Геометрия плоских фигур

Разработка предметно – ориентированного элективного курса для предпрофильной подготовки по теме

«Геометрия плоских фигур»

Оглавление

1. Введение 3-5.

2. Основная часть 6-7.

3. Заключение 8.

4. Список литературы 9.

5. Приложения 10-17.

Введение.

Геометрия - наиболее уязвимое звено школьной математики. Это связано как с обилием различных типов геометрических задач, так и с многообразием приемов и методов их решения.

В теоретическую часть школьного курса геометрии включены в основном теоремы, работающие на сам курс, то есть необходимые для его дальнейшего развития. Многие теоремы в известном смысле прикладного характера, областью приложения которых являются задачи, а не теория, из курса исключены.

В связи с этим возникает необходимость в выделении некоторого количества задач, так называемых элементарных (базисных, опорных, ключевых), иллюстрирующих тот или иной часто встречающийся метод или прием решения задач, которые учащийся должен усвоить и освоить. Следует обращать внимание учащихся на «рабочие теоремы», то есть теоремы, которые, с одной стороны, активно используются при решении задач, но с другой стороны, как показывает опыт, либо не всегда рассматриваются при изучении геометрии, либо тщательно не отрабатываются.

Первым и важнейшим этапом решения геометрической задачи является построение чертежа. Нельзя научиться решать достаточно содержательные геометрические задачи, не выработав привычки делать «большой и красивый» чертеж, удовлетворяющий не только формально математическим требованиям, но и известным эстетическим критериям. Поле построения чертежа следует вспомнить все факты, относящихся к данным и искомым элементам задачи, а также соотношения между ними.

Таким образом, умение решать геометрические задачи определяется четырьмя слагаемыми:

1) чертеж;

2) метод;

3) владение определенным объемом геометрических фактов и теорем;

4) наличие достаточно активно используемого запаса опорных задач.

Предлагаемый курс призван помочь ученикам при подготовке к итоговой аттестации. Материал курса разбит по темам и систематизирован по видам геометрических фигур и по наборам геометрических теорем и формул, опирающихся на единую доказательную базу, что позволяет выявлять общие подходы к решению геометрических задач при обилии различных их типов и многообразии приемов и методов решения.

При разработке курса «Решение наиболее сложных заданий по математике» учитывалось то, что элективный курс как компонент образования должен быть направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов обучающихся, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не характерны для традиционных учебных курсов.

Курс геометрии обладает также чрезвычайно важным нравственным моментом, поскольку именно геометрия дает представление о строго установленной истине, воспитывает потребность доказывать то, что утверждается в качестве истины. Таким образом, геометрическое образование является важнейшим элементом общей культуры.

Предлагаемый курс «Решение наиболее сложных заданий по математике» является практико-ориентированным и предназначен для учащихся 9 класса. Количество учебных часов - 34.

Цели курса:

- обобщить и систематизировать знания учащихся по основным разделам планиметрии;

- познакомить учащихся с некоторыми методами и приемами решения планиметрических задач;

- сформировать умения применять полученные знания при решении «нетипичных», нестандартных задач.

Задачи курса:

- дополнить знания учащихся теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи;

- расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения планиметрических задач;

-- помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

- развить интерес и положительную мотивацию изучения геометрии.

Структура курса представляет собой пять логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников. Все занятия направлены на расширение и углубление базового курса. Содержание курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня подготовленности учеников.

Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируются различные формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть - дома самостоятельно. Изучение данного курса заканчивается проведением либо итоговой контрольной работы, либо теста.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

- уверенно решать задачи на вычисление, доказательство и построение;

- применять аппарат алгебры к решению геометрических задач;

- применять свойства геометрических преобразований к решению задач.

Основная часть.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

1 час в неделю, всего 34 часов.

1. Четырёхугольники (10 часов)

Метрические соотношения в четырёхугольнике.

