Характеристики разброса

МБОУ «Синьяльская СОШ» Чебоксарский район, Чувашская Республика Урок по алгебре в 9 классе по теме « Характеристики разброса »

Подготовила

Иванова Ирина Витальевна

План урока: 1. Организационный момент. 2. Повторение. 3. Новая тема. 4. Решение задач. 5. Подведение итогов урока. 6.Домашнее задание.

Цели урока: 1. Повторить что такое мода, медиана, размах и среднее арифметическое.

2. Познакомиться с характеристиками разброса : отклонение, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

3. Закрепить понятия на решениях задач.

Давайте вспомним что такое мода, размах, медиана и среднее арифметическое.

Мода – наиболее часто встречающееся число данного ряда.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. 

Размах – разность между наибольшим и наименьшим числом данного ряда.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине.

А медианой упорядоченного ряда с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.  Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда. 

Формулы сокращённого умножения были известны еще 4000 лет назад. Ученые Древней Греции представляли величины не числами или буквами, а отрезками прямых. Вместо «произведение a и b » говорилось «прямоугольник, содержащийся между а и в», вместо а ² - «квадрат на отрезке а».

Но среднее арифметическое, медиана и мода числового ряда позволяют оценить поведение ряда только в «среднем». Для получения более полного представления о числовом ряде, помимо средних, надо знать характеристики разброса , показывающие , как сильно значения ряда «рассеяны» вокруг средних.

Простейшая характеристика такого ряда вам также знакома – это размах. Однако этой характеристики недостаточно.

О том, насколько разбросаны числа в ряду данных, можно судить по их отклонениям от среднего арифметического .

Чтобы понять особенность такой характеристики, как набор отклонений от среднего, найдем, например, отклонения для данных следующего ряда : 1 ; 3; 4; 6; 7; 10; 11

Вычислим среднее арифметическое :

Тогда отклонения будут соответственно равны :

6-1=5 6-3=3

6-4=2 6-6=0

6-7=-1 6-10=-4

6-11=-5

А ряд отклонений выглядит так :

5 ; 3; 2; 0; -1; -4; -5 .

Вообще, пусть имеются данные

Обозначим их среднее арифметическое через

Тогда отклонения данных от среднего соответственно равны :

Понятно, что отклонения могут быть и

положительными, и отрицательными, и равными

нулю. При этом сумма всех отклонений всегда

равна нулю. Убедимся в этом на рассмотренном

нами примере :

5+3+2+0+(-1)+(-4)+(-5)=0

Однако такая характеристика, как набор отклонений, неудобна, если чисел много ; желательно описывать разброс чисел в ряду с помощью одного числа, некоторого «среднего».

Очевидно, что использовать в качестве характеристики разброса «среднее отклонение» нельзя, так как оно равно нулю.

Поэтому в статистике принято находить среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения. Такую меру разброса называют дисперсией (от латинского слова dispersio , означающего «рассеяние») и обозначают буквой

На величину дисперсии влияют все отклонения, причем независимо от их знаков.

Найдем дисперсию числового ряда, рассмотренного нами ранее примера :

Но у дисперсии есть один существенный недостаток : если исходные значения ряда измеряются в каких-то единицах (например в часах), то у дисперсии эти единицы возводятся в квадрат («квадратные» часы) .

Избавиться от таких странных единиц измерения можно, если использовать другую характеристику разброса – стандартное отклонение.

«Учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.»

А. Франс

Стандартным (или средним квадратичным) отклонением числового ряда называется квадратный корень из дисперсии.

Обозначается стандартное отклонение греческой

буквой (читается «сигма»).

В рассмотренном нами ранее примере стандартное

отклонение :

Формулы сокращенного умножения

• Квадрат суммы.
• Квадрат разности.
• Разность квадратов.
• Куб суммы.
• Куб разности.
• Сумма кубов.
• Разность кубов.

Характеристики разброса, как и средние характеристики, можно находить по таблице частот.

Рассмотрим следующий пример : Найдем размах и стандартное отклонение отметок ученика, заданных следующей частотной таблицей :

Отметка

2

Абсолютная частота

4

Относительная частота

1

5

3

0,1

6

0,3

0,6

Из таблицы видно, что всего у ученика 10 отметок : одна двойка, три четверки и шесть пятерок.

Найдем размах ряда : 5-2=3.

Найдем среднее арифметическое отметок :

Дисперсию, как и среднее арифметическое, можно вычислять с использованием либо абсолютных, либо относительных частот :

Или иначе :

Теперь вычислим стандартное отклонение :

Обратите внимание : практически все отметки ученика отличаются от среднего меньше чем на , т.е. он учится достаточно стабильно. Одна двойка, которая выпадает из этого диапазона, по-видимому, для него случайная.

Разберем следующий пример : Жалобы на опоздания электричек, поступившие в диспетчерскую станции Семафорово в течении недели, позволили составить диаграмму частот по опозданиям за неделю. (рис.1). Определите среднее число опозданий за неделю и стандартное отклонение.

Среднее арифметическое :

Отклонения : 3-2=1; 3-3=0;

3-4=-1; 3-5=-2; 3-4=-1; 3-2=1;

3-1=2.

Дисперсия равна :

Стандартное отклонение :

И так, сегодня на уроке, мы познакомились с такими характеристиками разброса, как отклонение, дисперсия и стандартное отклонение

Запишите пожалуйста домашнее задание : №755, №756, знать определения и формулы.