Магические квадраты

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

ХАНТЫ-МАНСИЙСКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ - ЮГРА

ГОРОД РАДУЖНЫЙ

Исследовательская проектная работа
на XVII городскую научно-практическую

конференцию молодых исследователей

научно-социальной программы

«Шаг в будущее»

Автор:	Данилов Никита Александрович 6в класс Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №4 »
Руководитель:	Беляева Людмила Юрьевна учитель математики Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 4»

Магия квадратов

Г Радужный

2017год

Оглавление

Введение 3

Откуда пришли магические квадраты 4

Какие бывают магические квадраты 5

Некоторые способы построения магических квадратов. 6

Построение квадрата нечетного порядка. Метод достроения. 6

Построение квадрата двойной четности . 7

Применение магических квадратов 8

Заключение 9

Литература 10

Приложение 1 11

Приложение 2 12

Введение

Для большинства учащихся собственно математические знания не имеют и не будут иметь практического значения, применения в повседневной жизни или в трудовой деятельности. Ведь кто-то среди ребят любит решать задачи, а кто-то увлекается историей , литературой …Однако, мало кого оставит равнодушным использование математики с целью постижения природной гармонии.

Я заинтересовался темой этого проекта из-за интереса к головоломкам.

Актуальность: математика это не «сухая» наука, которая состоит из чисел, формул и неинтересных задач, а то, что она занимательная, увлекательная и даже красивая наука. Именно это я и хотел доказать своей работой.

Объект исследования: головоломки.

Предмет исследования: магические квадраты.

Главная цель исследования: научиться составлять магические квадраты.

В соответствии с поставленной целью определены задачи исследования:

- выяснить какие квадраты называют «магическими»

- изучить литературу о «магических» квадратах;

- ознакомиться со способами заполнения магических квадратов;

- научиться составлять магические квадраты.

Для решения данных задач использовались следующие методы исследования:

- теоретические: анализ литературы по теме исследования;

- практические: создание магических квадратов.

Новизна данной работы заключается в том, что мы решили не только научиться составлять магические квадраты, но и заинтересовать учащихся нашей школы этой головоломкой.

Этапы работы:

1.Изучение литературы и интернет-источников по теме.

2. Анализ и систематизация материала, отбор нужной информации.

3. Создание магических квадратов.

Практическая значимость исследования заключается в том, что его можно рекомендовать для внеурочной работы по математике для учащихся любого возраста.

Математика… Что мы понимаем под этим словом? Большинство считает, что это наука, которая не терпит неточностей. «Во всем должен быть порядок» считали великие математики. Да, она может быть неинтересна, потому что математика - это большое количество формул и чисел, но так считают те, кто не умеет пользоваться этими формулами и не видит красоты чисел. Другие убеждены, что математика - это мир загадок, головоломок, интересных задач, уравнений, одним словом, занимательная наука.

На одном из внеурочных занятий по математике нам предложили заполнить квадрат числами от 1 до 9, так чтобы сумма чисел по горизонтали, вертикали и на диагоналях квадрата была одинакова. Но эта задача не такая простая, как нам показалось на первый взгляд. Меня заинтересовало предложенное задание. Поэтому я решил попробовать написать исследовательскую работу, чтобы раскрыть секреты и найти способы заполнения таких квадратов.

Из истории магических квадратов

Магическим называется такой квадрат, в котором все значения по горизонтали, вертикали и диагонали дают в сумме одно и то же число. Неизвестна страна, в которой был впервые создан магический квадрат, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Если верить китайскому преданию, то несложный и древнейший «волшебный» квадрат, о котором узнал род людской, был изображен на панцире священной черепахи. Существует такая легенда. В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») описана легенда о том, что император Ню, который жил 4000 лет назад, увидел на берегу реки Хуанхэ (Желтой реки) священную черепаху. На ее панцире были изображены таинственные иероглифы (приложение1 рис. 1, 2), которые называют ло-шу.

