 2015.

4. Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что точка, симметричная вершине прямого угла относительно гипотенузы, лежит на прямой, проходящей через середины двух сторон треугольника.

5. На столе донышками вниз стоит 1001 пустой стакан. Два игрока по очереди переворачивают стаканы, в том числе и перевернутые ранее, по следующим правилам: за первый ход можно перевернуть не более одного стакана, за второй — не более двух и т. д. При этом за каждый ход необходимо перевернуть хотя бы один стакан. Выигрывает тот, после хода которого все стаканы расположены донышками вверх. Кто может выиграть в этой игре независимо от ходов соперника?

9 класс. 2015. Муниципальный этап. Условия.

1. Решить уравнение в натуральных числах

2. При каких значениях а уравнение имеет два различных отрицательных корня?

3. В классе квадратной формы поставить вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну.

4. После продажи сначала 60% тетрадей, затем половины оставшихся осталось еще 80 тетрадей. Сколько было всего тетрадей?

5. Внутри единичного квадрата поместили три непересекающиеся окружности одинакового радиуса. При каком максимальном значении радиуса это возможно?

10 класс. 2015. Муниципальный этап. Условия.

1. Среднее арифметическое девяти чисел равно 14,2. Среднее арифметическое первых пяти чисел из них равно 12,6. Найдите среднее арифметическое остальных чисел.

2. Найдите хотя бы одну пару таких натуральных чисел m, n, чтобы

m²˗˗ n³ = 2015²⁰¹⁶

3. При каких a система уравнений

имеет ровно два решения?

4. Доказать, что для х 7 справедливо неравенство

 4 ( 1.

5. Две пересекающиеся в точках A, B окружности имеют равные радиусы. Прямая, проходящая через точку А, пересекает окружности в точках E и F. На луче FB взяли точку С так, чтобы FB=BC. Найдите площадь , если EF=15, EC=6.

11 класс. 2015. Муниципальный этап. Условия.

1. Найдите хотя бы одну пару таких натуральных чисел m, n, чтобы

m²˗n³ = 2015²⁰¹⁶

2. Меньшее из трех чисел m, 5-n и n-m обозначим через min. При каких m, n значение min будет наибольшим?

3. Найти решения уравнения в натуральных числах.

4. Найти наибольший отрицательный корень уравнения

5. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в точке P. Известны площади треугольников: S_ABP=4, S_BCP=12, S_CDP=6. Найдите площадь треугольника ADP.

Решение заданий 2015 - 2016 учебного года

7 класс. 2015. Муниципальный этап. Решения.

1. К бабушке в гости приехали 11 внуков − все дети двух ее дочерей. Одна из внучек сказала: «Здесь у меня в 2 раза больше сестричек, чем дома», а другая ответила: «А у меня здесь в 3 раза больше сестричек, чем дома». Сколько внуков и внучек у бабушки?

1. Решение. Количество сестер у первой девочки делится на 2, а у второй девочки делится на 3. Значит, если от количества внучек отнять единицу, то получится число, делящееся на 2∙3 = 6. Но от 1 до 10 только 6 является таким числом. Значит, внучек 7, а внуков 4

Ответ: 4 внука и 7 внучек.

2. Петя хочет разрезать квадратный торт на 5 кусков, одинаковых по весу, разрезами, параллельными между собой, но не параллельными краям торта. Помогите ему сделать это.

2. Решение. Один из примеров разрезания показан на рисунке 1. Треугольные части имеют площадь , а средние − .

Рис.1

3. Имеются 10 арбузов и весы, с помощью которых за одно взвешивание можно определить общий вес любых трех арбузов (на весы разрешается класть ровно 3арбуза). Как за шесть таких взвешиваний определить общий вес всех арбузов?

3. Решение. Обозначим веса арбузов через А₁, А₂, ..., А₁₀. Сначала взвешиваем 1, 2 и 3-й арбузы. Пусть А₁ + А₂ + А₃ = М₁. Затем взвешиваем 1, 2 и 4-й арбузы. Пусть А₁ + А₂ + А₄ = М₂. Потом взвешиваем 2, 3 и 4-й арбузы. Пусть А₂ + А₃ + А₄ = М₃. Далее взвешиваем 1, 3 и 4-й арбузы. Пусть А₁ + А₃ + А₄ = М₄. Тогда А₁ + А₂ + А₃ + А₄ = (M₁ + M₂ + M₃ + M₄ )/3. Еще за два взвешивания узнаем суммарный вес оставшихся 6 арбузов (взвешиваем 5, 6 и 7-й арбузы, после этого взвешиваем 8, 9 и 10-й арбузы).

