Հետազոտություն`

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Ակնհայտ է մաթեմատիկայի ուսուցման դերը սովորողների աշխարհայացքի ու արժեհամակարգի ձևավորման, աշխարհընկալման, ճանաչողության, հոգեկան գործընթացների զարգացման, ինքնիրացման և կրթական այլ խնդիրների լուծման գործում: Այս իրողությունները լայնորեն լուսաբանված են գիտական գրականության մեջ և ամրագրված շատ երկրների, այդ թվում նաև ՀՀ կրթական քաղաքականությամբ: 

Հետազոտության նպատակը`ուսումնասիրել կոտորակների ուսուցման պարզ և հասկանալի մեթոդները` տարրական դասարաններում սովորող աշակերտներին մատչելի եղանակով ուսուցանելու համար:

Հետազոտության առարկան`կոտորակները և դրանց ուսուցումը տարրական դասարաններում:

Հետազոտության խնդիրներն են` 

*Ուսումնասիրել սովորական կոտորակները,տալ դրանց ընդհանուր գաղափարը:
* թվի մաս որոշելը և թվի որոշելը տրված մասով,
* կոտորակները ընդհանուր հայտարարի բերել,
* կոտորակների համեմատումը,
* թվաբանական գործողություններ սովորական կոտորակների հետ,
*  ներկայացնել խնդիրներ մասերի վերաբերյալ:

Տարրական դասարանների մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում պետք է կարևորել ուսուցման` պարզից դեպի բարդ, ծանոթից դեպի անծանոթ տանող սկզբունքը: Մաթեմատիկական վարժություններն ու խնդիրները, պահանջում են առավել կենտրոնացում և տրամաբանություն, երեխաների հակումներին և ձգտումներին նպատակային ընթացք տալու համար պետք է նրանց նկատմամբ ցուցաբերել անհատական մոտեցում : Եվ բացառություն չէ նաև կոտորակներ թեման, որի ուսուցումը տարրական դասարաններում իր լիարժեք արդյունքը կտա միայն այս սկզբունքի շնորհիվ: Տարեց տարի այս թեման տարրական դասարաններում ավելի մաանրամասն է ուսումնասիրվում . սկզբում նրանք գործ ունեն մասերի ու հատվածների հետ, այնուհետև ծանոթանում են սովորական և տասնորդական կոտորակներին և ի վերջո պատրաստ են լինում թվաբանական գործողություններ կատարել դրանց հետ:

Մաթեմատիկան տարրական դպրոցում

Մարդիկ առաջին հերթին գործ են ունեցել բնական թվերի հետ: Բնական թվերի գրելը և բանավոր իրար հաղորդելը շատ դժվար է եղել առանց զրո թվի, որը ցույց է տալիս տարբեր կարգերի թվերի թվանշանների բացակայությունը: Այդպիսով, առաջանում է զրո թվի ներմուծման անհրաժեշությունը, որով կատարվում է թվի գաղափարի առաջին ընդլայնումը և ստացվում ամբողջ ոչ բացասական թվերի բազմությունը: Բնական թիվ ասելով հասկանում ենք նաև զրո թիվը: Բնության երևույթների բացատրման, մարդկային կյանքի երևույթների արտահայտման և գիտության հետագա զարգացման համար բնական թվերի բազմության հնարավորությունները սահմանափակ էին, որի հետևանքով առաջանում է թվի գաղափարի նոր ընդլայնման հարցը: Այդ իսկ պատձառով են բացատրվում կոտորակային, բացասական, իռացիոնալ և կոմպլեքս թվերի ի հայտ գալը:

Հանրակրթական դպրոցը բաժանված է երեք աստիճանների` տարրական ( 1-6-րդ դասարաններ), բազային(7-9-րդ դասարաններ) և միջնակարգ(10-12-րդ դասարաններ): Մաթեմատիկայի ուսումնական դասընթացի կազզման սկզբունքը նախատեսում է այս բաժանումը և յուրաքանչյուր աստիճանում մաթեմատիկայի ուսուցումն ունի հստակ ձևավորված նպատակներ: Թվեր և գործողություններ. այս ուղղության հիմնական նպատակներն են` զարգացնել թիվը զգալու ունակություն, յուրացնել հաշվարկման սկզբունքները, ուսումնասիրել թվաբանական գործողությունները և դրանց յուրահատկությունները, յուրացնել հաշվելու միջոցները և գնահատել արդյունքները, ուսումնասիրել գրառման դիրքային համակարգերը, համեմատել դրանք և գործածել թվաբանական գործողություններ կատարելիս ու գործնական խնդիրներ լուծելիս, ուսումնասիրել թվային համակարգերը: Առաջինից չորրորդ դասարանը այն աստիճանն է, որում պետք է տեղի ունենա թվաբանական գործողություններ կատարելու և դրանք համապատասխանաբար կիրառելու կարողության ձևավորում, թվաբանական գործողությունների յուրահատկությունների ու դրանց միջև գոյություն ունեցող կապերի գիտակցում, թվաբանական գործողությունների արդյունքների և թվային արտահայտության նշանակության գնահատման կարողության զարգացում: Բացի դրանից աշակերտի մեջ պետք է ձևավորվի տասնավորների դիրքային համակարգը լիարժեք ըմբռնելու և բազմանիշ թվերով գործողություններ կատարելիս այն կիրառելու կարողություն, կոտորակը տարբեր տեսանկյուններից որպես ամբողջի մաս, ամբողջության մաս, թվային առանցքի վրա դիրք և բաժանման արդյունք) հասկանալու և բացահայտելու կարողություն:

Կոտորակ հասկացությունը

  Կոտորակի հասկացությունը առաջացել է մի քանի հազարամյակ առաջ, երբ անհրաժեշտություն է առաջացել որոշ իրերի չափման համար (երկարություն, զանգված, մակերես և այլն), մարդիկ հասկացան, որ միայն ամբողջ թվերը բավարար չեն և անհրաժեշտ է մասի հասկացության ներմուծում՝ կեսի, երրորդի և այլն։ 

Կոտորակներով և նրանց հետ գործողություններով օգտվել են հին հույները և եգիպտացիները։  

 Կա կոտորակային թվերը գրելու 2 եղանակ՝ սովորական կոտորակներ, որը 2 ամբողջ թվերի հարաբերություն է, օրինակ՝ 3/4, և տասնորդական կոտորակներ, օրինակ՝ 0, 75։ Սովորական կոտորակի վերևի թիվն անվանում են համարիչ, ներքևինը՝ հայտարար։ 

 Տասնորդական կոտորակը, օրինակ՝18,28, գրվում է առանց հայտարարի և կարդացվում «տասնութ ամբողջ քսանութ հարյուրերորդական»։

 Տասնորդական կոտորակներում ինչպես ամբողջ թվերի, այնպես էլ ստորակետից հետո եղած թվերի արժեքը կախված է դրանց գրաված տեղից՝ կարգից. յուրաքանչյուր կարգ գնահատվում է 10 անգամ ավելի փոքր, քան ձախ կողմի հարևանը։

Մասերի և կոտորակների թեման ավանդաբար տարրական դասրանների մաթեմատիկայի բոլոր գրքերում կա: Նախորդ տարբերակներում մասերը դիտարկվում էին երկրորդ և երրորդ դասարաններում: Երեխաներին ծանոթացնում էին  մասեր և կոտորակներ հասկացություններին, որտեղ հայտարարը մեծ է համարիչից, սովորում էին համեմատել կոտորակները առարկայական մոդելի հետ և լուծում էին երկու տիպի խնդիր՝ գտնել թվի կոտորակը և գտնել թիվը ըստ կոտորակի:   
   Այսօր այդ թեմայի ուսումնասիրման ծավալը կրճատվել է ավանդական դասագրքերում: Միաժամանակ այդ թեման մեծացվել է ալտերնատիվ դասագրքերում՝ Զանկովի և Դավիդովի համակարգ: Դա պայմանավորված է հեղինակների՝ երեխայի թվերի մասին պատկերացում կազմելը հեշտացնելով: Որպեսզի երեխայի մոտ գոյանա օբյեկտի մասին որևէ ընդհանրական պատկերացում, պետք է կազմակերպվի մտավոր օպերացիաների պրոցես այդ օբյեկտի նկատմամաբ՝ համեմատություն նմանատիպ օբյեկտների հետ, նմանությունների և տարբերությունների պարզաբանում: Տվյալ մտավոր գործունեության կազմակերպման համար անհրաժեշտ է ունենալ գոնե երկու տեսակի օբյեկտ: Կրտսեր դպրոցականներին միայն բնական թվերի հետ ծանոթացնելով այդ աշխատանքը հնարավոր չէ տանել: Կոտորակները բնական թվեր չեն՝ դրանք ռացիոնալ թվեր են: Առանց այդ տերմինը երեխային սովորեցնելու հնարավոր է կազմակերպել այդ երկու տիպի թվերի հետ կատարվող գործողությունների ուսուցում:

Ավանդական մաթեմատիկայի դասգրքի վերջին հրատարակության մեջ ‹‹ամբողջի մասը›› հասկացությունը դիտարկվում է չորրորդ դասարանում և շատ քիչ քանակով:
   Կոտորակ հասկացությունը կապված է ամբողջ թվերի՝ բազմաթիվ ռացիոնալ թվերի վրա բաժանման հետ: Համարվում է, որ մասերին և կոտորակներին երեխաների ծանոթացումը մեծացնում է թվերի մասին նրանց պատկերացումը: Բայց գործնականորեն դա տեղի չի ունենում, քանի որ կոտորակ հասկացությունը այն տեսքով, որ տեսքով որ դիտարկվում է տարրական դպրոցում, շատ թվերի հետ չի կապակցվում: Կոտորակը դասական մեթոդաբանական մեկնաբանման մեջ ավելի շուտ օբյեկտի ինչ որ մասի ստացումն է, որի դեպքում փնտրվող մասը անպայման պետք է բավարարի մի շարք հատուկ պահանջների:
   Մաթեմատիկայում դիտարկվում է կոտորակ հասկացության երկու մոտեցում՝ աքսիոմատիկ( հատկությունների բառացի նկարագրումով) և պրակտիկ ( հատվածների երկարության չափման միջոցով):
   Դա m/n կոտորակն է, որտեղ  m-ը և n-ը ամբողջ թվեր են և n-ը հավասար չէ  0: Հետո կատարվում են մի քանի գործողություններ այդ կոտորակների հետ՝ կոտորակների հանում և գումարում, կոտորակների բազմապատկում և բաժանում, որ կոտորակն է մեծ և որը փոքր, և մի շարք այլ հատկություններ: Օր.՝  համարիչը և հայտարարը եթե բազմապատկենք և բաժանենք նույն թվին, կոտորակի արժեքը չի փոխվի:
   Այդ մոտեցումը արտահայտված է հինգից վեցերորդ դասարանների գրքերում, երբ կոտորակը դիտարկվում է որպես թիվ:
   Տարրական դասարանի մաթեմատիկայի դասագրքում կոտորակը ներկայացվում է հատվածի երկարության չափման միջոցով: Այդ գործողության արդյունքի նկարագրման համար օգտագործում են կոտորակը:
   Այդ պրոցեսի իմաստը կայանում է հետևյալում. Եթե A հատվածը կարողանանք բաժանել b հավասար մասերի առանց մնացորդի և վերցնենք c քանակով մասեր, ապա այդ գործողության արդյունքը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝ A հատվածի c/b մաս:
   Օրինակ՝ տարրական դասարանի աշակերտի համար  մեկ քառորդ կոտորակը ոչ մի իմաստ չունի, քանի որ նա չգիտի,թե ինչն է բաժանված չորս մասի: Միաժամանակ խնձորի մեկ քառորդ մաս բառակապակցությունը ունի իմաստ. Երեխային հասկանալի է, որ խնձորը բաժանել է չորս մասի և վերցրել է մեկ մասը:
   Այսպիով՝ տարրական դասարանների ծրագրով չի նախատեսված կոտորակների՝ որպես թիվ դիտարկումը: Կոտորակների մասին տեղեկություն երեխան ստանում է միայն ռեալ օբյեկտների հետ գործնական գործողություններ կատարելով: Այդ գործողությունները նախապատրաստում են երեխաներին հինգից վեցերորդ դասարաններում կոտորակներին ծանոթանալուն: Երեխաների՝ կոտորակներին ծանոթացման մեթոդի խնդիրը կայանում է նրանում, թե ուսուցիչը ինչ օբյեկտներ կընտրի և գործնական ինչ գործողություններ նպատակահարմար կգտնի կատարել դրանց հետ: Կոտորակ հասկացությունը պետք է նույնացվի այդ գործողության արդյունքի հետ: Դա նշանակում է, որ տվյալ օբյեկտները պետք է բաժանվեն հավասր մասերի՝ երկրաչափական մարմինների տեսքով:
   Պետք է ունենալ պատկերացում հետևյալ գործողությունների կատարման մասին.
1)Գրել կոտորակը՝ կողմնորոշվելով օբյեկտով կամ նկարով:
2)Համեմատել կոտորակները օբյեկտի կամ նկարի վրա հիմնվելով:
3)Գտնել թվի կոտորակը(բաժանել օբյեկտը հավասար մասերի):
4)Վերականգնել թիվը ըստ կոտորակի(հակառակ գործողություն):
   Այս գիտելիքները ձևավորվում են զննականության սկզբունքի առարկայական իմաստի փոխկապակցվածությամբ:

  2.Կոտորակները (մասերը) 3-րդ դասարանում
   Մաս բառով երրորդ դասարանում անվանում են 1/k տեսքով կոտորակը: Մասը ստանում են օբյեկտը մի քանի հավասար մասերի բաժանելով:
    1/2 և 1/4  կոտորակները նշանակում են, որ օբյկետը բաժանել են երկու կամ չորս հավասար մասերի և վերցրել են մեկ մասը: Վերջին հրատարակություններում այդ տեսակի գրառումներ չկան: Երեխաներին հաղորդում են միայն ստացվող մասի բառացի անվանումը՝ 1/12 մաս, 1/6 մաս, 1/ 8 մաս:
   Զանազան մասերի բաժանված շրջանների նկարներով երեխաները համեմատում են մասերը՝ նշելով համեմատման արդյունքը բառով այլ ոչ թե նշանով.
Նշի′ր, թե յուրաքանչյուր շրջանը քանի մասի է բաժանված:
Համեմատիր՝ որ մասերն են ավելի մեծ՝ մեկ ութերորդը թե մեկ չորրորդը, մեկ երրորդը թե մեկ վեցերորդը:
   Հետո դասագրքում միանգամից տրվում է խնդիր՝ մեծության մասերը գտնելու և ըստ մասերի մեծությունը գտնելու առաջադրանքով:
   Բերենք  մեծության մասերը գտնելու խնդրի օրինակ. 
Ժապավենի երկարությունը 9 դմ է: Կտրեցին այդ երկարության մեկ երրորդը: Քանի դմ կտրեցին ժապավենից: 
   Լուծում. Սա մեծության մասի որոշման տիպային խնդիր է: Խնդրի իմաստը համապատասխանում է օբյեկտի մասի որոշման գործընթացի հետ: Դիտարժան լինելու համար երեխաները գծում են տետրում 9դմ-ոց հատված: Կրկնում են մեկ երրորդ մասի ստացման գործողությունը: 9 դմ:3=3դմ: Հետո հատվածը բաժանում են երեք մասի և ստուգում են մասերի երկարությունները:
   Բերենք օրինակ թվի որոնումը՝ ըստ բաժանված մասերի:
   Հատվածի մեկ երրորդ մասի երկարությունը հավասար է 4 սմ-ի: Գտիր ամբողջ հատվածի երկարությունը:
 Լուծում.
Այս խնդիրը նախորդ խնդրի հակադարձն է: Նկարում ենք հատված: Նրա երկարությունը մենք չգիտենք, բաժանում ենք 3 մասի: Մի մասի վրա գրում ենք 4 սմ: Քանի որ երեք հատվածները նույն երկարության են, ապա ամբողջ հատվածի երկարությունը կլինի 4սմ* 3= 12սմ:
Խնդիր. Քառակուսի թուղթը,որի կողմը 2 դմ է, կտրատել են 5 հավասար ուղղանկյուն մասերի: Գտնել մի մասի մակերեսը:
   Լուծում. խնդիրը լուծում են գործնական ճանապարհով:
Խնդիր.
Դպրոցի տարրական դասարաններում սովորում են 210 աշակերտ, որի մեկ երրորդը երրորդ դասարանցիներն են: Որքան աշակերտ է սովորում առաջին և երկրորդ դասարաններում:
Լուծում. Խնդիրը լուծում են  զննական պարագաների միջոցով: Տրամաբանում են այսպես. Որպեսզի գտնենք երեխաների քանակի մեկ երրորդը, պետք է բաժանենք 3-ի՝ 210:3=70-երրորդ դասարանցիները:
 Մնացած երեխաները կազմում են երկու մասը,ուրեմն  70*2=140,  կամ մնացած երեխաները սովորում են առաջին և երկրորդ դասարաններում, այսինք` 210-70=140:
  Խնդիր. Կես տարում գրադարանը ստացավ 200 գիրք երեխաների համար: Դա ամբողջ գրքերի մեկ քառորդ մասն է: Քանի գիրք ստացավ գրադարանը 6 ամսում: 
Լուծում. Խնդիրը լուծում ենք զննականության միջոցով: Տրամաբանում են այսպես. Մի երկար հատվածով նշենք գրքերի քանակը  և դնենք հարցական: Հայտնի է միայն ամբողջ գրքերի քառորդ մասի քանակը, բաժանենք հատվածը 4 մասի և մի մասի վրա նշենք 200 գիրք: Քանի որ բոլոր  մասերը հավասար են, ուրեմն բոլոր մասերի վրա պետք է նշենք 200  գիրք: 200*4= 800(գիրք)-բերեցին գրադարան:

Կոտորակային թվերի ստացումը չափման միջոցով

Չափման հետևանքով կոտորակային թվերի ստացումը ցույց տանք հատվածների չափման օրինակով: Հատվածների չափման համար որևէ հատված ընդունվում է որպես չափման միավոր, որի հետ էլ բաղդատում են չափման ենթակա հատվածները: Չափել հատվածի երկարությունը, նշանակում է իմանալ, թե նրա մեջ քանի անգամ է պարունակվում չափման միավորը կամ նրա որևէ մասը: Հատվածների չափման ժամանակ հանդիպում ենք երեք դեպքի.

• Չափման միավորը ամբողջ թվով պարունակվում է չափվող հատվածի մեջ:

• Չափման միավորը ամբողջ թվով հատվածի մեջ չի պարունակվում, բայց նրա մեջ պարունակվում է չափման միավորի որևէ մաս:

• Չափման միավորը կամ նրա որևէ մասը չափվող հատվածի մեջ չի պարունակվում, այլ յուրաքանչյուր չափումից հետո միշտ էլ մնացորդ է մնում:

Այսպես, ենթադրենք չափման միավոր ընդունված է а հատվածը, որը [AB]-ում պարունակվում է 6 անգամ: Ուրեմն |AB|=6а, 6а-ն կոչվում է [AB]- ի երկարությունը: Չափման նույն միավորով [CD]-ը չափել հնարավոր չէ, եթե այն մեծ է [CD]-ից: Նման դեպքերում չափման միավորը բաժանում են որոշ թվով հավասար մասերի և նրանցից մեկով կատարում չափումը: Օրինակ, եթե CD հատվածը բաժանանք 5 հավասար մասերի, ապա ստացված մեկ մասը կարելի է ընդունել չափման նոր միավոր: Ընդունված է ասել, որ դրանցից յուրաքանչյուրը կազմում է միավոր հատվածի մեկ հինգերորդ մասը և գրել 1/5 а : Իմանալով, որ յուրաքանչյուր բնական թիվ բնութագրում է վերջավոր բազմությունների մի դաս, կարելի է ասել, որ m/n կոտորակը բնութագրում է հավասարազոր վերջավոր այնպիսի բազմությունների մի դաս, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է m տարր, ընդ որում դրանցից յուրաքանչյուրի երկարությունը հավասար է չափման միավորի 1/n-ին:Այստեղ n-ը կոչվում է կոտորակի հայտարար, m-ը` համարիչ, իսկ հորիզոնական գիծը` կոտորակային գիծ: Ուրեմն` m/n կոտորակի հայտարարը ցույց է տալիս, թե միավորը քանի հավասարազոր մասերի է բաժանված, իսկ համարիչը` թե նրանով բնութագրվող բազմությունը քանի այդպիսի մաս է պարունակում: Կոտորակի համարիչը կարող է լինել ցանկացած բնական թիվ և զրո: Ընդ որում վերջին դեպքում կստացվի 0, որը ցույց է տալիս, որ մասերի վերցրած բազմությունը ոչ մի տարր չի պարունակում, այսինքն` նա դատարկ բազմություն է: Իսկ կոտորակի հայտարարը կարող է լինել կամայական բնական թիվ, ընդ որում, եթե n ‗ 1, ապա ստանում ենք m/1, որը ցույց է տալիս, որ չափման միավորը մասերի չի բաժանված և նրա չափվող հատվածի մեջ պարունակվում է m անգամ, հետևաբար m/n ‗ m: Հասկանալի է, որ n ≠0, որովհետև իմաս չունի ասել, որ հատվածը բաժանված է զրո հավասար մասերի:

Սովորական և տասնորդական կոտորակներ

Կոտորակները հնարավորություն են տալիս գրել ոչ ամբողջ թվերը: Կոտորակներով կարելի է լրացնել ամբողջ թվերի միջև եղած միջակայքերը, իսկ դա հնարավորություն է տալիս ավելի ճշգրիտ չափումներ կատարել: Կա կոտորակային թվերը գրելու 2 եղանակ. Այսպես կոչված սովորական կոտորակներ, որը 2 ամբողջ թվերի հարաբերություն է, օրինակ` 3/4, և տասնորդական կոտորակներ, օրինակ` 0. 75: Սովորական կոտորակի վերևի թիվն անվանում են համարիչ, ներքևինը` հայտարար: Իսկ տասնորդական կոտորակը, օրինակ` 16.25 գրվում է առանց հայտարարի և կարդացվում`‹‹ տասնվեց ամբողջ քսանհինգ հարյուրերորդական››: Տասնորդական կոտորակներում ինչպես ամբողջ թվերի, այնպես էլ ստորակետից հետո եղած թվերի արժեքը կախված է դրանց գրաված տեղից` կարգից, յուրաքանչյուր կարգ գնահատվում է 10 անգամ ավելի փոքր, քան ձախ կողմի հարևանը:

Կոտորակները լինում են կանոնավոր և անկանոն։ Կանոնավոր կոտորակը փոքր է մեկից, իսկ անկանոն կոտորակը մեծ է մեկից:

 Դրական տասնորդական կոտորակի դիրքային գրառման մեջ թվանշանի զբաղեցրած տեղը կոչվում է կարգ: Եթե տասնորդական կոտորակին աջից կցագրենք ցանկացած քանակով զրո, ապա նրա մեծությունը չի փոխվի: Օրինակ`  0,35; 0,350; 0,3500 ….

Տասնորդական կոտորակը կարգային միավորով բազմապատկելու համար պետք է ստորակետը դեպի աջ տեղափոխել այնքան թվանշանով, որքան զրո կա կարգային միավորում: Իսկ եթե զրոների քանակը չի համապատասխանում, ապա տասնորդական կոտորակին նախորոք պետք է զրո կցագրենք:

  Տասնորդական կոտորակը կարգային միավորի բաժանելու համար պետք է ստորակետը դեպի ձախ տեղափոխել այնքան թվանշանով, որքան զրո որ կա կարգային միավորում: Այս դեպքում ևս եթե զրոների քանակը չի բավարարում կամ հավասար է, ապա նախորոք ձախից տասնորդական կոտորակին պետք է զրո ավելացնենք:  Տասնորդական կոտորակները գումարվում են հետևյալ հաջորդականությամբ.   1.Տասնորդական կոտորակները գումարվում են սյունակով, այնպես, որ մի ստորակետը լինի մյուսի տակ:   2. Կոտորակների միջև դրվում է + նշանը, իսկ ներքևում գիծ է տարվում: 3. Ստորակետներն անտեսվում են, ապա համապատասխան բնական թվերը գումարվում:  4.Ստացված թվի գրառման մեջ ստորակետ է դրվում գումարելիների ստորակետների տակ:

                               Օրինակ՝

                                                   

Տասնորդական կոտորակների հանումը նույնպես քայլերով է կատարվում.

1. Հանելին գրվում է նվազելիի տակ այնպես, որ ստորակետները իրար տակ լինեն:

2. Կոտորակների միջև դրվում է հանման նշանը, իսկ ներքևում գիծ է տարվում:

3. Ստորակետներն անտեսվում են, ապա համապատասխան բնական թվերը հանվում են:

4.  Ստացված թվի գրառման մեջ ստորակետ է դրվում նվազելիի և հանելիի  ստորակետների տակ։

                            Օրինակ՝

Տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը.

1. Անտեսելով կոտորակների մեջ եղած ստորակետները բազմապատկում  ենք կոտորակների  բացարձակ արժեքները

2. Ստացված արտադրյալում աջից ստորակետով առանձնացնում ենք այնքան թվանշան, որքան թվանշան որ կա երկու արտադրիչների կոտորակային մասերում միասին,

3. Ստացված արտադրյալից առաջ դնում ենք+ նշանը, եթե բազմապատկվող կոտորակներն ունեն նույն նշանը, և դնում ենք – նշանը, եթե բազմապատկվող կոտորակների նշանները տարբեր են.