«Магическими» квадраты нарекли арабы, которые узрели в их свойствах что-то фантастическое. Они считали их своего рода талисманами, которые оберегали тех, кто носит эти квадраты от многих неудач. «Волшебными» квадратами увлекались и средневековые арабские арифметики, они приводили их примеры в собственных сочинениях. В 11 веке о магических квадратах узнали в Индии а позже и в Стране восходящего солнца. Японцы в 16 веке в своей литературе уделяли немало внимания. магическим квадратам.

В Европа познакомилась с интересными таблицами в 15 веке. Писатель из Византии Э.Мосхопулос посвятил этой теме несколько сочинений, которые содержали образцы магических квадратов разного порядка, составленные им самим. Первый квадрат из Европы, - квадрат А.Дюрера(1471 – 1528), который был показан на его гравюре Меланхолия I (1514г). (приложение1 рис 3,4)

Имело место такое поверье, что отгравированный на серебряной пластине магический квадрат оберегает от чумы. Магическим квадратам приписывали различные фантастические свойства. И в наше время предсказатели из Европы в личных атрибутах применяют магические квадраты.

Каждый элемент магического квадрата именуется клеткой. Таблица, сторона которого состоит из n клеток, содержит n² клеток и называется квадратом n-го порядка. В 16 веке Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией семи планет. В 19 и 20 веках еще больше внимания стали уделять таким таблицам. Их стали изучать при помощи методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Какие бывают магические квадраты

При работе с таблицами п-го порядка я сделал вывод, что магических квадратов 2×2 не существует. Доказательство данного утверждения приведу ниже. В квадрате размером 2×2 должны стоять числа 1,2,3,4, а его сумма каждой строки, столбца и диагоналей должна быть равной 5. У такой таблицы по две строки, столбца и диагонали. Для того чтобы она стала магическим квадратом, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами – это нереально! Таких комбинаций только две: 1+4 и 2+3. Не получится их расставить одновременно и в каждой строке, и в обоих столбцах, и по диагоналям так, чтобы их сумма была равна 5.

Существует один единственный магический квадрат 3-го порядка, так как другие магические квадраты 3×3 получаются из него или же перестановкой столбцов либо строк или же поворотом начального квадрата на 90⁰ или на 180⁰. Число всех квадратов, составленных из 9-ти чисел, равно 9! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 = 362 880.

Магических квадратов 4-го порядка, как на картине Дюрера ( приложение рис 4 ), составлено уже 880, а численность магических квадратов 5-го порядка близко к 250 тысячам! Поэтому квадратов более 25 клеток составлено еще больше.

Чаще в магических квадратах используют первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n² + 1)/2. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.

Есть такие магические квадраты, которые обладают особыми свойствами: числа, входящие в них, удовлетворяют различным дополнительным условиям. Так, у изображенного на рис. 5 ( приложение1 рис.5а) квадрата 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, которые располагаются на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны константе магического квадрата - числу 65. Квадрат, обладающий этим свойством, называют совершенным.

Между прочим, квадрат останется совершенным, даже если его повернуть или симметрично преобразовать. Даже если его верхнюю строку переставить вниз (приложение1 рис 5б) или левый столбец перенести к правой стороне (либо наоборот, нижнюю строку поместить сверху, а правый столбец - слева), то он так-же останется совершенным.

Некоторые способы построения магических квадратов.

Идея составления волшебного квадрата появилась давным-давно, приблизительно около 7 тысяч лет назад. Она привлекала свое внимание и любителей математических увлечений, и математиков - знатоков. До наших дней продолжаются поиски теоретических обоснований данного поразительного и красивого явления в мире чисел, как магический квадрат. За многие сотни лет придуман ни один десяток любопытных способов и правил составления всевозможных магических квадратов. Я изучил наиболее простые и доступные для всех способы построения волшебных квадратов.

Самое главное для меня в этой работе - научиться заполнять магические квадраты.

Для квадрата 3×3 заполнение было достаточно простым:

Сумма всех чисел входящих в наш квадрат равна 45 (1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45), а константа 45:3 = 15. Я представил число 15 в виде суммы троек натуральных чисел от 1 до 9. Всего 8 комбинаций: 1+5+9 =2+6+7 =2+4+9= 3+5+7=2 + 5 + 8= 4 + 5 + 6= 1+6+8= 3+4+8.

