Магический квадрат

Для воспроизведения звука нажмите значок

Решение магических квадратов

Начало

Однажды учительница задала нам на дом необычное задание: «Вставьте в пустые клетки числа так, чтобы квадрат стал магическим». Задание выполнили не все, а те кто выполнил перебирали различные варианты, пока не пришли к нужному.

Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Я решил найти другой способ решения.

В своей работе я предлагаю алгоритмы решения трёх видов магических квадратов из учебника математики для 3 класса.

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

Квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел в любой строке, любом столбце и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Дополнительная информация

МАГИЧЕСКАЯ СУММА

Сумма чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали

Дополнительная информация

РАЗНОСТЬ МАГИЧЕСКОГО КВАДРАТА

В магическом квадрате каждое следующее число на одно и то же число больше предыдущего.

СВОЙСТВО МАГИЧЕСКОГО КВАДРАТА

Число которое находится в центре цифрового ряда, всегда стоит в центральной клетке квадрата

Дополнительная информация

СВОЙСТВО МАГИЧЕСКОГО КВАДРАТА

Наибольшее число числового ряда не может стоять в угловых клетках квадрата

Дополнительная информация

Задание 1: Вставьте в пустые клетки числа так, чтобы квадрат стал магическим

360, 280, 160, 240, 40, 320.

• Найдём сумму всех чисел, которыми надо заполнить квадрат. 80+200+120+360+280+160+240+40+320= 1800
• Предположим, что все клетки квадрата заполнены одним и тем же числом. Тогда таких чисел будет девять, по количеству клеток. Делим найденную сумму на количество клеток

1800:9 = 200

3. Найдём магическую сумму :

200*3 =600

80

200

120

Приступаем к заполнению квадрата

Подставляем числа сначала там, где две клетки уже заполнены:

600-(200+120)=280

600-(80+200)=320

600-(80+280)=240

600-(240+320)=40

600-(200+40)=360

600-(80+360)=160

80

360

160

280

200

120

240

40

320

Этот алгоритм можно применять ко всем

квадратам такого вида

Задание 2: Заполните магический квадрат

Ищем число для пустого углового квадрата

1 . Найдём сумму нижней левой и верхней правой клеток 34+30=64

2. Из найденной суммы вычтем значение верхней левой клетки

64-26=38

Определяем, какому числу должна быть равна магическая сумма .

34+24+38=96

26

30

34

24

38

Дополнительная информация

Приступаем к заполнению квадрата

Подставляем числа сначала там, где две клетки уже заполнены:

96-(26+34)= 36

96-(30+26)= 40

96-(30+34)= 32

96-(36+32)= 28 или

96-(30+38)=28

40

26

30

36

32

28

34

24

38

Этот алгоритм можно применять ко всем квадратам такого вида

Задание 3: Заполните магический квадрат

• Найдём цепочку всех чисел, которыми надо заполнить квадрат.

Так как число 15 стоит в центре квадрата это центральное число цепочки. Значит слева от 15 должно быть четыре числа и справа – четыре числа.

… 6…15…24…

Находим недостающие три числа слева.

15-6=9 Девять не может быть разностью магического квадрата, 15 и 6 не соседние числа. Единственный возможный вариант – 3

Теперь можно выстроить цепочку чисел

3, 6 , 9, 12, 15 , 18, 21, 24 , 27

15

9

24

Найдем магическую сумму

Предлагаю еще один способ нахождения магической суммы, более простой.

3 6 9 12 15 18 21 24 27

Магическая сумма 30+15=45

30

30

15

9

24

30

30

Приступаем к заполнению квадрата

Заполняем квадрат, используя схему нахождения суммы

3 6 9 12 15 18 21 24 27

«парное» число для 24 – 6;

«парное» число для 9 – 21;

45-(6+21)=18;

«парное» число для 18 – 12;

«парное» число для 27 – 3

30

30

21

18

6

15

3

27

30

30

24

9

12

Задания для самостоятельного выполнения

Задание 1: Вставь в пустые клетки квадрата числа 3, 4, 5, 6, 8, 9 так, чтобы квадрат стал “магическим”

Задание 2: Заполни пустые клетки квадрата 3 на 3 клетки числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы квадрат стал “магическим”

http://www.autogallery.org.ru

10

7

11

Справка

Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. Подсчитав количество кружков каждой из фигур, получим магический квадрат 3*3.

В средние века магические квадраты были очень популярны. Один из магических квадратов изображён на гравюре знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера, «Меланхолия». Любопытно, что два числа в середине нижней строки указывают год

создания картины – 1514.

Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43 на 43, содержащий числа от 1 до 1849.

http://www.strix.etodesign.com

http://sykt.komiedu.ru l

4

9

3

2

5

8

1

7

6

Справка

В учебниках математики для второго и третьего класса даны примеры магических квадратов в которых легко найти магическую сумму

4+9+2= 15

(учебник второго класса).

Либо магическая сумма задана в условии задачи

Магическая сумма 600

(учебник третьего класса).

В моей работе рассмотрены примеры, где магическую сумму необходимо найти. Я предложил два способа её нахождения

4

9

5

2

170

200

210

Справка

Так как магическая сумма по диагоналям состоит из суммы трех чисел одно из которых общее (стоящее в центре), то по правилам математики равенство не нарушится, если это число не будет участвовать в вычислении. Тогда, чтобы найти число для одного незаполненного углового квадрата, нужно решить уравнение: 34+30=26+Х