Дифференцирование функции, нахождение производной
Таблица дифференцирования функции
Пояснения таблицы
Если вам нужно решить задачу, в рамках которой требуется вычислить производную какой-либо функции с одной переменной, советуем внимательно прочесть эту статью. Здесь приводятся общие положения теории дифференцирования, имеющие отношение к вычислению производной. Для этого могут быть использованы разные способы, ведь исходная функция может быть задана явно или неявно, в параметрическом виде, быть элементарной, основной или сложной, значит, в каждой ситуации бывает нужен свой подход.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Таблица дифференцирования функции
Мы собрали всю информацию, которую нужно знать для правильного дифференцирования функции, и представили ее в табличном виде:
Константа
y
=
C
(
C
)
'
=
0
Степенная фунция
y
=
x
p
(
x
p
)
'
=
p
⋅
x
p
−
1
Показательная фунция
y
=
a
x
(
a
x
)
'
=
a
x
⋅
ln
a
В частности, при
a
=
e
имеем
y
=
e
x
(
e
x
)
'
=
e
x
Правила дифференцирования
(
С
⋅
f
(
x
)
)
'
=
C
⋅
f
'
(
x
)
,
C
∈
R
(
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
'
=
f
'
(
x
)
±
g
'
(
x
)
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
'
=
f
'
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
'
(
x
)
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
'
(
x
)
⋅
g
(
x
)
−
f
(
x
)
⋅
g
'
(
x
)
g
2
(
x
)
Логарифмическая функция
(
log
a
x
)
'
=
1
x
⋅
ln
a
В частности, при
a
=
e
имеем
y
=
ln
x
(
ln
x
)
'
=
1
x
Тригонометрические функции
(
sin
x
)
'
=
cos
x
(
cos
x
)
'
=
−
sin
x
(
t
g
x
)
'
=
1
cos
2
x
(
c
t
g
x
)
'
=
−
1
sin
2
x
Производная сложной функции
(
f
(
g
(
x
)
)
)
'
=
f
'
(
g
(
x
)
)
⋅
g
'
(
x
)
Производная неявно заданной функции
F
(
x
,
y
)
=
0
⇒
y
'
x
=
−
F
'
x
(
x
,
y
)
F
'
y
(
x
,
y
)
Производная обратной функции
g
'
y
(
y
)
=
1
f
'
x
(
x
)
,
f
'
x
(
x
)
=
1
g
'
y
(
y
)
Обратные тригонометрические функции
(
a
r
c
sin
x
)
'
=
1
√
1
−
x
2
(
a
r
c
cos
x
)
'
=
−
1
√
1
−
x
2
(
a
r
c
t
g
x
)
'
=
1
1
+
x
2
(
a
r
c
c
t
g
x
)
'
=
−
1
1
+
x
2
Гиперболические функции
(
s
h
x
)
'
=
c
h
x
(
c
h
x
)
'
=
s
h
x
(
t
h
x
)
'
=
1
c
h
2
x
(
c
t
h
x
)
'
=
−
1
s
h
2
x
Производная параметрически заданной функции
x
=
φ
(
t
)
,
y
=
ψ
(
t
)
,
t
∈
(
a
;
b
)
y
x
'
=
ψ
'
(
t
)
φ
'
(
t
)
y
x
''
=
ψ
''
(
t
)
⋅
φ
'
(
t
)
−
ψ
'
(
t
)
⋅
φ
''
(
t
)
(
φ
'
(
t
)
)
3
Логарифмическая производная
y
=
f
(
x
)
y
'
=
y
⋅
(
ln
(
f
(
x
)
)
)
'
Пояснения таблицы
Содержимое таблицы требует небольших пояснений. Например, в наиболее простом случае для дифференцирования нам пригодится определение производной, т.е. вычисление соответствующего предела. Это действие носит название непосредственного дифференцирования.
Если вам приходится работать с основной элементарной функцией, то следует использовать таблицу основных производных. В ней приводятся все готовые значения, доказанные на основании определения. Это очень удобно, и мы советуем вам держать такую таблицу под рукой.
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными
Узнать стоимость
Если надо вычислить производную суммы функций или их разности, произведения и дробного выражения с функцией, то нужно воспользоваться правилами дифференцирования. Они пригодятся при решении большинства задач. Таблица производных, основные правила дифференцирования и формула нахождения производной сложной функции позволят вам выполнить дифференцирование любой элементарной функции при условии, что она задана в явном виде
y
=
f
(
x
)
.
В случае, когда нужно найти производную показательно степенной функции
y
=
(
f
(
x
)
)
g
(
x
)
, удобно пользоваться формулой логарифмической производной. Также она полезна при нахождении производных тогда, когда исходное выражение представляет из себя большую и громоздкую дробь.
Работу с функциями, заданными параметрически, т.е. в виде
x
=
φ
(
t
)
,
y
=
ψ
(
t
)
,
t
∈
(
a
;
b
)
, мы подробно разобрали в отдельной статье.
Если функция задана неявно в виде
F
(
x
;
y
)
=
0
, то тут возможны несколько методов нахождения производной. Можно провести вычисления, основываясь на понятии частных производных. Еще один вариант – вычислить производные обеих частей равенства, приняв y как функцию от x, после чего разрешить полученное уравнение относительно производной.
1 100
63 261 