Свойство произвольного четырёхугольника, связанное с параллелограммом.

Свойство биссектрисы параллелограмма и трапеции.

Свойства трапеции.

Теоремы о площадях четырёхугольников.

2. Треугольники (8 часов)

Метрические соотношения в произвольном треугольнике.

Свойства медиан, биссектрис, высот.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

Свойства проекций катетов.

3. Окружности (6 часов)

Метрические соотношение между длинами хорд, отрезками касательных и секущих.

Свойства дуг и хорд.

Свойства вписанных углов.

Углы между хордами, касательными и секущими.

4. Окружности и треугольники (5 часов)

Окружности, вписанные и описанные около треугольников.

Окружности, вписанные и описанные около прямоугольных треугольников.

5. Окружности и четырёхугольники (5 часов)

Четырёхугольники, вписанные и описанные около окружности.

Площади четырёхугольников, вписанных и описанных около окружностей.

Теорема Птолемея.

КАЛЕНДАРНО ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Заключение.

Основное содержание курса соответствует современным тенденциям развития школьного курса геометрии, идеям дифференциации, углубления и расширения знаний учащихся. Данный курс дает учащимся возможность познакомиться с нестандартными способами решения планиметрических задач, способствует формированию и развитию таких качеств, как интеллектуальная восприимчивость и способность к усвоению новой информации, гибкость и независимость логического мышления. Поможет учащимся в подготовке к итоговой аттестации, а также при выборе ими будущей профессии, связанной с математикой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2008. – 384 с.

2. Геометрия. Решаем задачи по планиметрии. Практикум: элективный курс / авт.-сост. Л.С.Сагателова. – Волгоград: Учитель, 2009. – 150 с.

3. Сборник задач по геометрии для 6-8 классов. Пособие для учителей. Изд. 2, переработ. И доп. М., «Просвещение», 1971.

4. Геометрия. Планиметрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ / Под ред. И.В.Ященко и А.В. Семёнова. – М.: МЦНМО, 2009. – 256 с. – (Готовимся к ЕГЭ).

5. Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9. Учимся решать задачи: учебное пособие / Б.И.Вольфсон, Л.И. Резницкий. – Ростов н/Д: Легион-М, 2011. – 224с. – (Готовимся к ЕГЭ).

Приложение 1.

ПРЯМОУГОЛНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.

1. Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны 9 и 16. Найти радиус вписанной окружности.

2. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены медиана и высота, расстояние между их основаниями равно 1. Найдите площадь треугольника, если известно, что один из катетов в два раза больше другого.

3. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны 2 и 5 соответственно. Найдите его площадь.

4. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота BD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD, равны соответственно 3 и 4. найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

5. высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит биссектрису острого угла в отношении 4 : 5, считая от вершины. Найти величину этого угла.

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 20. Из середины гипотенузы восстановлен перпендикуляр до пересечения с большим катетом. Длина перпендикуляра 15. Найдите катеты, в ответе укажите меньший из них.

7. Один катет прямоугольного треугольника равен 5, а проекция другого катета на гипотенузу равна 2,25. Найдите гипотенузу этого треугольника.

8. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности его катетов. Найдите отношение большего катета к меньшему.

9. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти два треугольника, равны 1 и 2. Найдите радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.

10.На гипотенузе прямоугольного треугольника взята точка А – такая, что гипотенуза делится ею на отрезки с длинами 30 и 40. Найдите длины катетов, если расстояния от точки А до катетов равны.

11.В треугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса AD. Найдите площадь треугольника ABC, если CD = 4, BD = 5.

12. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CD. Найдите гипотенузу AB, если CD = AD – BD = √5.

ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ.

1. Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы к боковым сторонам взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

2. Длины двух сторон треугольника 6 и 8. Медианы, проведённые к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите длину третьей стороны.)

3. В треугольнике с длинами сторон 5, 6, 10 к меньшей стороне проведены медиана и биссектриса. Найдите расстояние между точками пересечения медианы и биссектрисы с меньшей стороной.

