Функциональные и степенные ряды

Занятие 73. Тема «Функциональные и степенные ряды»

План лекции:

1. Понятие функциональных рядов

2. Понятие степенных рядов

3. Интервал сходимости степенных рядов

Понятие функциональных рядов

Возьмем

Понятие степенных рядов

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа   называются коэффициентами ряда, а член  - общим членом ряда.

Простейший пример:

Интервал сходимости степенных рядов

Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале  . Иными словами, если мы выбираем  любое значение «икс» из интервала   и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал   и называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости: 

Радиус сходимости   найдем, используя признак Даламбера:

( не зависит от ),

,

т.е. если степенной ряд сходится при любых  , удовлетворяющих данному условию и расходится при  .

Отсюда следует, что если существует предел

,

то радиус сходимости ряда равен этому пределу и степенной ряд сходится при  , т.е. в промежутке  , который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если  , то степенной ряд сходится в единственной точке  .

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при   и   исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости

Упражнения.

Найти область сходимости ряда: ;

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда:

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

, ,

.

Ряд абсолютно сходится, если   или  . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При  имеем ряд  , который сходится по признаку Лейбница.

При   имеем ряд - это тоже сходящийся Лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок .

Самостоятельная работа для студентов

1. Переписать конспект лекции

2. Пользуясь этим и теоретическим материалом учебника П.Е. Данко «Высшая математика в упражнениях и задачах» часть 2 глава III §3 стр.81 решить из учебника №369, №370, №373 (найти интервал сходимости)

Выполненное задание отправить в виде фото на адрес в контакте https://vk.com/id52519522.