4. Для натурального числа N вычислили суммы всех пар соседних цифр (например, для N = 35207 суммы составляют {8, 7, 2, 7}). Найдите наименьшее N, для которого среди этих сумм есть все числа от 1 до 9.

4. Решение. Число N по крайней мере десятизначное, так как различных сумм 9. Поэтому наименьшее число десятизначное, при этом каждая из сумм 1, ..., 9 должна встречаться ровно один раз. Поскольку ищется наименьшее N , то возьмем первую цифру равной 1, вторую − 0. Сумма 1 уже встретилась, поэтому наименьшая третья цифра −2 и т. д.

Ответ: N = 1 021 324 354.

5. На смотре войска Острова лжецов и рыцарей (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов, стоящих в шеренге, сказал: «Мои соседи по шеренге − лжецы». (Воины, стоящие в концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге − лжец».) Какое наибольшее число рыцарей могло оказаться в шеренге, если на смотр вышли 2015 воинов?

5. Решение. Заметим, что два воина, стоящие рядом, не могли оказаться рыцарями. Действительно, если бы они оба были рыцарями, то они оба сказали бы неправду. Выберем воина, стоящего слева, и разобьем ряд из оставшихся 2014 воинов на 1007 групп по два рядом стоящих воина. В каждой такой группе не более одного рыцаря, т. е. среди рассматриваемых 2014 воинов не более 1007 рыцарей, т. е. всего в шеренге не более 1007 + 1 = 1008 рыцарей. Рассмотрим шеренгу РЛРЛР...РЛРЛР. В такой шеренге стоит ровно 1008 рыцаря.

Ответ: 1008.

8 класс. 2015. Муниципальный этап. Решения.

1. Найдите все пары натуральных чисел x и y таких, что .

1. Решение. Разложив 2015 на множители, получим . Так как 31 и 13 взаимно простые, то отсюда следует, что x кратно 13, а y кратно 31, то есть , , . Отсюда , , , . Соответственно, , , , .

Ответ: ; ; ; .

2. Существует ли 20-значное число с ненулевыми цифрами, которое не делится на 9, но такое, что при вычеркивании любой одной его цифры получается 19-значное число, которое делится на 9?

2. Решение. Предположим, что искомое число (назовем его n) нашлось. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Рассмотрим в числе n две соседние цифры a и b. Назовем n_а число, которое получается из n вычеркиванием цифры а. Числа n_а и n_b отличаются лишь одной цифрой (в n_а осталась цифра b, а в n_b осталась цифра а), и у обоих этих чисел сумма цифр делится на 9. Поэтому цифры а и b одинаковые (так как они не нули). Так как а и b − две произвольные соседние цифры, то в каждой паре соседние цифры одинаковы. Значит, в числе n все цифры одинаковы. Пусть они равны q. Заметим, что q ≠ 9, так как в этом случае число n делилось бы на 9. Теперь рассмотрим число, состоящее из 19 цифр q. Его сумма цифр равна 19q, что не делится на 9, − противоречие.

Ответ: не существует.

3. Набор, состоящий из целых чисел а, b, с, заменили на набор а−1, b+1, с². В результате получившийся набор совпал с исходным. Найдите числа а, b, с, если известно, что их сумма равна 2015.

3. Решение. Из того, что наборы совпадают, следует равенство а + b + с = а−1 + b +1 + с². Получаем с = с², т. е. с = 0 или с = 1. Так как с = с², то а−1 = b, b + 1 = а. Это означает, что возможны два случая: набор b + 1, b, 0 и b + 1, b, 1. Из того, что сумма чисел набора равна 2015, в первом случае получаем 2b + 1 = 2015, b = 1007 и набор 1008, 1007, 0, во втором случае получаем

2b + 2 = 2015, b = 1006,5 — не целое число, т. е. второй случай невозможен.

Ответ: 1008, 1007, 0.

4. Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что точка, симметричная вершине прямого угла относительно гипотенузы, лежит на прямой, проходящей через середины двух сторон треугольника.

4 . Решение. Прямая, проходящая через середины катетов, делит высоту СН пополам, поэтому искомая точка Р MN, где М и N — середины катета и гипотенузы (рис. 1), т. е. MN − средняя линия треугольника ABC. Тогда MN || ВС = ∠P = ∠BCH (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых) = ΔВСН = = ΔNPH (∠CHB = ∠PHN = 90°, СН = = РН — по стороне и острому углу) = ВН = NH = CN = СВ = а (в равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой).

Но CN — медиана прямоугольного треугольника ABC, поэтому CN = BN (ясно, если описать около треугольника ABC окружность) = ΔBCN равносторонний, следовательно, ZB = 60°.