4. Дан треугольник ABC. Его высота BD равна 30. Из основания E биссектрисы AE опущен перпендикуляр EF на сторону AC. Определите длину этого перпендикуляра, если AB : AC = 7 : 8.

5. В треугольнике длины двух сторон равны 6 и 3. Найдите длину третьей стороны, если полусумма высот, проведённых к данным сторонам, равна третьей высоте.

6. В треугольнике ABC AC = 4, AB = 5, AD - биссектриса, причём AD = BD. Найдите длину биссектрисы AD.

7. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC высоты BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M, при этом BM = 10, B₁M = 6. Найдите площадь треугольника ABM.

8. Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 20, BC = 2√97, медиана BM = 12.

9. В треугольнике ABC AB = 12, BC = 21, AC = 20. Найдите площадь треугольника, образованного стороной AC, медианой BM и биссектрисой CK данного треугольника.

10. В треугольнике ABC AB = 5, BC = 10, AC = 3√5. Найдите площадь треугольника, образованного высотой AH, медианой AM и биссектрисой BK данного треугольника.

11. В треугольнике ABC AB = 7, BC = 9, AC = 8. найдите площадь треугольника, образованного высотой и медианой треугольника ABC, проведённых из вершины B.

12. Найдите биссектрисы острых углов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 6 и 8.

13. Найдите длину биссектрисы A треугольника ABC, длины сторон которого равны: AB = 12, AC = 15, BC = 18.

14. Найдите площадь треугольника, если длины двух его сторон равны 1 и √13, а медиана к третьей стороне равна 2.

15. В треугольнике длины двух сторон равны 35 и 14, а биссектриса, лежащая между ними, равна 12. Найдите площадь треугольника.

16. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны √52 и √73. Найдите длину гипотенузы.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. РОМБ.

1. В четырёхугольнике ABCD, AC |_ BD, AC = 12, BD = 16. Найти расстояние между серединами сторон AB и CD.

2. Длины диагоналей параллелограмма равны 17 и 19. Длина одной из сторон равна 10. Найти длину другой стороны.

3. Длины диагоналей ромба относятся как 3 : 4. Во сколько раз сторона ромба превосходит радиус вписанной в него окружности?

4. Дан ромб ABCD с острым углом B. Площадь ромба равна 320, а синус угла B равен 0,8. Высота CH пересекает диагональ BD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

5. В параллелограмме ABCD C = 120⁰. Биссектрисы углов B и C пересекаются в точке K, лежащей на стороне AD; CK = 3. Найдите площадь параллелограмма.

6. Найдите площадь ромба, высота которого 4,8, а отношение диагоналей 3 : 4.

7. В параллелограмме ABCD биссектриса угла B пересекает сторону CD в точке T и прямую AD в точке M. Найдите периметр треугольника CBT, если AB = 21, BM = 35, MD = 9.

8. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BK = KC = 5, AK = 8.

9. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, BD = 26, AC = 40, BC = 21. Отрезок OE – перпендикуляр к стороне BC. Найдите разность площадей четырёхугольников DCEO и ABEO.

10. В четырёхугольнике ABCD AD = BC, AB = 5, CD = 4, сумма углов при вершинах A и B равна 60⁰. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

11. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD расположены точки E и F так, что BE = 2EC; CF = 3FD. Диагональ BD пересекает отрезки AE и AF в точках P и Q. Найдите отношение площади треугольника APQ к площади параллелограмма.

12. Из вершины D ромба ABCD опущен перпендикуляр DE на сторону BC. Найти длину стороны ромба, если AC = 2√6, AE = √14.

13. Внутри параллелограмма ABCD расположена точка O так, что треугольник COD является равносторонним. Найдите периметр параллелограмма, если расстояние от точки O до прямых AD, AB и BC равно соответственно 3,6 и 5.

14. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E, а биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке F. Найдите площадь параллелограмма, если BC =3AB, а площадь четырёхугольника, образованного пересечением прямых AE, CF, BF и DE, равна 4.

15. В прямоугольнике ABCD AB = 5, AD = 4. На стороне AB взята точка E, такая, что CED = AED. Найдите длину AE.

16. Площадь ромба равна 600, а отношение длин диагоналей равно 4 : 3. Найдите высоту ромба.

ТРАПЕЦИЯ.

1. Боковые стороны равнобедренной трапеции при продолжении пересекаются под прямым углом. Найдите длину большего основания трапеции, если её площадь равна 12, а высота 2.

2. Средняя линия трапеции разбивает её на две трапеции, площади которых относятся как 1 : 2. Чему равно отношение меньшего основания трапеции к большему?

3. В трапеции большее основание равно 25, одна из боковых сторон равна 15. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и нижним основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

Основания трапеции равны 10 и 31, боковые стороны – 20 и 13. Найдите высоту трапеции.

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 17 и 15, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

5. Диагонали трапеции CEKM (EK и CM – основания) пересекаются в точке O. Площадь ∆ COE равна 16, CO = 2OK. Найдите площадь трапеции.

6. В трапеции ABCD B + C = 90⁰; AB = 6; AD = 5; CD = 8. Найдите площадь трапеции.

7. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 8 и 15. Найдите среднюю линию трапеции.

8. Диагонали AC и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, площади треугольников AOB и AOD равны соответственно 12 и 8, AO : OC = 4 : 5.Найдите площадь четырёхугольника.

9. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 8. Найдите площадь трапеции.

10. Основания AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 10, AD = 3, BC = 7. Биссектрисы углов A и D пересекаются в точке K, биссектрисы B и C – в точке M. Найдите KM.

11. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O, основание AD трапеции равно 2, BC = 3, S_AOB = 6. Найдите S _ABCD.

12. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её высота равна 3, а тангенс угла между диагональю и основанием равен ¼.

13. В трапеции ABCD длины диагоналей AC и BD равны 3 и 5, а длина отрезка KL, соединяющего середины оснований BC и AD, равна 2. Найдите площадь трапеции ABCD.

14. Длина диагонали равнобедренной трапеции равна 5, а её площадь равна 12. Найдите высоту трапеции.

15. Длины оснований трапеции равны 10 и 24, длины её боковых сторон 13 и 15. Найдите площадь трапеции.

16. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что средняя линия делится диагоналями на 3 равные части.

17. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, средняя линия равна 13. Одна из диагоналей равна 10. Найдите другую диагональ.

18. Боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а содержащие их прямые взаимно перпендикулярны. Площадь равна 144. Найдите среднюю линию трапеции.

19. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, одно из оснований равно 17, а площадь равна 81. Найдите второе основание трапеции.

20. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, а отрезок, соединяющий середину меньшего основания и середину боковой стороны, равен 5. Найдите площадь трапеции.

21. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ, равная 5, образует с основанием угол, синус которого равен 0,6.

ОКРУЖНОСТЬ. СВОЙСТВА КАСАТЕЛЬНЫХ, ХОРД И СЕКУЩИХ.

1. Радиус окружности равен √5. Определите длину хорды, проведённую из конца данного диаметра через середину перпендикулярного ему радиуса.

2. Из данной точки вне окружности проведены касательная и секущая, внутренняя часть которой стягивает дугу в 120⁰. Определите длину секущей, если радиус окружности равен 4√3, а длина касательной от данной точки до точки касания равна 8.

3. Окружность с центром O касается сторон угла B в точках A и C. Лучи AO и BC пересекаются в точкеM, OM = 9, BM = 18. Найдите площадь ∆ BOM.

4. Окружность с центром Oкасается сторон угла B в точках A и C. Отрезок BO пересекает окружность в точке K. Найдите периметр AKCO, если B = 60⁰, BK = 12.

