Функции и их графики

Функции и их графики

Область определения и область значения функции

Область определения функции f

обозначается D(f) .

Если функция f задана формулой у = f(х) , а ее область определения не указана, то считается, что она состоит из тех значений х , при которых выражение имеет смысл.

Множество значений функции f

обозначается Е(f) .

f(x) = x 2 : D(f) = R, Е(f) = [0; + ∞);

f(x) = : D(f) = (- ∞; 0) (0; + ∞),

Е(f) = (- ∞; 0) (0; + ∞).

1

x

График функции у = -f(x)

График функции у = -f(x) может быть получен из графика функции у = f(x) симметричным отображением относительно оси Ох .

у

у = f(x)

f(a)

М(а; f(a))

1

О 1 а х

М 1 (а; -f(a))

-f(a)

у = -f(x)

График функции у = -f(x)

у

1

0

О 1 2 3 4 5 6 х

-1

График функции у = f(-x)

График функции у = f(-x) может быть получен из графика функции у = f(x) симметричным отображением относительно оси Оу .

у = f(x)

у = f(-x)

у

М(а; f(a))

М 1 (-а; f(a))

f(a)

1

О 1 х

-а

а

График функции у = f(-x)

у

1

О 1 х

0 ; вниз при t ). у у = f(x) + t, t 0 f(a)+|t| у = f(x) М 1 (а; f(a)+|t|) O 1 х f(a) у = f(x) + t, t М(а; f(a)) f(a)-|t| М 2 (а; f(a)-|t|) " width="640"

График функции у = f(x) + t

График функции у = f(x) + t может быть получен сдвигом графика функции у = f(x) вдоль оси Оу на расстояние | t | (вверх при t 0 ; вниз при t ).

у

у = f(x) + t,

t 0

f(a)+|t|

у = f(x)

М 1 (а; f(a)+|t|)

O

1 х

f(a)

у = f(x) + t,

t

М(а; f(a))

f(a)-|t|

М 2 (а; f(a)-|t|)

График функции у = f(x) + t

у

2

1

О 1 х

-2

0 ; влево при s ). f(x - s) , s 0 f(x) f(x - s) , s y - - 1 - - f(a) | | | | | | | | | -3 a о a о + |s| O 1 3 x a о -|s| " width="640"

График функции у = f(x - s)

График функции у = f(x - s) может быть получен сдвигом графика функции у = f(x) вдоль оси Оx на | s | единиц (вправо при s 0 ; влево при s ).

f(x - s) ,

s 0

f(x)

f(x - s) ,

s

y

-

- 1

-

-

f(a)

| | | | | | | | |

-3 a о a о + |s| O 1 3 x

a о -|s|

График функции у = f(x - s)

у

у

1

1

О 1 х

-2

О 1 2 х

1 ; сжатие вдоль оси Оу в раз при 0 . растяжение вдоль оси Оу в k раз при k 1 ; сжатие вдоль оси Оу в раз при 0 . 1 k " width="640"

Растяжение и сжатие графика функции вдоль Оу

Умножить ординату каждой точки графика функции у = f(x) на число k - значит выполнить

• растяжение вдоль оси Оу в k раз при k 1 ; сжатие вдоль оси Оу в раз при 0 .
• растяжение вдоль оси Оу в k раз при k 1 ;
• сжатие вдоль оси Оу в раз при 0 .

1

k

1 или сжатием вдоль оси Оу в раз при 0 1 k у у 0 k 1 у = f(x) у = kf(x) f(a) у = f(x) М(а; f(a)) kf(a) М 1 (а; kf(a)) 1 1 a О 1 х О 1 а х f(a) у = kf(x) kf(a) " width="640"

График функции у = kf(x)

График функции у = kf(x) может быть получен из графика функции у = f(x) растяжением вдоль оси Оу в k раз при k 1 или сжатием вдоль оси Оу в раз при 0

1

k

у

у

0

k 1

у = f(x)

у = kf(x)

f(a)

у = f(x)

М(а; f(a))

kf(a)

М 1 (а; kf(a))

1

1

a

О 1 х

О 1 а х

f(a)

у = kf(x)

kf(a)

График функции у = kf(x)

у

у

1

1

О 1 2 х

О 1 2 х

1 ; сжатие вдоль оси Ох в раз при 0 . растяжение вдоль оси Ох в т раз при т 1 ; сжатие вдоль оси Ох в раз при 0 . 1 т " width="640"

Растяжение и сжатие графика функции вдоль Ох

Умножить абсциссу каждой точки графика функции у = f(x) на число т - значит выполнить

• растяжение вдоль оси Ох в т раз при т 1 ; сжатие вдоль оси Ох в раз при 0 .
• растяжение вдоль оси Ох в т раз при т 1 ;
• сжатие вдоль оси Ох в раз при 0 .

1

т

1 или сжатием вдоль оси Ох в раз при 0 1 т у у k 1 0 х т у = f( ) у = f(x) у = f(x) х т у = f( ) а т а т 1 1 а а О 1 х О 1 х f(a) М (а; f(a)) а М 1 (а; f( )) т f(a) М (а; f(a)) М 1 (а; f( )) " width="640"

График функции у = f( )

х

т

х

т

График функции у = f( ) может быть получен из графика функции у = f(x) растяжением вдоль оси Ох в т раз при т 1 или сжатием вдоль оси Ох в раз при 0

1

т

у

у

k 1

0

х

т

у = f( )

у = f(x)

у = f(x)

х

т

у = f( )

а

т

а

т

1

1

а

а

О 1 х

О 1 х

f(a)

М (а; f(a))

а

М 1 (а; f( ))

т

f(a)

М (а; f(a))

М 1 (а; f( ))

1 k = 3 0 k = 1/3 1 1 О 1 х О 1 х -6 -2 -2 " width="640"

График функции у = f( )

х

т

у

у

k 1

k = 3

0

k = 1/3

1

1

О 1 х

О 1 х

-6

-2

-2

График функции у = |f(x)|

Чтобы изобразить график функции у = |f(x)| , можно части графика функции у = f(x) лежащие выше оси абсцисс или на ней, оставить без изменения, а части, лежащие ниже оси абсцисс, отобразить симметрично относительно этой оси.

у

y = |f(x)|

О х

y = f(x)

y = 3x - 2

График функции у = |f(x)|

у

у

у

y = |3x – 2|

1

1

О 1 х

О 1 х

О 1 х

-1

2

y = |3x – 2| -1

y = ||3x – 2| -1|

График функции у = f(|x|)

Чтобы изобразить график функции у = f(|x|) , можно части графика функции у = f(x) c неотрицательными абсциссами оставить без изменения, часть графика функции у = f(|x|) c отрицательными абсциссами получить из первой части симметричным отображением относительно оси Оу .

у

y = |f(x)|

О х

y = f(x)

y = 3x - 2

График функции у = f(|x|)

Часть графика функции у = f(x) с отрицательными абсциссами при изображении графика у = f(|x|) не используются.

у

1

y = 3|x| – 2

О 1 х

2