Значит, тройки чисел будем располагать в клетках квадрата следующим образом: так как число 5 входит сразу в четыре суммы (1+5+9),(2 +5 +8),(3+5+7),( 4 +5+6),то клетка, которая будет содержать его, будет находиться на пересечении четырех прямых рядов.( приложение2 рис 6а) В квадрате 3-го порядка этому условию удовлетворяет единственная клетка, располагающаяся в центре квадрата. Поэтому, любые два числа, попавшие в одну тройку с числом 5, будут находиться симметрично относительно центра квадрата. Далее выясним, как расставить конкретную числовую пару: по горизонтали, вертикали или по диагонали. Четное число входит в три суммы, например 2: (2+6+7), (2+4+9) , (2 +5+8), значит четные числа будут стоять в клетках, которые лежат на пересечении трех рядов, то есть в углах таблицы (приложение 2 рис.6б). Оставшиеся нечетные числа входят в суммы дважды, запишем их в средние клетки по краям квадрата. Квадрат готов! (приложение 2 рис.6в).

Мало кто знает, но этот квадрат обладает одним уникальным свойством. Если представить каждую строку или столбец как трехзначное число, а потом сложить их квадраты, то получим 492² + 357² + 816² = 294² + 753² + 618², 438² + 951² + 276² = 834²+ 159² + 672². То же происходит и диагоналями 456² + 312² + 897² = 654² + 213² + 798².

А вот чтобы найти способ построения квадрата 4×4, пришлось изучить различные приемы построения магических квадратов. Я узнал, что существуют несколько способов построения в зависимости от четности числа клеток квадрата. Например, квадрат нечетного количества клеток (3×3, 5×5, 7×7 и т.д) можно построить методом достроения ( метод Терасс). Квадраты четно-четной четности (4×4, 8×8, 12×12 и т.д.) можно построить методом порядка 2ⁿ и методом Раус-Бола. Квадраты четно-нечетного количества клеток (6×6, 10×10 и т.д.) можно построить диагональным методом.

Построение квадрата нечетного порядка. Метод достроения.

Рассмотрим еще один способ построения магического квадрата 3-го порядка. Строим квадрат ABCD (приложение2 рис.8а) с 9 клетками и временно дополняем его до симметричной ступенчатой фигуры (приложение2 рис8а) со ступеньками в одну клетку. В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху - вниз - направо числа от 1 до 9. А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата ABCD, перенесем вдоль того же ряда или столбца на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, у нас — на три. Значит число 1 надо поместить в клетку под числом 5, а число 3— под числом 4 далее,7 — под 2, а 9 — выше 5; Получится магический квадрат, изображенный на рисунке (приложение2 рис.8б). Сумма чисел каждой диагонали, каждой строки и каждого столбца одинакова и равна 15. (приложение2 рис.8в). Таким же способом можно построить квадраты 5-го и 7-го порядков.

Построение квадрата двойной четности .

Для того чтобы построить квадрат двойной четности(4×4, 8×8, 12×12), буду использовать метод построения квадрата двойной четности, который называется “метод Рауз-Болла”. Он состоит в следующем: в квадрат запишем числа в их естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки. Затем в квадрате проведем диагонали. Числа, расположенные во взаимно симметричных ячейках (относительно центра квадрата), через которые прошли диагонали, меняются местами, а числа, через которые диагонали не прошли, остаются на том же месте. Так, на рис. (приложение 2 рис. 9а) диагонали пересекли восемь чисел, поменяем местами взаимно симметричные: 1-16, 6-11, 13-4, 10-7. Готовый магический квадрат изображён на рис. (приложение 2 рис. 9б). Можно поступить наоборот: оставить на месте числа, через которые прошли диагонали, а поменять местами числа, не попавшие на диагонали и симметрично расположенные относительно центра квадрата. На рис. (приложение 2 рис. 9в) изображен квадрат, заполненный таким образом. Если сравнить его с квадратом на (приложение 2 рис. 9б), можно заметить, что это тот же квадрат, повёрнутый на 180 градусов относительно центра квадрата. Квадрат готов: сумма чисел в любой строке, столбце и по диагонали равна 34. В нашем квадрате число 34 дают не только горизонтали, вертикали и диагонали, но и каждый внутренний квадрат 2 на 2.

