Элективный курс "Фигурные числа"

Методическая разработка элективного курса по теме «Фигурные числа» для учащихся 7-9 классов

Программа элективного курса

1. Пояснительная записка

Элективный курс «Фигурные числа» является предметно ориентированным и предназначен для расширения и углубления теоретических и практических знаний учащихся.

Актуальность курса. Современное общество находится в состоянии постоянного преобразования всех социальных институтов. Одним из приоритетных направлений является модернизация ведущих мировых образовательных систем.

Рабочая программа элективного курса «Фигурные числа» для 7-9 классов составлена на основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике.

Стратегическая цель образования начала XXI века – формирование «…человека с личностным суверенитетом, творческого, способного непрерывно самоопределяться не столько в рамках профессиональной деятельности, сколько в рамках общечеловеческих ценностей…». [1]

Наличие творческой составляющей личности стало сегодня необходимым как для профессионального успеха, так и для повседневной жизни каждого человека.

Человек, способный самостоятельно корректировать свою профессиональную и личную карьеру и адаптировать свою профессиональную и личную траекторию к постоянно меняющимся условиям, должен иметь систему фундаментальных и прикладных знаний, на основе которых возможна такая адаптация. [3]

Другими словами, невозможно снизить высокую планку «знаний», присущую системе домашнего и школьного образования второй половины ХХ века. На самом деле, по крайней мере, в области математики или других предметов в этом нет необходимости. Однако базовые разделы математики могут предоставить учителю материалы, которые лучше всего подходят для современных образовательных задач.

Один из таких разделов - теория чисел, уходит корнями в глубину истории человечества, опираясь на достижения великих ученых (Л. Эйлер, К. Ф. Гаусс и др.).

Идея числа - одна из основ математики и математического образования. В школьной математике на первый план выходят так называемые специальные числа (фигурные числа, числа Фибоначчи, числа Мерсенна, числа Ферма и т. д.). Особенности, которые отличают этот и другие числовые наборы позволяют успешно считать теорию специальных чисел значимой использоваться в качестве основы для новых курсов математики [3].

Приобретенные в процессе практической деятельности знания и умения помогут учащимся в формировании ключевых компетенций: готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач.

Данный курс не дублирует программы по математике, а лишь опирается на знания и умения, полученные учащимися, совершенствует их, восполняет возникшие проблемы в обучении, давая широкий простор для развития самостоятельности и творческой деятельности.

Элективный курс «Фигурные числа» предназначен для профильной подготовки школьников, для реализации в 7-9 классах с упором на выбор научного профиля, рассчитанного на 14 часов в 8 классе и 8 часов в 9 классе. С одной стороны, он поддерживает изучение базового курса алгебры, направлен на систематизацию знаний, реализацию предметно-внутренних связей, а с другой - служит для построения индивидуальной образовательной траектории. Курс развивает такие навыки и способности, как настойчивость и независимость мысли, способность обобщать и систематизировать, а также навыки решения проблем.

Курс посвящен фигурным числам. На практике мы часто сталкиваемся с числами не только в математике, но и в других сферах деятельности, а курс «Фигурные числа» углубляет знания учащихся, заглядывая в прошлое мира чисел. Этот курс имеет большой потенциал для развития, так как помогает сформировать внимательное отношение к истории и учит анализировать информацию. Многие математические теории часто кажутся искусственными и отделенными от реальной жизни. Если подойти к этим проблемам с точки зрения исторического и гуманитарного развития, становится очевидной их глубокая жизненная важность, их необходимость.

Курс состоит из теоретического материала, который включает в себя разные типы фигурных чисел и их историю происхождения, формулы и свойства, раскрывающие магию тайны фигурных чисел, примеры решения наиболее типовых задач, а также из заданий для самостоятельной работы.

Учитывая большую нагрузку на детей, в курсе отсутствуют комплексные доказательства теорем и задач, а материал программы представляет для учащихся познавательный интерес, что помогает им научить красоте математики. От учащихся не требуется запоминать все факты, имена, даты и т. д. Достаточно, если, изучая математику, они кратко ознакомятся с историей ее развития, вспомнят время, когда произошло то или иное открытие, и услышат имена выдающихся ученых. Такое расширение знаний будет только полезно, так как даст дополнительный импульс для стимулирования интереса к науке.

