Функция y=ax², её свойства и график

Тема: Функция y= , её свойства и график.

Цель урока: Изучение свойств квадратичной функции вида y= и построение её графика. Формирование умения анализировать графики функций и находить характерные точки параболы. Развитие познавательного интереса учащихся к изучению алгебры.

Тип урока: Урок изучения нового материала

Время: 40 мин

Ход урока:

I. Организационный этап (2 минуты)

Приветствие учеников, проверка готовности класса к занятию, объявление темы урока и постановка целей занятия.

II. Актуализация опорных знаний (8 минут)

• Что такое функция?

• Как называется аргумент функции?

• Какие функции мы изучали ранее?

• Чем отличается линейная функция от нелинейной?

III. Объяснение нового материала (15 минут)

1. Определение функции y= (слайд 1-2)

Ребята, сегодня мы приступаем к изучению одной важной функции, которую часто будем встречать в математике. Эта функция записывается вот таким выражением:

y=

Давайте разберёмся подробнее, что оно значит.

Итак, рассмотрим внимательно выражение y= . Здесь:

Буква x обозначает переменную величину, которую мы называем аргументом функции.

Коэффициент a показывает степень влияния квадрата числа x на значение y.

Другими словами, эта формула описывает зависимость величины y от квадрата аргумента x, умноженного на число a. Такое соотношение характерно именно для квадратных функций второго порядка.

Обратите внимание, что знак коэффициента a влияет на форму графика нашей функции. Мы увидим это позже, когда начнём строить графики. Сейчас важно запомнить главное правило: такая функция носит название квадратичной, потому что включает в себя операцию возведения в квадрат.

Запишите себе в тетради следующее определение:

Квадратичная функция вида y= — это функция, зависящая от квадрата аргумента x, умноженного на постоянный коэффициент a.

Это наша отправная точка, и теперь мы можем переходить к свойствам и особенностям этой функции.

2. Свойства функции y= (слайд 3)

Теперь давайте поговорим о важных характеристиках функции y= . Они помогают нам быстро понимать поведение графика и решать задачи.

Вот какие основные свойства выделяют:

1. Область определения: функция определена абсолютно для всех действительных чисел. Это значит, что в качестве аргумента x можно подставлять любое число из множества R. Таким образом, область определения выглядит следующим образом:

D(y)=(−∞;+∞)

1. Область значений: это зависит от знака коэффициента a. Когда a0, наименьшим значением функции будет 0, а далее она возрастает неограниченно. Значит, область значений:

E(y)=[0;+∞)

А если a, функция принимает максимальное значение равное нулю и стремится к минус бесконечности, следовательно, область значений меняется на противоположную:

E(y)=(−∞;0]

Вершина параболы: у функции y= вершиной служит начало координат, точка (0;0). Именно отсюда начинается движение графика.

1. Направленность ветвей:

Если a0, ветви параболы смотрят вверх, а сама функция достигает минимума в вершине.

Если же a, ветви направляются вниз, и функция приобретает своё наибольшее значение в вершине.

Эти свойства крайне важны, поскольку позволяют мгновенно понять характер поведения функции и легко ориентироваться в её графике.

Учитель демонстрирует соответствующие рисунки и схемы на доске, иллюстрируя каждый пункт изложенных свойств.

3. График функции y= (слайд 4)

Показать учащимся процесс построения графика функции y= (случай a=1). Затем продемонстрировать влияние изменения коэффициента a на форму параболы, сравнивая графики функций y=2 , y= − x2.

IV. Первичное закрепление (8 минут)

Самостоятельно построить графики функций y=3 , y= − . Проверить правильность построения, обсудить возможные трудности.

V. Закрепление материала (5 минут)

№ 91

VI. Домашнее задание (2 минуты)

• Постройте графики функций y=4 , y= − .

• Определите область значений каждой функции.

VII. Итог урока (1 минута)

Сегодня мы познакомились с функцией y= , узнали её важнейшие характеристики и научились строить её график. Надеюсь, вы поняли, почему эта функция играет такую важную роль в математике и физике.

Мы выяснили, что коэффициент a существенно влияет на внешний вид графика — меняет его ширину и направление ветвления. Теперь вы можете уверенно говорить о свойствах параболы и отличать разные типы функций друг от друга.