Интеграл и его применение

Метод Монте-Карло

1. Построение графика функции

   • Создайте таблицу значений аргумента Х и двух функций

и на Листе1.

• В одной системе координат постройте графики функций по этим значениям.

Выделите диапазон ячеек В3:L9, выполните действия ВСТАВКА + ДИАГРАММА + ГРАФИК

1. Вычисление площади

• На Листе2 создайте таблицу для точек с координатами (Х;У), полученных случайным образом и лежащих в диапазоне от 0 до 9, для этого используйте функцию СЛЧИС()

Х= 9*СЛЧИС()

У= 9*СЛЧИС()

Скопируйте формулы до ячеек А153 и В153.

• В ячейку С4 введите формулу =ЕСЛИ(B4=A4*A4/9;ЕСЛИ(B4

для вычисления попадания точки, координаты которой получены случайным образом, в область фигуры, ограниченной графиками функций У1 и У2. Если точка попала в фигуру, то результат будет равен 1, иначе 0. Это и есть математическое соотношение, позволяющее определить, лежит ли точка в фигуре.

Скопируйте её до ячейки С153.

• В ячейку F4 введите формулу для вычисления площади фигуры, используя метод Монте Карло, где

81 – площадь квадрата;

СУММ(C4:C153) – количество удачных попаданий;

150 – общее количество точек.

• Проведите компьютерный эксперимент. При нажатии функциональной клавиши F9 (пересчет) в ячейках, содержащих формулу с функцией СЛЧИС, генерируется новое случайное число. Соответственно площадь фигуры будет изменяться. Таким образом, можно сделать допущение: при большом числе точек, используем в эксперименте точность вычисления площади увеличивается.

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Карталинский многоотраслевой техникум»

Тема:

«Площади плоских фигур»

для студентов 1-го курса

Автор разработки

преподаватель математики Неустроева Ольга Владимировна

Бреды

2017

Тема (раздел) программы: Интеграл и его применение.

Тема урока: Площади плоских фигур.

Тип урока: комбинированный.

Форма проведения: интегрированное занятие. На занятии студенты находят площадь криволинейной трапеции с помощью подсчета клеток, входящих в ограниченную область; методом интегрального исчисления и методом Монте-Карло, применяемом в информатике. Цели занятия:

1. Обучающая:

• закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла;

• сформировать новые знания и умения нахождения площади криволинейной трапеции методом Монте-Карло, с использованием ИКТ.

1. Развивающая – развивать умение выделять главное; развивать мышление студентов посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала за счет использования различных методов и программных средств; развитие речи, эмоций, логического мышления. Показать необходимость знаний по математике в других науках.

2. Воспитательная – формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля; чувство ответственности, самостоятельность, деловые и коммуникативные качества студентов. Активизация познавательной и творческой активности студентов.

Формирование общих компетенций (ОК):

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2 .Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

Методы обучения: компетентносто – ориентированный, информационно – рецептивный, частично – поисковый.

Форма работы студентов: фронтальная, групповая и индивидуальная работы.

Материально – техническое оснащение и учебно – методическое оснащение урока:

1. М. И. Башмаков. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/ М. И. Башмаков. – 9-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2014. – 256 с.

2. М. И. Башмаков. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования/ М. И. Башмаков. – 4-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

3. Башмаков М. И. Математика. Книга для преподавателей: методическое пособие для СПО/М. И. Башмаков. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 224 с.

4. Угринович Н.Д «Информатика и ИКТ» – М. : Бином. Лаборатория знаний, 2010 г.

5. Конспект занятия.

6. Презентация «Площади плоских фигур»

7. Приложение 1 «Раздаточный материал»

8. Приложение 2 «Результат»

1. Организационный момент. Объявление темы, цели и задач урока. (5 мин)

2. Актуализация знаний, необходимых для изучения нового материала. (15 мин)

3. Решение задачи на нахождение площади фигуры.(16 мин)

4. Формирование знаний о методе Монте-Карло, и умений использовать его при решении задач. (12 мин)