Темы курса выходят за рамки требуемых знаний, но в то же время тесно связаны с основными темами программного материала.

Цели этого курса:

1. Создание условий для повышения познавательного интереса и самореализации учащихся в процессе обучения.

2. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

1. Научить работать с математической литературой.

2. Расширить представления о богатстве и красоте мира чисел.

Требования к усвоению курса.

Обучающиеся должны уметь:

Использовать в своей работе различные источники образовательной информации и проявлять себя в самостоятельной деятельности, основанной на использовании исторического и литературно-гуманитарного материала.

Учащиеся должны знать: от 5 видов фигурных чисел.

Тематическое планирование

№	Тема	Количество часов
	8 класс	14
1	История возникновения фигурных чисел	2
2	Определение и формулы плоских фигурных чисел	4
3	Центрированные многоугольные числа	1
4	Некоторые свойства плоских фигурных чисел	4
5	Фигурные числа в задачах	2
6	Тестирование. Подведение итогов.	1
	9 класс	8
7	Определение пространственных фигурных чисел	2
8	Пирамидальные фигурные числа	2
9	Кубические числа	2
10	Фигурные числа вокруг нас. Подведение итогов курса	2

Содержание элективного курса

Из истории возникновения фигурных чисел

Цели: Открыть тайны мира фигурных чисел. Познакомить учеников с видами фигурных чисел, показать историю их возникновения.

На уроке математики, при изучении темы «Степени», можно узнать о существовании фигурных чисел. Возникает закономерный вопрос: «Почему числа называются фигурными? Может быть они просто красиво, «фигурно», изображаются? Или эти числа как-то связаны с какими – то фигурами?»

В одном из источников в сети Интернет существует высказывание Оскара Иоахима Беркера, немецкого философа, логика, математика, историка математики, жившего в 1889 – 1964 годах в Германии, который говорил: «У истоков греческой математики, вероятно, начиная еще с VI века до н. э., обнаруживается своеобразный способ рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический — полугеометрический.

Он состоит в использовании камешков одинаковой величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладывались фигуры.

Фигурные числа, так же как и большинство классов специальных чисел, имеют долгую и богатую историю. Это понятие было введено в пифагорейской школе (VI век до н. э.) в результате попытки связать геометрию с арифметикой.

Пифагорейцы, следуя своему кредо «всё является числом», представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскости.

Фигурное число — это число, которое можно представить правильной дискретной геометрической моделью из точек. Это может быть, скажем, многоугольное, многогранное или политопное число, если эти точки образуют правильный многоугольник, правильный многогранник или правильный политоп соответственно.

Фигурные числа могут также образовывать и другие формы, такие как центрированные многоугольники, L-образные, трёхмерные (и многомерные) тела и т. д.

В частности, многоугольные числа обобщают числа, которые можно представить в виде треугольника (треугольные числа) или квадрата (квадратные числа), вплоть до m-угольных для любого целого числа m.

Помимо классических многоугольных чисел, на плоскости можно построить центрированные многоугольные числа. Каждое центрированное многоугольное число образовано центральной точкой, окруженной многоугольными слоями с постоянным числом сторон. Каждая из сторон многоугольного слоя содержит на одну точку больше, чем любая строка предыдущего слоя.

В строительстве сооружений древности — пирамид, дворцов и храмов — применялись плиты и кирпичи, имеющие грани в виде треугольника, четырёхугольника, квадрата и некоторых других фигур. С этими же фигурами человек встречался при межевании и измерении земельных участков. Знакомясь с различными геометрическими фигурами, люди начали подмечать их общие свойства. Так постепенно складывалась геометрия — наука о геометрических фигурах. Геометрия достигла высокого развития в Древней Греции в школе Пифагора (VI–V вв. до н. э.).

Пифагор и его ученики развивали не только геометрию, но и арифметику, причём их учение о числах тесно переплеталось с учением о геометрических фигурах. Пифагорейцы составляли различные фигуры из камешков или костяшек, изображая числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры. Такое представление чисел облегчало пифагорейцам (ещё раньше — вавилонянам) изучать свойства чисел. Числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур, получили название фигурных.

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Никомах, Диофант Александрийский и другие.

