Координаты в пространстве

Занятие Тема «Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве»

План лекции:

1. Понятие декартовой системы координат (ДСК)

2. Понятие точки в системе координат

3. Основные формулы в ДСК

Понятие декартовой системы координат (ДСК)

Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую.

В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 – 1650) впервые введшего координаты в геометрию.

Главное отличие прямоугольной системы координат на плоскости от прямоугольной системы координат в пространстве – это наличие в пространстве еще одной, третьей, оси.

Оси ДСК в пространстве

Ось х – абсцисса Ось у – ордината Ось z – аппликата

Все три оси перпендикулярны друг другу и пересекаются в одной точке, центре О – начала координат. Каждая ость делится на две часть этой точкой – положительная часть и отрицательная. Поэтому, любая точка, находящаяся в ДСК в пространстве имеет три координаты. Выглядит это следующим образом:

Через каждые две оси (по аксиоме стереометрии) проходит своя плоскость – координатные плоскости xy, xz, yz. Эти плоскости также перпендикулярны друг другу, имеют одну общую точку – О, попарно пересекаются по оси. Плоскости всё пространство координатной системы делят на 8 частей (в плоскости было на 4 четверти) – октавы. Выглядит ДСК в пространстве так

Понятие точки в системе координат

Точки в ДСК в пространстве могут занимать различное положение: лежать на координатной оси, лежать на координатной плоскости, лежать в обычном пространстве. От положения точки будут зависеть её координаты.

Чтобы построить в ДСК в пространстве точку М(x,y,z) нужно построить для этой точки сначала в каждой плоскости проекции М_х(0,y,z), M_у(x,0,z) иM_z(x,y,0), затем достроить до куба и получится искомая точка. То есть

Точка называется равноудаленной от каких-либо объектов, если расстояние от этой точки до этих объектов одинаковое.

Основные формулы в ДСК

1. Расстояние между двумя точками пространства А₁(x₁,y₁,z₁) и A₂(x₂,y₂,z₂) вычисляется по формуле

1. Координаты середины отрезка А₁А₂ (пусть М – середина А₁А₂) вычисляются по формулам

1. Координаты точки, делящей отрезок А₁А₂ в отношении (пусть К делит А₁А₂ на части в отношении ) вычисляются по формулам

Задание для самостоятельного выполнения

Задание 1. Переписать лекцию в тетрадь или распечатать и вклеить

Задание 2. Выучить все понятия и формулы.

Задание 3. Переписать в тетрадь и разобрать решенные задачи из учебника А.В. Погорелов «Геометрия» из темы «Декартовы координаты в пространстве», пунктов «Расстояние между точками» и «Координаты середины отрезка» №5 и №9 (для учебника 7-11 класс стр 272 и 273)

Задание 4. Решить задачу

Задание 5. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если А(2,1,3), В(1,0,7), С(-2,1,5) и D(-1,2,1)