Ответ: 60°, 30°, 90°.

5. На столе донышками вниз стоит 1001 пустой стакан. Два игрока по очереди переворачивают стаканы, в том числе и перевернутые ранее, по следующим правилам: за первый ход можно перевернуть не более одного стакана, за второй — не более двух и т. д. При этом за каждый ход необходимо перевернуть хотя бы один стакан. Выигрывает тот, после хода которого все стаканы расположены донышками вверх.

Кто может выиграть в этой игре независимо от ходов соперника?

5. Решение. Опишем стратегию второго игрока. Пусть второй переворачивает обратно те стаканы, которые перевернул первый, до тех пор, пока первый не сделает свой 500-й ход. Тогда перед ходом первого каждый раз все 1001 стакан стоят донышками вниз. И первый имеет право перевернуть каждым своим ходом не более 999 стаканов (ровно 999 ему можно будет перевернуть только при своем 500-м ходе). Тогда пусть первый при своем 500-м ходе перевернул несколько (не более 999) стаканов. Остались неперевернутыми не более 1000 стаканов. А так как второму своим ходом можно перевернуть 1000 стаканов или меньше, то он просто переворачивает оставшиеся стаканы и выигрывает.

Ответ: выигрывает второй.

9 класс. 2015. Муниципальный этап. Решения.

1. Решить уравнение в натуральных числах

1. Решение. x=3, y=1 есть решение. Все целые решения имеют вид x=3+8k, y=1+5k, где k любое целое число. Все натуральные решения получим, если

Ответ: (

2. При каких значениях а уравнение имеет два различных отрицательных корня?

2. Решение. Требуемое условие выполняется тогда и только тогда, когда D0 и y(0)0, где y = . Или

Ответ: (0, )

3. В классе квадратной формы поставить вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну.

3. Решение.

4. После продажи сначала 60% тетрадей, затем половины оставшихся осталось еще 80 тетрадей. Сколько было всего тетрадей?

4. Решение. Пусть было x тетрадей. Тогда x-0,6x-0,5∙0,4x = 80

Ответ: 400.

5. Внутри единичного квадрата поместили три непересекающиеся окружности одинакового радиуса. При каком максимальном значении радиуса это возможно?

5. Решение. Идея симметрии подсказывает следующую расстановку

B B₁ C

A

D

Пусть r – максимальное значение радиуса. Треугольник O₁O₂O₃ – равносторонний со стороной a = 2r. Сделаем вспомогательный чертеж

M O₂

O₃

O₁

O₂M//AD, O₁M//AB

MO₁O₂= 15⁰

Из прямоугольного находим O₁M = O₁O₂ cos15⁰

Следовательно, O₁M= r . Из равенства A₁O₁+ O₁M+ O₂B₁ = 1, находим, что

2r+r = 1.

Ответ:

Замечание. Если учащиеся не знают формулу 2cos² = 1+cos2,

то можно на доске выписать значение cos15⁰ .

10 класс. 2015. Муниципальный этап. Решения.

1. Среднее арифметическое девяти чисел равно 14,2. Среднее арифметическое первых пяти чисел из них равно 12,6. Найдите среднее арифметическое остальных чисел.

1. Решение. Сумма первых пяти чисел равна 5∙12,6=63.

Сумма всех 9 чисел равна 9∙14,2 = 127,8.

Сумма остальных четырех чисел 127,8-63 = 64,8.

Ответ: 16,2.

2. Найдите хотя бы одну пару таких натуральных чисел m, n, чтобы

m²˗n³ = 2015²⁰¹⁶

2. Решение. Так как 2016 делится на 2 и на 3, то сначала находим такие m, n, чтобы

m²˗n³ = 1, m=3, n=2

Ответ: (3∙2015¹⁰⁰⁸, 2∙2015⁶⁷²)

3. При каких a система уравнений

имеет ровно два решения?

3. Решение. Если (x₀, y₀) есть решение системы, то решениями будут также пары

(y₀, x₀), (˗x₀, ˗y₀), (˗y_0, ˗x₀)

Поэтому система будет иметь два решения лишь при x₀= y₀

Если x=y, то a=7

Ответ: 7.

4. Доказать, что для х 7 справедливо неравенство

 4 ( 1

4. Решение. Т.к. для x7 имеем 4 ( 10, то доказательство путем возведения обеих частей в квадрат сводится к простым преобразованиям.

5. Две пересекающиеся в точках A, B окружности имеют равные радиусы. Прямая, проходящая через точку А, пересекает окружности в точках E и F. На луче FB взяли точку С так, чтобы FB=BC. Найдите площадь , если EF=15, EC=6.