Применение магических квадратов

Когда я познакомился с методами построения магических квадратов, возник вопрос, где они применяются. Область применения квадратов достаточно интересна.. 

Я выяснил, что традиционной сферой применения магических квадратов являются талисманы. В наше время популярна японская головоломка судоку, прародителем которой наверно и является магический квадрат. Судоку помогает развивать логическое мышление и вычислительные навыки. Сейчас различные печатные издания на своих страницах публикуют эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Не меньшую популярность завоевали содоку и в сети Интернет.

Британцы используют площадку для игры в шаффлборд, размеченную в виде магического квадрата.

Великий древнегреческий ученый Пифагор, заявлял, что абсолютно всем в мире управляют числа. Это означает, что сущность человека заключается тоже в числе , представленном датой его рождения. Он создал способ построения квадрата, с помощью которого можно узнать характер человека, состояние его здоровья и потенциальные возможности. Раскрыв достоинства и недостатки характера, можно выявить, что следует предпринять для совершенствования человека. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально. В настоящее время есть специальная программа, где вводится дата рождения, а на экране появляется готовый магический квадрат Пифагора. Думаю, это будет следующей темой моего проекта. Кстати, магические квадраты – это элементы нано - технологии: компания «Toshiba», при разработке высококачественных телевизионных экранов пришла к заключению, что цветовые ячейки выгодно располагать согласно принципу магических квадратов. В данном случае резко повышаются и четкость и качество изображений и цветовые переходы.

Заключение

Прочитав специальную литературу, исследовав только незначительную часть методов составления магических квадратов, можно прийти к выводу: заполнение магических квадратов представляет собой замечательную гимнастику для ума. Для меня магические квадраты – это увлекательная и занимательная математика, поэтому на данной теме я не буду останавливаться. Имеется еще не мало различных типов магических квадратов, которые я хотел бы исследовать. Работая над проблемой заполнения квадратов, я пришел к заключению, что общего способа построения квадратов нет, но очень широко применяются разные частные алгоритмы.

Если использовать один из этих методов можно заполнить квадрат любого порядка. Мне удалось составить 5 квадратов разной четности.

Я полагаю, что мою работу можно использовать при подготовке к олимпиадам, на внеурочных занятиях по математике для развития логики и расширения познавательного кругозора.

Литература

1. Климченко Д.В. Задачи для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл.-М.: Просвещение, 1999. 

2. Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3

3. Энциклопедический словарь юного математика: Сост. Э – 68 А. П. Савин – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.

4. Сарвина Н.М. Неожиданная математика // Математика для школьников 2005, №4

5. Шарыгин И. Ф. Шевкин А. В. Подумай и реши: задачи на смекалку.- М.: ГАЛАС, 1993. М. Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.

6. В.В.Трошин «Магия чисел и фигур», Москва «Глобус», 2007 г.

7. http://www.informio.ru/publications/id192/Informacionnyi-proekt-po-matematike-Magicheskie-kvadraty

8. http://new.sibirsky.org/articles/math/magicheskie-kvadraty/4

Приложение 1

рис. 1

рис. 2

рис. 4

рис. 3

1 15 24 8 17 9 18 2 11 25 12 21 10 19 3 20 4 13 22 6 23 7 16 5 14 9		18		2		11		25
12	21		10		19		3
20	4		13		22		6
23	7		16		5		14
1	15		24		8		17

рис. 5

а) б)

Приложение 2

Построение магических квадратов

2 9 4 7 5 3 6 1 8 2		4
	5
6		8

а) б) в)

рис. 6

рис. 7

		1
	4		2
7		5		3
	8		6
		9

		1
	4		2
7		5		3
	8		6	рис. 8
		9

	4	9	2
	3	5	7
	8	1	6

а) б)

в)

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

а) б)

рис. 9

1	2	3	4		16	2	3	13		1	15	14	4
5	6	7	8		5	11	10	8		12	6	7	9
9	10	11	12		9	7	6	12		8	10	11	5
13	14	15	16		4	14	15	1		13	3	2	16