Фигурные числа использовались еще в V - IV веках до н. э. древними греками, а вместе с ними Пифагором, который считал, что главная наука о числе - арифметика, неразрывно связана с геометрией и потому числа, соотносящиеся с правильными геометрическими фигурами, назывались фигурными, и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке.

По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было «увидеть». Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц.

Особое положение единицы как «числового атома», роднило ее с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения», т.е. пифагорейские числа в современной терминологии - это натуральные числа. Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались.

Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это - развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучении чертежей.

И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.

Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счёта на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами.

Даже в ХVII веке, когда была уже хорошо развита алгебра с обозначениями величин буквами, со знаками действий, многие считали её варварской наукой, пригодных для низменных целей – бытовых расчётов, вспомогательных вычислений, но никак не для благородных научных трудов.

Один из крупнейших математиков того времени Бонавентура Кавальери, пользовался алгеброй, ибо вычислять с её помощью проще, но для обоснования своих научных результатов все алгебраические выкладки заменял рассуждениями с геометрическими фигурами.

В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказано много важных и трудных теорем. В Новое время фигурными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал в 1670 году так называемую «золотую теорему»:

* Всякое натуральное число – либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;

* Всякое натуральное число – либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел;

* Всякое натуральное число – либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел; и т. д.

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.

В общем, фигурные числа - общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Определение и формулы плоских фигурных чисел

Цели: Рассмотреть виды фигурных чисел. Выявить формулы плоских фигурных чисел.

Фигурное число — это число, которое можно представить правильной дискретной геометрической моделью из точек.

К фигурным числам относят:

1) линейные числа

2) плоские числа

3) телесные числа.

Рассмотрим их более подробно.

1) Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...) (Рис.1)

Рис.1. Линейное число 5

2)Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...) (Рис.2)

Рис.2. Плоское число 6.

К плоским числам относятся:

а) треугольные числа

б) квадратные числа

в) пятиугольные числа

г) многоугольные числа.

Особенность плоских чисел, это то, что их можно разложить на два множителя, в отличие от линейных чисел.

Одинаковые шары можно укладывать на плоскости так, чтобы они образовывали различные фигуры – треугольники, квадраты, шестиугольники и т. д. Все плоские числа изображаются в виде правильных геометрических фигур. Пифагорейцы считали фигуру правильной, если на каждой его стороне лежит одинаковое число шаров и расстояние между ними должно быть одинаковым.

Треугольные числа:1,3,6,10,

Рассмотрим “упаковки” шаров в равносторонние треугольники. Пусть имеется один шар. Добавим к нему еще два, получится три шара, которые можно расположить так, что они образуют равносторонний треугольник, а вот 4 и 5 шаров расположить таким образом нельзя. Чтобы треугольник сохранился необходимо добавить еще три точки, затем четыре и т.д.

На рисунке 3 изображены первые четыре таких треугольников. Чтобы получить пятый треугольник, надо к четвертому пририсовать один ряд в пять шаров; чтобы получить шестой, надо к пятому пририсовать ряд в шесть шаров и т. д.

1 3 6 10

Рис. 3. Треугольные числа.

Числа, которые показывают, сколько шаров содержится в треугольниках, называют треугольными.

Здесь можно заметить и то, что стороны второго треугольника ровно в два раза больше сторон первого, стороны третьего треугольника в три раза больше сторон первого и т.д. Кстати, теперь понятно почему в бильярде шары выкладывают треугольником, во-первых он правильный и в нем ровно 15 шаров – пятое треугольное число.

Попробуем выявить формулу треугольного числа. Обратимся к рис.3.

Подсчитаем с помощью рисунка треугольные числа и составим таблицу:

№	1	2	3	4	5	6	7	8
Треугольное число	1	3	6	10

Продолжим заполнение таблицы дальше. Для этого можно использовать нарисованные нами треугольники. А можно ли продолжить дальше, не обращаясь к рисунку? Сделать это совсем просто, если понять правило, по которому каждое следующее треугольное число получается из предыдущего. Посмотрите на таблицу: третье треугольное число получается, если ко второму прибавить число 3, т. е. его номер; четвертое треугольное число получается добавлением к третьему числу 4 и т.д. На схеме показано, как последовательно вычислить треугольные числа.