Օրինակ՝

Տասնորդական կոտորակների բաժանումը.

Եթե տասնորդական կոտորակը բաժանում ենք որևէ բնական թվի, ապա պետք է անտեսենք ստորակետը, այնուհետև կատարենք բաժանման գործողությունը: Հենց որ ավարտվում է գործողությունը քանորդում դնում ենք ստորակետ:

Մի տասնորդական կոտորակը մեկ ուրիշ տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու համար պետք է նախ բաժանելիի և բաժանարարի ստորակետը տեղափոխել դեպի աջ այնքան թվանշանով, որքան թվանշան որ ստորակետից հետո կա բաժանարարում. Ապա կատարել բնական թվերի բաժանումը:

                                 Օրինակ՝

Կոտորակային թվերի հատկությունները

1. Եթե կոտորակի համարիչը մի քանի անգամ մեծացնենք կամ փոքրացնենք, նույնքան անգամ էլ կոտորակը համապատասխանաբար կմեծանա կամ կփոքրանա: Իրոք 6/29 կոտորակը ցույց է տալիս, որ ամբողջը բաժանված է 29 հավասար մասերի և վերցված է այդպիսի 6 մաս: Եթե նրա համարիչը մեծացնենք մի քանի անգամ, ապա վերցրած մասերի թիվն էլ նույնքան անգամ կմեծանա, հետևաբար նույնքան անգամ կմեծանա նաև կոտորակը: Ուրեմն 6*2/29 = 12/29, որը 2 անգամ մեծ է 6/29-ից: Ընդհակառակը, համարիչը մի քանի անգամ փոքրացնելով, նույնքան անգամ էլ կփոքրանա վերցրած մասերի թիվը և հետևաբար նույնքան անգամ էլ կփոքրանա ինքը` կոտորակը: Օրինակ` 6:3/ 29= 2/29 կոտորակը 3 անգամ փոքր է 6/29 կոտորակից:

2. Եթե կոտորակի հայտարարը մի քանի անգամ մեծացնենք կամ փոքրացնենք, կոտորակը համապատասխանաբար նույնքան անգամ կմեծանա կամ կփոքրանա: Իսկապես, որքան անգամ մեծացնենք կոտորակի հայտարարը, նույնքան անգամ կփոքրանա ամբողջի բաժանումից ստացված մասերի մեծությունը: Քանի որ վերցրած մասերի թիվը մնում է անփոփոխ, ուստի և նույնքան անգամ կփոքրանա կոտորակը: Այսպես, 3/ 5*4 = 3/20 կոտորակը 4 անգամ փոքր է 3/5 կոտորակից:

3. Կոտորակի հիմնական հատկությունը. Կոտորակի մեծությունը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը և հայտարարը միաժամանակ բազմապատկենք կամ բաժանենք միևնույն բնական թվի վրա:

4. Կոտորակների կրճատումը: Կոտորակը անկրճատելի է, եթե նրա համարիչը և հայտարարը փոխադարձ պարզ թվեր են : Անկրճատելի կոտորակին անվանում են ռացիոնալ թվի անկրճատելի տեսք: Կոտորակային թվերի հիմնական հատկությունը հնարավորություն է տալիս նրանց բերելու անկրճատելի տեսքի, եթե այդ տեսքով չեն գրված: Կոտորակը կրճատել, նշանակում է նրա համարիչը և հայտարարը բաժանել նրանց ընդհանուր բաժանարարի վրա: Օրինակ` 16/24= 16:4/24:4= 4/6: Կոտորակը կրճատեցինք 4-ով:Սակայն կոտորակը անկրճատելի տեսքի բերած կլինենք, եթե այն կրճատենք համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարով, որովհետև միայն այդ դեպքում են համարիչում և հայտարարում ստացվում է փոխադարձ պարզ թվեր: Օրինակ` 16/24= 16:8/24:8= 2/3 կոտորակը գրված է անկրճատելի տեսքով, քանի որ (2,3) =1:

Տարբերում են կոտորակների կրճատման երկու եղանակ:

ա)Հաջորդական կրճատում: Օգտվելով բաժանելիության հայտանիշերից, տրված կոտորակի համարիչը և հայտարարը հերթականորեն բաժանում են նրանց ընդհանուր բաժանարարների վրա:Օրինակ` 18/27= 6/9= 2/3: Այս կոտորակի համաիրչը և հայտարարը նախ բաժանեցինք 2-ի և ապա 3-ի:

բ) Լրիվ կրճատում: Կոտորակի կրճատումը կոչվում է լրիվ, եթե նրա համարիչը և հայտարարը միանգամից բաժանում ենք դրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի վրա: Օրինակ` եթե տրված է 18/27 կոտորակը, որտեղ (18,27) = 9, ապա կստանանք` 18/27= 18:9/27:9= 2/3:

6. Կոտորակների հավասարությունը և անհավասարությունը: Միևնույն հայտարար ունեցող կոտորակները հավասար են, եթե հավասար են նրանց համարիչները: Միևնույն հայտարար ունեցող կոտորակներից մեծ է այն, որի համարիչը մեծ է:

Միևնույն համարիչ ունեցող կոտորակները հավասար են, եթե հավասար են նրանց հայտարարները: Միևնույն համարիչ ունեցող կոտորակներից մեծ է այն, որի հայտարարը փոքր է: Այսպիսով, կոտորակների բաղդատման համար կամ դրանք պետք է բերել ընդհանուր հայտարարի կամ ընդհանուր համարիչի: Գործնականում պետք է կատարել այն, որն ավելի հեշտ է: Պարզ է, որ երկուսից շատ կոտորակների բաղդատումը ևս կարելի է կատարել նշված եղանակներով:

Խնդիրների լուծման օրինակներ կոտորակների հետ կապված

Խնդիր 1.Պիցցա կտրտված է 4 հավասար մասերի: Դրանց մեկ մասը դրված է ափսեում, իսկ երեք մասը` մյուսում: Առաջին ափսեում դրված է պիցցայի մեկ քառորդ մասը, իսկ մյուսում` պիցցայի երեք քառորդ մասը: Գրում են 1/4 պիցցա և 3/4 պիցցա, այսպիսի կոտորակները սովարական կոտորակներ են: 3/4 կոտորակում 3 թիվը անվանում են կոտորակի համարիչ, իսկ 4 թիվը կոտորակի հայտարար: Հայտարարը ցույց է տալիս, թե պիցցան քանի հավասար մասերի է կտրտված, իսկ համարիչը ցույց է տալիս, թե քանի այդպիսի մաս է վերցված: Կոտորակի համարիչը գրում ենք գծից վերև, իսկ հայտարարը` գծի տակ: Աղջկան տվեցին 2/4-ը իսկ տղային` պիցցայի 1/2-ը: Աղջիկը ստացավ երկու փոքր կտոր, իսկ տղան` մեկ մեծ կտոր: Բայց նրանք երկուսն ել ստացան հավասար կտորներ.2/4 և 1/2 կոտորակները հավասար են:

Խնդիր 2. Քանաքեռից մինչև Աբովյան 7 կմ է:Լիլիթն այդ ճանապարհով անցավ 3 կմ: Ճանապարհի ո՞ր մասը նա անցավ:

Ամբողջ ճանապարհի երկարությունը 7 կմ է, ուստի 1 կմ-ը կազմում է ճանապարհի երկարության 1/7-ը , 3 կմ-ը ճանապարհի երկարության 3/7-ը: Լիլիթն անցավ ճանապարհի 3/7-ը:

Խնդիր 3. Գեղամը մաթեմատիկական օլիմպիադայում առաջին խնդիրը լուծեց ¾ ժամում, իսկ երկրորդը` 5/6 ժամում: Ո՞ր խնդիրը նրանից շատ ժամանակ խլեց: Լուծում:Պատասխանը ստանալու համար պետք է բաղդատել 3/4 և 5/6 կոտորակները: Ուստի դրանք պետք է գրել միևնույն հայտարարով կոտորակի տեսքով, կամ ինչպես ասում են, դրանք բերել ընդհանուր հայտարարի: Այդ հայտարարը պետք է բազմապատիկ լինի 4-ին և 6-ին: 4 և 6 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է 12-ի: Երկու կոտորակներն էլ բերենք 12 հայտարարի.

3/4= 9/12 , 5/6= 10/12

Քանի որ 9/12

	3 4	= 45 60 ; 5 6 = 50 60 :

Նկատենք, որ 1/60 ժամը րոպեն է: Ուրեմն, Գեղամը առաջին խնդիրը լուծեց 45 րոպեում, իսկ երկրորդը` 50րոպեում:

Խնդիր 4. A և B քաղաքների հեռավորությունը երկաթուղով 180 կմ է: Այդ ճանապարհի 4/9-ը էլեկտրաֆիկացված է : Քա՞նի կմ ճանապարհ է էլեկտրաֆիկացված: A- ից մինչև B ամբողջ ճանապրհը բաժանենք 9 հավասար մասերի: Յուրաքանչյուր մասի երկարությունը հավասար է 180: 9 կիմոմետրի: Ուրեմն, 4 այդպիսի մասն ունի 180: 9* 4 կմ երկարություն: Այսպիսով, էլեկտրաֆիկացված է 80 կմ ճանապարհ:

Խնդիր 5. Ասֆալտապատեցին գյուղից մինչև քաղաք գնացող ճանապարհի 3/5-ը, որը կազմեց 18 կմ: Ինչի՞ է հավասար ամբողջ ճանապարհի երկարությունը: Լուծում. քանի որ ճանապարհի 3/5-ի երկարությունը հավասար է 18 կմ-ի, ապա ճանապարհի 1 կմ-ի երկարությունը հավասար կլինի 18:3 կմ-ի: Ուրեմն, ամբողջ ճանապարհի երկարությունը հավասար է 18:3*5 կմ-ի: Այսպիսով ճանապարհի երկարությունը հավասար է 30 կմ-ի:

Այս խնդիրը կարելի է լուծել նաև հավասարման միջոցով: Դիցուք` x-ը ճանապարհի երկարությունն է կիլոմետրերով : Այս դեպքում ճանապարհի 1/5-ի երկարությունը հավասար է x: 5, իսկ ճանապարհի 3/5-ի երկարությունը հավասար է 3* (x:5 ): Ըստ խնդրի պայմանների կազմենք հավասարում.