5. Решение. Сделаем чертеж

A

F

E

B

C

Соединим точки Е и В.

Тогда BEF=BFE

Следовательно, BC=BF=BE и FС будет диаметром описанной около окружности, FEC = 90⁰

Ответ: 45.

1. класс. 2015. Муниципальный этап. Решения.

1. Найдите хотя бы одну пару таких натуральных чисел m, n, чтобы

m²˗n³ = 2015²⁰¹

1. Решение. Так как 2016 делится на 2 и на 3, то сначала находим такие m, n, чтобы m²˗n³ = 1, m=3, n=2.

Ответ: (3∙2015¹⁰⁰⁸, 2∙2015⁶⁷²)

2. Меньшее из трех чисел m, 5-n и n-m обозначим через min. При каких m, n значение min будет наибольшим?

2. Решение. Для любых m, n сумма заданных чисел равна 5. Поэтому min

Значит, и максимальное значение не превзойдет

Из равенств m= , n-m= , 5-n = получаем

Ответ: m= , n= .

3. Найти решения уравнения в натуральных числах.

3. Решение. Представим уравнение в виде xy(x+y-4)=6

Если x+y5 или x+y , то уравнение не имеет решений,

остается

Ответ: (2,3), (3,2).

4. Найти наибольший отрицательный корень уравнения

4. Решение. Отрицательные корни имеют вид:

либо x=n, n= -1,-2,...,

либо являются решениями системы

В первой группе наибольшим является -, а среди решений системы - число .

Ответ: -.

5. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в точке P. Известны площади треугольников: S_ABP=4, S_BCP=12, S_CDP=6. Найдите площадь треугольника ADP.

5. Решение. Сделаем чертеж:

B

4

12

A

C

РP

x

6

D

В каждом треугольнике указаны площади.

Если обозначить , AP=a, BP=b, PC=d, PD=c, то имеем три равенства:

a∙b∙sin =8, b∙d∙sin =24, c∙d∙sin =12. Значит, sin = и =24, 8∙ = 12.

Отсюда следует, что =3, = . Искомая площадь x= =

= .

Ответ: 2.

Литература

1. Методические рекомендации по проведению школьного и муниципального этапов по математике в 2015/2016 учебном году (Утверждены на заседании Центральной предметно-методической комиссии Всероссийской олимпиады школьников по математике (протокол № 2 от 25.05.2015 г.))

2.Журналы: «Квант», «Квантик», «Математика в школе», «Математика для школьников».

3. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математика. Районные олимпиады. 6-11 класс. – М.: Просвещение, 2010.

4. Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Кожевников П.А., Подлипский О.К., Терешин Д.А. Математика. Всероссийские олимпиады. Выпуск 1. – М.: Просвещение, 2008.

5. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математика. Всероссийские олимпиады. Выпуск 2. – М.: Просвещение, 2009.

6. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Рубанов И.С. Математика. Всероссийские олимпиады. Выпуск 3. – М.: Просвещение, 2011.

7. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Рубанов И.С. Математика. Всероссийские олимпиады. Выпуск 4. – М.: Просвещение, 2013.

8. Адельшин А.В.,Кукина Е.Г.,Латыпов И.А. и др. Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина. Омск, 2007-2009. – М.: МЦНМО, 2011.

9. Андреева А.Н. ,Барабанов А.И., Чернявский И.Я. Саратовские математические олимпиады.1950/51–1994/95. (2-e. исправленное и дополненное). – М.: МЦНМО, 2013.

10. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975.

11. Блинков А.Д., Горская Е.С., Гуровиц В.М. (сост.). Московские математические регаты. Часть 1. 1998– 2006 – М.: МЦНМО, 2014.

12. Блинков А.Д. (сост.). Московские математические регаты. Часть 2. 2006– 2013 – М.: МЦНМО, 2014. 28

13. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров: Аса, 1994.

14. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике (3-е изд., стереотип.). – М.: МЦНМО, 2013.

15. Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник (6-е издание, стереотипное). — М., МЦНМО, 2011.

16. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы (5-е издание, стереотипное). — М., МЦНМО, 2012.

17. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи (8-е, стереотипное). — М., МЦНМО, 2014.

18. Кноп К.А. Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам (3-е, стереотипное). — М., МЦНМО, 2014.

19. Козлова Е. Г.. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка) (7-е издание, стереотипное).— М., МЦНМО, 2013.

20. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – М., ГИФМЛ, 1958 — 576 с.

21. Раскина И. В, Шноль Д. Э. Логические задачи. – М.: МЦНМО, 2014.

22. Интернет-ресурс: http://www.problems.ru/.