Геометриялык прогрессиялар

Тема: Геометриялык прогрессиялар.

1. Геометриялык прогрессиянын аныктамасы.

2. Геометриялык прогрессиянын n-м\чъс\н\н формуласы.

3. Геометриялык прогрессиянын м\нъзд\\ касиети.

4. Геометриялык прогрессиянын алгачкы n м\чъс\н\н суммасынын формуласы.

5. Чексиз кем\\ч\ геометриялык прогрессиянын суммасы.

Аныктама. Экинчи м\чъс\нън баштап, ар бир м\чъс\ мурунку м\чъ-с\нъ нълдън айырмалуу болгон санды къбъйт\\дън алынган нълдън айырма-ланган сандардын удаалаштыгы геометриялык прогрессия деп аталат.

Мисалы: 3; 6; 12; 24; 48; 96; 192; ... - 1; - 7; - 49; - 343; ...

1; ; ; ; ; ; ; ... 0,2; - 0,06; 0,018; - 0,0054; ...

Геометриялык прогрессиянын м\чълър\н аныктайбыз: , , , …,

0, q 0, = q,

= q = qq = q²,

= q = q²q = q³,

= q = q³q = q⁴,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= q = q^n-2q = q^n-1

Мындан = q^n-1 экендигин алууга болот. = q^n-1 бул барабар-дык геометриялык прогрессиянын n – м\чъс\н\н формуласы деп аталат.

Мында - геометриялык прогрессиянын биринчи м\чъс\, q - геометриялык прогрессиянын бъл\м\, n – м\чън\н катар номери.

1-мисал. Геометриялык прогрессияда = 0,8 жана q = болсо, анын онунчу м\чъс\н тапкыла.

Чыгаруу: Геометриялык прогрессиянын n – м\чъс\н\н формуласы боюнча = q⁹ = 0,8 = 0,8 = = .

2-мисал. Эгер = 162 жана = 18 болсо, ( ) геометриялык прогрес-сиясынын сегизинчи м\чъс\н тапкыла.

Чыгаруу: Геометриялык прогрессиянын бъл\м\н биринчи жана \ч\нч\ м\чълър\н\н аныктап алабыз: = q² ⇒ q² = = = ;

q² = теёдемесин чыгарып = жана = - экендигин алабыз. q нун эки мааниси болгондуктан, эки геометриялык прогрессияны кароого болот:

= болгондо = q⁷ = 162 = 162 = .

= - болгондо = q⁷ = 162 = -162 = .

Жообу: = болгондо = ; =- болгондо = - .

Геометриялык прогрессиянын м\нъзд\\ касиети.

Теорема. Геометриялык прогрессиянын ар бир орто м\чъс\ андан бирдей алыстатылган м\чълър\н\н геометриялык орточосуна барабар, б. а.

= , ( p).

Далилдъъ. Жалпы м\чън\н формуласы боюнча

= жана = , бул эки барабардыкты м\чълъп къбъйт\п = = =( q^{k -1})² = .

Демек, = .

Мисалы: = ; = ; = ; = Геометриялык прогрессиянын алгачкы n м\чъс\н\н суммасын табуу-нун формуласын келтирип чыгарабыз, алгачкы n м\чъс\н\н суммасын менен белгилейбиз: = + … + (1). Бул барабардыктын эки жагын q санына къбъйтъб\з: q = + … + q, анда бул барабардык = + … + + (2).

(2)–барабардыктан (1)-барабардыкты м\чълъп кемитебиз:

= ( + … + + ) – ( + … + ) ⇒

⇒ = ⇒ ( 1) = q^n-1 ⇒ ( 1) = ⇒ ( 1) = ⇒ = (1) же = (2)

= (1) бул геометриялык прогрессиянын алгачкы n м\чъс\н\н суммасын табуунун формуласы. Мында прогрессиянын биринчи м\чъс\, n-м\чъс\ жана бъл\м\ берилген учур.

= (2) бул геометриялык прогрессиянын алгачкы n м\чъс\н\н суммасын табуунун формуласы. Мында прогрессиянын биринчи м\чъс\ жана бъл\м\ берилген учур.

1-мисал. = 3 жана q = болгон ( ) геометриялык прогрессиясынын алгачкы он м\чъс\н\н суммасын тапкыла.