№	1	2	3	4	5	6	7	8
Треугольное число	1	…	…	…	…	…	…	…

Проверьте, получились ли при этом те же самые числа, что и при подсчете шаров. Найдите этим же способом девятое и десятое треугольные числа.

А можно ли найти какое-нибудь треугольное число, не вычисляя всех предыдущих? Попробуем, например, найти иначе треугольное число под номером 10.

Обратимся опять к изображению треугольных чисел в виде равносторонних треугольников. Понятно, что десятое треугольное число изображается в виде треугольника с 10 рядами, в которых содержится 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 шаров. Поэтому десятое треугольное число равно сумме:

.

Для подсчета этой суммы запишем ее слагаемые в обратном порядке и расположим суммы одна под другой:

,

.

Сумма каждой пары чисел, расположенных друг под другом, равна 11. Всего таких сумм 10. Поэтому удвоенная сумма равна . Так как десятое треугольное число есть половина этой суммы, то оно равно . Точно также выводится общая формула для нахождения количества шаров в треугольных числах: =

Квадратные числа — (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 ,...,n²,...) выражаются произведением двух одинаковых чисел, т.е. являются полными квадратами. Пусть опять имеется один шар. Расположим четыре шара в виде квадрата. Увеличив стороны квадрата в 2 раза получим новый квадрат, где таких шаров уже будет 9, еще раз увеличив стороны первоначального квадрата получим квадрат с 16-ю точками и т.д.

Так, получаются числа натурального ряда, взятые во второй степени, отсюда и пошло понятие «возвести в квадрат». А числа стали называть квадратными: 4,9,16, 25 и т.д. (Рис. 4)

Рис.4 Квадратные числа.

Попробуем выявить формулу квадратного числа. Посмотрим на выложенные квадратики (рис.5).

1 4 9 16

Рис.5. Квадратные числа.

Первый из них – это один ряд из одного камушка: 1. Второй – это два ряда, каждый из двух камушков: . Третий – три ряда по три камушка: . Неспроста про числа говорят «два в квадрате», «три в квадрате». Следуя по аналогии можно сделать вывод, что квадратное число п-го порядка вычисляется по формуле: .

Пятиугольные числа: А теперь рассмотрим последовательность правильных пятиугольников. Подсчитывая количество точек в каждом из пятиугольников, получим последовательность пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22…

1 5 12 22

Рис.6. Пятиугольные числа.

Попробуем пойти дальше и найти формулу для нахождения пятиугольных чисел. Первым считаем, как и раньше, пятиугольник из 1-го камушка, во втором камней, в третьем − , в четвертом − и т.д. Посмотрите на рисунок 7.

Рис.7. Иллюстрация.

Во втором пятиугольнике 2 камня снизу и еще три раза по одному; в третьем − 3 камня снизу и еще 3 треугольника − 3 вторых по счету треугольных чисел. А в четвертом? 4 камня снизу и 3 третьих по счету треугольных чисел: . По этому правилу, не рисуя картинку, можно найти и пятое пятиугольное число: 5 камней будут снизу, и еще 3 четвертых по счету треугольных числа, т. е. .

Следовательно, общая формула имеет вид:

= .

Можно рассматривать и шестиугольные, и семиугольные числа, и вообще, числа, возникающие при складывании разнообразных многоугольников, с разными или с одинаковыми сторонами. Каковы они? Поэкспериментируйте, раскладывая по столу монетки или пуговицы. Обратите внимание: все эти числа выражаются через треугольные числа.

Центрированные многоугольные числа (или, как их иногда называют, многоугольные числа второго рода) образуют класс фигурных чисел, в которых последовательные многоугольники имеют общий центр. Каждое центрированное многоугольное число образуется центральной точкой, окружённой многоугольными слоями с постоянным числом сторон. В каждую сторону многоугольного слоя входит на одну точку больше, чем в любую сторону предыдущего; таким образом, начиная со второго слоя, каждый слой центрированного m – угольного числа содержит на m точек больше, чем предыдущий.

Так, центрированное треугольное число представляется треугольником с точкой в центре и последующими треугольными слоями точек, окружающими центр (рис.8).

Рис.8 Центрированное треугольное число

Первые несколько центрированных треугольных чисел:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, . . .

Аналогично выглядят центрированные квадратные, 5 – и 6 – угольные числа (см. рис.9).

