Конспект урока "Интеграл"

Конспект урока

Тема: «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница»

Класс: 11.

Форма проведения: комбинированная форма - сочетание различных форм проведения урока (беседа, лекция, самостоятельная работа).

Цели урока:

Образовательные:

• познакомить с понятием интеграла и формулой Ньютона-Лейбница;

• первичное закрепление понятия интеграла и знания формулы Ньютона-Лейбница;

Развивающие:

• способствовать развитию наблюдательности, развитию грамотной устной и письменной математической речи;

Воспитательная:

• воспитывать умение участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение;

• воспитывать умение слушать;

• прививать интерес к математической науке, формировать восприятие учащимися целостной картины мира.

Оборудование: учебник Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс / А.Н.Колмогоров и др. (стр. 185 – 188), презентация, компьютер, проектор, экран.

Тип урока: Комбинированный урок (урок изучения и первичного закрепления нового материала).

ХОД УРОКА:

1. Организационный этап.

Проверка готовности помещения к уроку, приветствие учеников, проверка посещаемости.

1. Этап актуализации знаний учащихся.

Сегодня новая тема урока «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница». Мы познакомимся с понятием интеграла, научимся вычислять определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Итак, повторим с вами то, что вы уже знаете о первообразной и криволинейной трапеции. Это поможет вам в изучении новой темы.

Вопрос: Что такое криволинейная трапеция?

Ответ: Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x), отрезком [a, b] и прямыми x=a, x=b.

Вопрос: Чему равна площадь криволинейно трапеции?

Ответ: S = F(a) – F(b), где F(x) – первообразная для функции f(x).

Проверочная работа: Построить фигуру, ограниченную линиями и найти ее площадь:

Ответы:

1. Этап изучения новой темы.

Итак, приступим к изучению темы урока.

Рассмотрим другой способ нахождения площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.
Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками

x0 = а

И на каждом из отрезков [x_k-1; x_k] постоим прямоугольник высотой f(x_k-1).

Сумма всех этих прямоугольников приблизительно равна площади нашей криволинейной трапеции.

Чем меньше отрезки, на которые мы разбиваем функцию, т.е. чем больше этих отрезков, тем ближе объединение всех прямоугольников походит на нашу трапецию, т.е. почти совпадает с ней.

Т.е. говорим что Sn→S, при n→.
Для любой непрерывной на отрезке функции Sn стремится к некоторому числу.

Это число называют ИНТЕГРАЛОМ ФУНКЦИИ f от a до b. И обозначают .
числа a и b называют пределами интегрирования, знак – интегралом, а f(x) подынтегральная функция, а переменная х – переменной интегрирования.

Таким образом, S =

А сравнивая эту формула с формулой изученной на прошлом уроке, получим, что

= F(b) – F(a)

Это и есть формула, которая носит имя сразу двух великих математиков Ньютона и Лейбница.

Заметим, проверка правильности нахождения интеграла до подстановки пределов, такая же как и проверка правильности нахождения площади криволинейной трапеции: нужно найти производную полученного выражения и если она совпадет с подынтегральной функцией, то интеграл найден верно и можно подставлять пределы интегрирования.

Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона-Лейбница.

Нахождение интегралов состоит из двух этапов:

1. Нахождение первообразной

2. Подстановка пределов интегрирования

Пример 1. Вычислим:

Пример 2.

Пример 3.

Теперь давайте найдем площадь фигуры, ограниченной линиями и сравним полученный ответ с примером 3.

X

Сверьте, пожалуйста, полученные ответы. Что вы можете заметить?

Ученики: данные примеры имеют один и тот же ответ, а значит это площади одних и тех же криволинейных трапеций, т.е. убедились, что вычислять площадь можно либо по формуле F(b)-F(a), либо с помощью интеграла.

1. Этап закрепления изученного материала.

Решаем вместе с вами номера № 357, 359, 360.

Перед началом решения откройте дневники и запишите домашнее задание:

п. 29, 30, № 358, 361 (б, в),прочитать стр.196-197, найти короткую справку почему формула имеет двойное имя.

4. Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа рассчитана на 10-15 минут, с последующей проверкой решения, выполненного одним из учащихся за доской.

Последнее задание предлагается выполнить в паре.

Самостоятельная работа

Интеграл. Формула Ньютона - Лейбница