Чыгаруу. Суммасын табуунун формуласы боюнча эсептейбиз:

= = = = = = 5 .

Демек, = 5 .

2-мисал. Тъмънк\ сумма эмнеге барабар?

1 + х + х² + х³ + ... + х^n-1, х 1.

Чыгаруу: Прогрессиянынбиринчи м\чъс\ 1 ге, ал эми бъл\м\ х ке барабар. х^n-1 туюнтмасы бул прогрессиянын n номерл\\ м\чъс\ болуп эсептелгендиктен, маселе анын алгачкы n м\чълър\н\н суммасын табуудан турат.

Берилген прогрессияда = 1, q = жана м\чълър\н\н суммасын табуунун (1)- формуласын колдонуп тъмънк\н\ алууга болот:

= = = .

Ошентип,

1 + х + х² + х³ + ... + х^n-1 = .

Чексиз кем\\ч\ геометриялык прогрессиянын суммасы.

Бъл\м\ 1 шартын канааттандырган геометриялык прогрессия чексиз кем\\ч\ геометриялык прогрессия деп аталат.

Мисалы, ; ; ; … чексиз кем\\ч\ геометриялык прогрессия болот, анткени 1.

1; - ; ; …; ; … . чексиз кем\\ч\ геометриялык прогрессия болот, анткени 1.

Прогрессиянын алгачкы n м\чъс\н\н суммасынын формуласын жазабыз: = .

Барабардыктын оё жагындагы туюнтманы ъзгъртъб\з:

= = = .

Демек,

= .

Эгерде 1 болсо, анда n ди чексиз чоёойткондо къбъйт\нд\с\ нългъ умтулат, демек къбъйт\нд\с\ да нългъ умтулат. Ошондуктан n ди чексиз чоёойткондо саны санына умтулат.

саны, 1 болгондо чексиз геометриялык прогрессия-нын суммасы деп аталат.

Ал тъмънк\дъй жазылат: + q + q² + … = .

чексиз геометриялык прогрессиясынын суммасы: S = болот.

1-мисал. 12; - 4; ; … чексиз геометриялык прогрессиясынын сумма-сын тапкыла.

Бул прогрессияда q = , демек, 1 шарты аткарылат.

S = формуласы боюнча эсептейбиз: S = = = 9.

2-мисал. 0, (18) чексиз мезгилд\\ ондук бълчъг\н жънъкъй бълчък т\р\ндъ кърсътк\лъ.

0, (18) санын сумма т\р\ндъ кърсътъб\з:

0, (18) = 0, 18 + 0, 0018 + 0, 000018 + …

Барабардыктын оё жагындагы кошулуучулар – биринчи м\чъс\ 0,18 ге барабар, ал эми бъл\м\ 0,01 ге барабар, б.а. 1 болгон геометриялык прогрессиянын м\чълър\.

S = = = . Жообу: 0, (18) = .

Ъз алдынча иштъъ \ч\н тапшырмалар.

№ 1

Эгер болсо , геометриялык прогрессиясынын жетинчи мүчөсүн тапкыла.

№ 2

Эгер болсо , геометриялык прогрессиясынын алтынчы мүчөсүн тапкыла.

№ 3

жана 240 сандарынын арасына алты санды койгула. Ал сандар берилген сандар менен бирге геометриялык прогрессияны т\згъндъй болсун.

№ 4

Эгерде болсо, арифметикалык прогрессиясынын алгачкы 30 мүчөсүнүн суммасын тапкыла.

№ 5

Эгерде болсо, геометриялык прогрессиясы-нын алгачкы 5 мүчөсүнүн суммасын тапкыла.

№ 6

Геометриялык прогрессияда

а) , = 254 болсо, жана ди тапкыла;

б) q =2, n = 8, = 765 болсо, жана ди тапкыла;

в) q= 3, = 567, = 847 болсо, жана n ди тапкыла;

г) = 2 = = 3 болсо, q жана n ди тапкыла.

№ 7

Алгачкы n м\чълър\н\н суммасы тъмънк\ формула менен аныкталуу-чу удаалаштыгы геометриялык прогрессия болуп эсептелеби?

а) = - 1; б) = ; в) = 1.