Рис. 9. Центрированные квадратные, пятиугольные

и шестиугольные числа

Рассмотрим несколько первых центрированных квадратных чисел:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, . . .

Несколько первых центрированных пятиугольных чисел имеют вид:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, . ..

Выпишем несколько первых центрированных шестиугольных чисел:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, . . .

Следуя этой процедуре, можно построить центрированные семиугольные числа

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, . . .,

центрированные восьмиугольные числа

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, . . .,

центрированные девятиугольные числа

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, . . ,

центрированные 10 – угольные числа

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, . . . ,

центрированные 11 – угольные числа

1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496, . . . ,

центрированные 12 – угольные числа

1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, . . . и т. д.

Рис. 10. Центрированные семиугольные, восьмиугольные,

10 – угольные и 12 – угольные числа

Некоторые свойства плоских фигурных чисел

Греческие математики нашли разные свой­ства многоугольных чисел, которые в большин­стве случаев доказывали геометрически. Рассмотрим некото­рые примеры таких свойств и их доказательств.

Свойство 1. Сумма двух последовательных тре­угольных чисел — квадратное число (формула Теона).

Например, 3 + 6 = 9, 6 +10 = 16, 10 +15 = 25.

Геометрически доказательство этого факта показано на рис. 11.

Рис. 11. Геометрически доказательство.

.

Действительно воспользуемся формулой треугольного числа:

Многие теоремы о многоугольных числах доказывали Ферма (ХVII в.), Эйлер и Лагранж (ХVIII в.), Гаусс (ХIХ в.) и другие выдающиеся математики. Эти теоремы играют важную роль в теории чисел.

Самой важной из них является теорема, ко­торую Ферма назвал «золотой».

Всякое натуральное число есть:

- или треугольное, или сумма двух или трёх треугольных чисел;

- или квадратное, или сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел;

- или пятиугольное, или сумма двух, трёх, че­тырёх или пяти пятиугольных чисел и т. д.

Ферма не смог доказать этой теоремы, вы­текающей, по его словам, «из многих крайне сокрытых тайн чисел». Над её доказательством трудились Эйлер, Лагранж, Лежандр и Гаусс. Однако полностью теорема Ферма была доказана французским математиком Коши (1789-1857). Из этой теоремы вытекают многие важные пред­положения теории чисел.

Свойство 2. (Формула Диофанта или формула Плутарха)

Сумма восьми одинаковых треугольных чисел c номером n, увеличенное на 1, равна квадратному числу с номером 2n+1:

Ниже приведена геометрическая иллюстрация для n = 2 (рис. 12):

Рис.12. Геометрическая иллюстрация для n = 2

Действительно возьмем восемь одинаковых треугольных чисел и одно треугольное число равное 1,

Свойство 3. n – ое пятиугольное число есть сумма квадратного числа с тем же номером и треугольного числа с номером n – 1.

.

Действительно,

Легко получить геометрическую интерпретацию этого свойства, заметив, что S4(n) — сумма первых n нечётных чисел. Приведём соответствующую картинку для n = 4 (рис. 13):

Рис.13. Иллюстрация для свойства.

Свойство 4. (Данное свойство связывает треугольные и шестиугольные числа): n – ое шестиугольное число есть сумма треугольного числа с тем же номером и трех треугольных чисел с номером n – 1.

Легко видеть, что

Геометрическую иллюстрацию этого свойства тоже легко получить; приведём её для n = 3 (рис.14):

Рис.14. Иллюстрация для свойства.

Свойство 5. (Теорема о шестиугольных числах): n – е шестиугольное число является треугольным числом с номером , т. е.

Простейший способ доказательства состоит в сравнении двух формул:

Свойство 6. (Формула Никомаха).

Следующая формула Никомаха Герасского появилась в его трактате «Введение в арифметику»: любое фигурное число равно сумме фигурного числа с предыдущим числом углов, расположенного в той же строчке, и треугольного числа, стоящего в предыдущей строчке.

Иначе говоря, разность между n-м m-угольным числом и n-м (m–1)-угольным числом совпадает с (n–1)-м треугольным числом. Это соотношение называется формулой Никомаха:

Действительно,

то

Геометрические интерпретации для m = 4 и m = 5 были приведены при доказательстве формулы Теона S₄(n) = S₃(n) + S₃(n – 1) и формулы S₅(n) = S₄(n) + S₃(n–1), являющейся частным случаем формулы Никомаха.