3 * (x : 5) = 18։

Անհայտ x : 5 բազմապատկիչը գտնելու համար պետք է 18:3-ի.

x : 5 = 18 : 3, x : 5 = 6։

Անհայտ x բազմապատկելին գտնելու համար պետք է 6-ը բազմապատենք 5-ով:

x = 6 * 5, x = 30։

Այսպիսով ամբողջ ճանապարհի երկարությունը հավասար է 30 կմ-ի:

Խնդիր 6: Մաքրել են սահադաշտի 2/5-ը, որը կազմում է 800քմ: Գտեք սահադաշտի մակերեսը: Սահադաշտի մակերեսը նշանակենք x –ով: Ըստ պայմանի, այդ մակերեսի 2/5-ը հավասար է 800քմ, այսինքն` 2/5*x =800, x-ը գտնելու համար պետք է հավասարման երկու մասն էլ բաժանել 2/5-ի: Ուրեմն`

x= 800: 2/5=800 * 2/5= 2000

Սահադաշտի մակերեսը 2000քմ է: Ընդհանրապես, թիվն իր կոտորակային մասի արժեքի միջոցով գտնելու համար պետք է այդ արժեքը բաժանել կոտորակի վրա:

ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ

Այսպիսով՝ մաթեմատիկան արդի դարաշրջանում կյանքի անբաժանելի մասն է կազմում: Տարրական դասարանների աշակերտների համար բավական բարդ է կոտորակներ թեման: Որպեսզի երեխայի մոտ գոյանա օբյեկտի մասին որևէ ընդհանրական պատկերացում, պետք է կազմակերպվի մտավոր օպերացիաների պրոցես այդ օբյեկտի նկատմամաբ՝ համեմատություն նմանատիպ օբյեկտների հետ, նմանությունների և տարբերությունների պարզաբանում: Տվյալ մտավոր գործունեության կազմակերպման համար անհրաժեշտ է ունենալ գոնե երկու տեսակի օբյեկտ: Կրտսեր դպրոցականներին միայն բնական թվերի հետ ծանոթացնելով այդ աշխատանքը հնարավոր չէ տանել, այդ իսկ պատճառով երեխաները ծանոթանում են նաև կոտորակներ թեմային: Ուսումնասիրելով կոտորակներ թեման հասկացանք, որ դրանք հնարավորություն են տալիս գրել ոչ ամբողջ թվերը: Կոտորակներով կարելի է լրացնել ամբողջ թվերի միջև եղած միջակայքերը, իսկ դա հնարավորություն է տալիս ավելի ճշգրիտ չափումներ կատարել: Կոտորակները լինում են երկու տեսակ` կանոնովոր և անկանոն: Համարվում է, որ մասերին և կոտորակներին երեխաների ծանոթացումը մեծացնում է թվերի մասին նրանց պատկերացումը: Բայց գործնականորեն դա տեղի չի ունենում, քանի որ կոտորակ հասկացությունը այն տեսքով, որ տեսքով որ դիտարկվում է տարրական դպրոցում, շատ թվերի հետ չի կապակցվում: Այսպիսով իմացանք նաև, որ կոտորակներ կարելի է ստանալ հատվածների չափման միջոցով: Հատվածների չափման համար որևէ հատված ընդունվում է որպես չափման միավոր, որի հետ էլ բաղդատում են չափման ենթակա հատվածները: Չափել հատվածի երկարությունը, նշանակում է իմանալ, թե նրա մեջ քանի անգամ է պարունակվում չափման միավորը կամ նրա որևէ մասը: Իմացանք տասնորդական կոտորակների գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման գործողությունների կատարման հաջորդականությունը: Կոտորակներ թեման ուսումնասիրելիս սովորեցինք նաև կոտորակային թվերի հատկությունների մասին, այն է. եթե կոտորակի համարիչը կամ հայտարարը մի քանի անգամ մեծացնենք կամ փոքրացնենք, նույնքան անգամ էլ կոտորակը համապատասխանաբար կմեծանա կամ կփոքրանա: Կոտորակի մեծությունը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը կամ հայտարարը միաժամանակ բազմապակենք կամ բաժանենք միևնույն բնական թվի վրա: Իմացանք նաև կոտորակների կրճատման հատկության մասին:

Աշխատանքի վերջում բերված են կոտորակների և մասերի վերաբերյալ խնդիրների լուծման օրինակներ:

ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԱԾ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՑԱՆԿ

1. Մորո Մ. Ի., Բանտովա Մ. Ա., Բելտյուկովա Գ.Վ., Մաթեմատիկա, ‹‹Ձեռնարկ ուսուցիչների համար››, Եր., Լույս, 1987

2. Քարտաշյան Ա. Հ.,‹‹Մաթեմատիկա››, Եր., Լույս, 1983

3. Մաթեմատիկա, ուսուցչի ձեռնարկ, I-IV դասարաններ, Եր., Զանգակ, 2013

4. Ուսումնա- մեթոդական ռեսուրսների ժողովածու, I-IV դասարաններում մաթեմատիկայի ուսուցման համար, Թբիլիսի, 2014

5