5. Компьютерный эксперимент: (19 мин)
   • Нахождение площади фигуры методом Монте-Карло.
   • Анализ полученных результатов.
6. Проверка качества усвоения учебного материала. (6 мин)
7. Подведение итогов урока, выставление оценок, комментирование работы студентов, инструктаж по выполнению домашнего задания, рефлексия студентов. (7 мин)

№	Деятельность преподавателя			Деятельность студентов
1	Организационный момент. Объявление темы, цели и задач урока.			Конспект. Записать тему урока в тетрадь.
2	Актуализация знаний:			Лекция. Презентация «Монте-Карло»
	Задачу нахождения площади фигур люди ставили перед собой с древних времен, это связано с сугубо практическим характером. Современное образование так же решает такие задачи. Вычисление площадей простейших фигур (прямоугольников, многоугольников, кругов) не составляет труда: надо в известные формулы подставить исходные данные. А как быть если фигура имеет сложные формы? Итак, задача: Дана фигура сложной формы. Вычислить её площадь. Можно предложить разные модели для этой задачи. Например, в начальной школе вас учили использовать палетку: на фигуру накладывается клетчатая прозрачная бумага или плёнка (палетка), и подсчитывается количество квадратиков, попавших в фигуру. В этой модели предполагается, что чем меньше клетки, тем точнее будет результат, независимо от того, каким образом наложить палетку на фигуру. Можно придумать “физическую” модель, скопировать фигуру на картон, аккуратно вырезать её, взвесить и поделить на вес единичного квадрата из этого же картона. Сегодня вы познакомитесь ещё с одним способом нахождения площадей плоских фигур: с помощью интегралов, используя формулу Ньютона-Лейбница. Историческая справка: История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Интегральное исчисление было предложено в 17 в. И.Ньютоном и Г. Лейбницем, независимо друг от друга. Интегрирование – нахождение интеграла, через который выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел и т.д. Сам знак S возник из первой буквы S латинского слова Summa. Символ был введён немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1686 году. Существует версия о том, что он букву S , используемую для обозначения суммы писал слегка удлинённой. Так постепенно и родился новый символ. Термин интеграл (от латинского integer – целый) был предложен в 1696 году учеником Лейбница – Иоганном Бернулли. Лейбниц, хотя и неохотно согласился с этим.
	Какая фигура называется криволинейной трапецией?	Ответ: Фигуру, ограниченную на отрезке [ a ; b ] непрерывной и не меняющей на нём знака функцией f ( x ), осью Ох и прямыми x = a , x = b называют криволинейной трапецией.
	По какой формуле вычисляют площадь криволинейной трапеции?	Ответ: По формуле Ньютона-Лейбница
	Как вычислить площадь фигуры ограниченной функциями сверху и снизу?	Подынтегральная функция равна Fфигуры = Fверхняя – Fнижняя
3	Решение задачи на нахождение площади фигуры				Решение задачи
	Задача: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и Решение: Изобразим указанные линии. – парабола с вершиной (0;0), ветви которой направлены вниз; с осью Ox не пересекается. х 0 3 6 9 16 у 0 1 4 9 12 - гипербола, х= 0. х 0 1 4 9 16 у 0 3 6 9 12 Найдем пределы интегрирования: х=0 или х=9 Вычислим площадь: Ответ: 27
4	Формирование знаний о методе Монте-Карло, и умений использовать его при решении задач.			Конспект
	Проблемная ситуация – как с помощью квадрата и монет вычислить площадь круга? Поместим данную фигуру в квадрат. Будем наугад (как говорят математики, случайным образом) бросать точки – монеты в этот квадрат. Естественно, что чем больше площадь фигуры, тем чаще в неё будут попадать точки. Представьте себе квадратный дворик и в нем детскую круглую площадку. Каждому ясно, что во время снегопада количество снежинок, попавших на детскую площадку, пропорционально её площади. Таким образом, можно сделать допущение: при большом числе точек, наугад выбранных внутри квадрата, доля точек, содержащихся в данной фигуре, приближенно равна отношению площади квадрата. Sкруга = Кол-во монет в кругу Sквадрата Кол-во монет в квадрате S круга = Кол-во монет в кругу * S квадрата Кол-во монет в квадрате Такой метод приближенного нахождения площадей фигур носит название метода Монте–Карло (по названию города, где расположена знаменитая рулетка, которую можно рассматривать как “генератор” случайных чисел). Только случайность поможет нам найти площадь фигуры методом Монте–Карло. Проведем компьютерный эксперимент, в качестве монет будем использовать функцию случайного числа, с помощью которой определим координаты точки, лежащей в квадрате 9х9. Попадание точки закодируем 1, в противном случае 0. Площадь фигуры определим как произведение суммы всех попаданий на площадь данного квадрата к количеству общих точек. Чем больше точек мы возьмем тем больше вероятность получить результат с наименьшей погрешностью. Т.к. мы знаем результат, то можем его генерировать с помощью функциональной клавиши F9.
5	Компьютерный эксперимент:		Работа за компьютером, выполнение практической работы в программе Exsel.
	Приложение 1 (раздаточный материал)
	Приложение 2 (проект выполненный в Exsel)
6	Проверка качества усвоения учебного материала.		Визуальная проверка выполнения задания на ПК.
7	Подведение итогов урока, выставление оценок, комментирование работы студентов, инструктаж по выполнению домашнего задания, рефлексия студентов.		Анализируют собственную деятельность на уроке, записывают и осознают домашнее задание.