Свойство 7 (Баше де Мезириак ,16 век). Любое плоское фигурное m – угольное число равно сумме треугольного числа, стоящего на той же строчке, и треугольных чисел, взятых из предыдущей строчки.

Один из частных случаев данной формулы широко известен как теорема о восьмиугольных числах: – е восьмиугольное число равно сумме шести треугольных чисел с номером и числа n, или

Для доказательства достаточно построить чертёж (рис. 15).

Рис.15. Геометрическое доказательство.

Таким образом, данная область содержит еще много не открытых фактов, требующих дополнительных исследований.

Пространственные фигурные числа

Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей (8,12,18,20,24,27, 28,...):

Рис.16. Телесное число 8.

Телесные фигурные числа состоят из трех сомножителей. Составляя последовательные суммы из плоских фигурных чисел, получим телесные фигурные числа, их иногда называют пространственными. Телесные числа так же подразделяются на:

а) пирамидальные числа

б) кубические числа

  Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.:

1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ... (Рис.17)

Рис.17. Пример пирамидального числа.

Правильные треугольные пирамиды, все грани и основание которых, имеют вид равносторонних треугольников (такие пирамиды называются тетраэдрами), порождают так называемые тетраэдрические числа. Последовательность этих чисел выглядит так: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84,…(рис.18).

1 4 10

Рис.18. Тетраэдрические числа.

Четырехугольные пирамиды с квадратом в основании и боковыми гранями в форме равносторонних треугольников (т.е. половинки правильного октаэдра) порождают четырехугольные пирамидальные числа: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, … (рис. 19).

1 5 14

Рис.19. Четырехугольные пирамидальные числа.

Подобно тому, как квадрат можно разрезать вдоль прямой на два последовательных треугольника, четырехугольную пирамиду можно рассечь плоскость на два последовательных тетраэдра.

Далее введем в рассмотрение кубические числа (рис. 20).

1 8 27

Рис. 20. Кубические числа.

Например, к этим числам относятся: Их можно записать в таком виде: Именно про эти числа говорят «два в кубе», «три в кубе», «четыре в кубе», «пять в кубе» и т.д.

Можно догадаться почему числа , , и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть. Дело в том, что мы живем в мире трех измерений (длина, ширина и высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной. Куб − фигура с одинаковой длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из камушков.

У европейских математиков фигурными чис­лами называли коэффициенты членов степеней бинома (a + b)ⁿ при n = 1, 2 , 3, 4, ...:

(a + b)¹ = 1a + 1b;

(a + b)² = 1a² + 2ab + 1b²;

(a + b)³ = 1a^s + 3a²b + 3ab² + 1b^s;

(a + b)⁴ = 1a⁴ + 4a^sb + 6a²b² + 4ab^s + 1b⁴.

Составим таблицу:

0	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6
1	3	6	10	15
1	4	10	20
1	5	15
1	6
1

Первый столбец и первая строка представля­ют 0, 1, 1, 1, ... Второй столбец и вторая строка являются натуральным рядом. Остальные числа таблицы, например, 15 и 20, — суммы чисел, стоящих в той же строке слева и в том же столб­це над искомым числом: 15 = 10 + 5, 20 = 10 +10 и т. д. По косым линям стоят коэффициенты степеней (a + b).

Эта таблица была у Стифеля в 1544 году, у Паскаля в 1665 году и у нас носит название треугольник Паскаля. В Германии его чаще на­зывают треугольником Стифеля, в Италии — треугольником Тартальи.

Такой числовой треугольник имеется и у Ома­ра Хайяма. Индийские историки математики (в частности, А. Н. Сингх) утверждают, что чис­ловой треугольник был известен в Индии во II в. до н. э. и что об этом в IX в. написал Махавира. Он рекомендовал составить числовой треугольник следующим образом.

Составляют треугольник из клеток: сначала чертят одну клетку, под ней — две так, чтобы половины клеток выступали из-под первой. По­том чертят три клетки, чтобы опять половины крайних клеток выступали из-под клеток второ­го ряда, и т. д. В крайние левые и правые клет­ки каждого ряда вписывают единицы, в каждую из остальных клеток — сумму чисел, стоящих в двух, находящихся над ней, клетках.

