"Фигурные числа"

В мире нет места

для некрасивой математики.

Г. Харди

(Линейное число 5)

(плоское число 6)

(телесное число 8)

• Цель: знакомство с основными теоретико-числовыми доказатель-ствами фигурных чисел.

• Задачи:

- изучить историю происхождения фи-гурных чисел;

- рассмотреть виды фигурных чисел;

- рассмотреть плоские и простран-ственные фигурные числа.

• Методы исследования:

- обработка и анализ научных источников;

- анализ научной литературы и пособий по исследуемой проблеме.

Пифагор Самосский (родился около 570 г. до н. э. и прожил около 100 лет).

Бонавентура Кавальери (1598 - 1647 гг.)

1. Для любого натурального числа n сумма первых n нечётных чисел равняется квад-ратному числу n ∙ n : 1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1 ) = n 2

Доказательство .

а) Проверим при n = 1, 2 ∙ 1 – 1 = 1²; 1 = 1.

б) Предположим, что это верно при n = k ,

1 + 3 + 5 + … + (2 k - 1) = k ²

в ) Докажем, что это верно и при n = k + 1.

1 + 3 + 5 + … + (2 k - 1) + (2 ∙ ( k + 1) - 1) = ( k +1)² ;

k² + 2 k + 2 – 1 = k² + 2 k +1 = ( k + 1)², и т . д .

1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 . . .

T n = 1 + 2 + 3 + ... + n

T n = 1 + 2 + 3 + … + ( n - 2) + ( n - 1) + n ,

T n = n + ( n - 1) + ( n - 2) + … + 3 + 2 + 1

------------------------------------------------------------------

2 T n = n ( n + 1),

1

откуда T n = --- n (n + 1) .

2

Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855 гг.)

( a 1 + a n ) S n = --------------------------- ∙ n 2

П n = 1 + 4 + 7 + 10 + … + (3 n - 2)

1 + (3 n - 2) 1 + 3 n - 2 3 n - 1 1

------------ ∙ n = --------------- ∙ n = ---------- ∙ n = ---- ∙ n (3 n - 1)

2 2 2 2

F n (k) = ( k - 2) ∙ Т n - ( n - 1) ( k - 3) - (k - 3) =

1

= ( k - 2) ∙ ---- n ( n + 1) - ( n - 1) ( k - 3) - (k - 3) =

2

1 1

= ( k - 2) ∙ --- n ( n + 1) - ( k - 3) ( n - 1 +1) = --- ( k - 2) ∙ n ( n + 1) - (k - 3) ∙ n =

2 2

1 1

= --- ∙ n [( k - 2) ∙ ( n + 1) - 2 ( k - 3)] = --- ∙ n [( k - 2) ∙ n + k - 2 - 2 k + 6] =

2 2

1

= ---- ∙ n [( k - 2) ∙ n + 4 - k ]

2

1

F n (k) = ---- ∙ n [( k - 2) ∙ n + 4 - k ] – общая формула

2

8Т + 1 = К

V 1 = S 1 ,

V 2 = S 1 + S 2 ,

V 3 = S 1 + S 2 +S 3 ,

V 4 = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 и т. д.