5. Из точки B к окружности проведены касательные BP и BQ (P и Q – точки касания ). Найти длину хорды PQ, если длина отрезка PB = 40, а расстояние от центра окружности до хорды PQ равно 18.

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК.

1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, касается сторон AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите KM, если AK = 6, KB = 12.

2. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2, радиус описанной окружности – 5. Найдите больший катет треугольника.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках A и P, AP = 12. Найдите периметр треугольника.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный ∆ABC, если высота BH равна 12 и известно, что sin A = 12/13; sin C = 4/5.

5. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит каждую сторону на отрезки 8 и 6, считая, от вершин к окружности проведены три касательные, параллельные каждой из сторон треугольника. Найдите длины отрезков касательных, заключённых между сторонами треугольника. Запишите их сумму.

6. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC (C = 90⁰), касается катета BC в точке H. Биссектриса угла A пересекает катет BC в точке M. Найдите HM, если CH = 4, BH = 12.

7. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, и катета делит этот катет на отрезки длиной 3 и 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА.

1. Около равнобедренного треугольника ABC с AC основанием и углом при основании 75⁰ описана окружность с центром O. Найдите её радиус, если площадь ∆ BOC равна 16.

2. Около ∆ ABC описана окружность. Медиана AM проведена до пересечения с окружностью в точке K. Найти AC, если AM = 18, MK = 8, BK = 10.

3. Около тупоугольного равнобедренного треугольника описана окружность радиусом 25. Расстояние от её центра до основания треугольника равно 7. Найдите расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника.

4. Основание равнобедренного остроугольного треугольника 48, а радиус описанной около него окружности 25. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.

5. В ∆ ABC C = 60⁰, AB = 8 . На основании AB как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках K и M соответственно. Найдите KM.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТЬ.

1. Диагонали четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке M, AM = 4, CM = 9, BM = DM, AMB = 30⁰. Найдите площадь четырёхугольника.

2. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1 : 2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

3. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает большую диагональ ромба AC в точке E. Найдите CE, если AB = 8√5, BD = 16.

4. Определите сторону ромба, если окружность, проведённая через вершины обоих его тупых углов и одного из острых углов, делит большую диагональ на части 1, 4 и 5.

5. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. На дуге AC взята произвольная точка M. Длины отрезков MA и MB соответственно равны 2 и 10. Найдите длину MC.

6. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, длины сторон которого относятся как 3 : 4 : 5 : 6. Найдите отношение длин его диагоналей.

7. Площадь круга, вписанного в трапецию, равна 9π, а сумма боковых сторон трапеции равна 20. Найдите площадь трапеции.

8. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Расстояния от центра окружности до концов боковой стороны трапеции равны 6 и 8. Найдите площадь трапеции.

9. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 32, острый угол при основании трапеции равен 30⁰. Найдите длину боковой стороны трапеции.

10. Трапеция вписана в окружность радиуса 5, большее основание трапеции является диаметром окружности. Найдите площадь трапеции, если косинус угла при основании равен 1/√10.

11. Большее основание трапеции является диаметром описанной окружности. Определите радиус окружности, если средняя линия трапеции равна 8, а её площадь равна 32.

12. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если её большее основание AD = 15, синус угла BAC равен 1/3, синус угла ABD равен 5/9.

13. Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция, меньшее основание которой 8. Найдите площадь трапеции.

14. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна √13, а основания равны 3 и 4. Найдите длину диагонали трапеции.

15. Около окружности радиусом 1 описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются точки касания окружности и трапеции.

16. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6, большее равно 12, угол при основании равен 60⁰. Найдите радиус описанной окружности.

17. В равнобедренной трапеции длины оснований равны 21 и 9, высота равна 8. Найдите радиус описанной окружности.

18. Около трапеции описана окружность, центр которой лежит внутри трапеции. Высота трапеции равна 27, а длины оснований равны 48 и 30. Найдите радиус окружности.