Пояснение для преподавателя:

Это интегрированное занятие комбинированного типа. Интеграция дисциплин математики и информатики является актуальным в образовании современного человека. Компетентносто – ориентированный метод обучения заключается в закреплении и применении знаний и умений, полученных на предшествующих занятиях с формированием новых знаний и методов для той же самой задачи. На занятии используется презентация и раздаточный материал для практической работы.

Во время актуализации знаний перед студентами необходимо поставить проблемную задачу найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций, и предложить вспомнить все знакомые методы из школьного курса. Для конкретной фигуры применить один из способов - посчитать количество клеточек, попавших в ограниченную область. Далее с помощью интегрального исчисления найти площадь этой фигуры и сравнить результат. Для общего развития использовать исторические сведения, представленные в наглядной форме. При ознакомлении с новым методом студентам нужно предложить озвучить свои методы решения. Реализация метода Монте-Карло необходимо осуществлять с использованием ПК в программе Exsel. Результат сравнить с двумя предыдущими и сделали вывод, что задачу можно решить различными способами.

Площади плоских фигур

S = π R 2

S = a 2

S=(a+b)H/2

S=ah/2

1

На фигуру накладывается палетка и подсчитывается количество квадратиков, попавших в фигуру.

2

Физическая модель

• Скопировать фигуру на картон, вырезать её.
• Взвесить фигуру и единичный квадрат из этого же картона.
• Поделить вес фигуры на вес единичного квадрата.

Математическая модель Площадь криволинейной трапеции

3.

Математическая модель Площадь криволинейной трапеции

3.

Формула Ньютона-Лейбница

Историческая справка

Интегральное исчисление было предложено в 17 в.

И.Ньютоном и Г. Лейбницем.

Историческая справка

Интегрирование – нахождение интеграла, через который выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел и т.д. Сам знак возник из первой буквы S латинского слова Summa.

Историческая справка

Символ был введён немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1686 году. Существует версия о том, что он букву S , используемую для обозначения суммы писал слегка удлинённой. Так постепенно и родился новый символ. Термин интеграл (от латинского integer – целый) был предложен в 1696 году учеником Лейбница – Иоганном Бернулли. Лейбниц, хотя и неохотно согласился с этим.

Задача

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Математическая модель для ЭВМ Метод Монте-Карло

4.

Предложите, как с помощью этих предметов вычислить площадь круга?

Поместим данную фигуру в квадрат. Будем наугад бросать монеты в этот квадрат. Чем больше площадь фигуры, тем чаще в неё будут попадать монеты.

S круга Кол-во монет в кругу

S квадрата Кол-во монет в квадрате

≈

S квадрата * Кол-во монет в кругу

Кол-во монет в квадрате

S круга ≈

Историческая справка

Идея моделирования случайных явлений очень стара, она восходит ко временам Древнего Вавилона и Ветхого Завета.

Почему этот метод назвали Монте-Карло?

Монте - Карло - европейская столица игорного бизнеса, а значит, там владычествует Его Величество Случай.

Компьютерный эксперимент

Компьютерный эксперимент