					1
				1		1
			1		2		1
		1		3		3			1
	1		4		6		4				1
1		5		10		10			5				1

Такое построение числового треугольника является более удобным, чем описанный выше способ Паскаля.

В курсе алгебры числовой треугольник яв­ляется полезным практическим пособием для составления последовательности коэффициентов членов развёрнутого выражения (a + b)ⁿ при раз­личных значениях п.

Формулы для вычисления телесных чисел

Посмотрим на первые четыре таких числа и попробуем найти закономерность (рис 21).

Рис.21. Иллюстрация.

Пирамидальные числа возникают при складывании камушков или, скажем, пушечных ядер горкой так, чтобы они не раскатывались. И что же? Каждый слой ядер в такой пирамиде − треугольное число. Наверху − одно ядро, под ним − три, под теми − шесть и т.д. ( ...) Можем сделать вывод, что пирамидальное число п-го порядка получается при наложении на каждый слой треугольное число на один порядок меньше чем предыдущий. Посмотрим на рисунок 22, и увидим, как это получается.

Рис.22. Иллюстрация.

Мы с вами можем увидеть закономерность:

,

где n – число шаров уложенных вдоль ребра пирамиды.

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: , (два этажа из квадратов ), (три этажа из квадратов ), (четыре этажа из квадратов ), и так далее (рис.23).

1 8 27 64

Рис.23. Иллюстрация.

Теперь понятно, почему про такие числа говорят: "два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"? Следовательно, общий вид кубических чисел равен:

.

Тетраэдрическое число - это фигурное число, которое представляет пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник. Ряд тетраэдрических чисел: 1, 4, 10, 20, 35, 56… Они являются суммами треугольных чисел:

где S_k - это k-ое треугольное число, является биноминальным коэффициентом.

Рис.24 Шесть тетраэдров со стороной n в формировании n x (n+1) x (n+2) прямоугольного параллелепипеда.

Эта демонстрация оправдывает формулу, показывая 6 тетраэдров со стороной n в формировании n x (n+1) x (n+2) прямоугольного параллелепипеда. Квадратное пирамидальное число - это фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа образуют последовательность: 1, 5, 14, 30, 55, 91… Они могут быть вычислены по формуле:

Очевидно, этими способами можно получить любые фигурные числа.

Фигурные числа вокруг нас

Ежедневно мы встречаемся с фигурными числами повсюду:

• при изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины или при вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.

• На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа) (рис.25).

Рис. 25. Пример плоских фигурных чисел

• Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа (рис.26).

Рис. 26. Пример треугольного фигурного числа, равного 6

• В такой игре, как бильярд шары располагаются в виде треугольного числа (рис.27).

Рис. 27

• Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости (рис. 28).

Рис. 28. Пример пространственных фигурных чисел

• Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости (рис. 29).

Рис. 29. Пример телесных фигурных чисел

• К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки (рис. 30).

Рис. 30. Пример пирамидальных фигурных чисел

Задание №1. Дайте определение фигурного числа – _______________________________________________________________

Задание №2. Линейные числа —

а) числа, не разлагающиеся на сомножители, большие единицы, то есть это ряд простых чисел, дополненный единицей.

б) числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, больших единицы, то есть составные.

в) числа, представимые произведением трёх сомножителей.

Задание №3. Телесные числа —

а) числа, не разлагающиеся на сомножители, большие единицы, то есть это ряд простых чисел, дополненный единицей.

б) числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, больших единицы, то есть составные.

в) числа, представимые произведением трёх сомножителей.

Задание №4. Плоские числа —

а) числа, не разлагающиеся на сомножители, большие единицы, то есть это ряд простых чисел, дополненный единицей.

б) числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, больших единицы, то есть составные.

в) числа, представимые произведением трёх сомножителей.

Задание № 5. Какое это число?

___________ ____________ ______________

Задание №6. Найдите пару

Треугольное число		1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, …
Тетраэдрические числа		1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, …
Квадратное число		1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…

Задание № 7. Что относится к пространственным фигурным числам?

а) пирамидальные числа;

б) треугольные числа;

в) кубические числа;

г) квадратные числа.

Задание № 8. (домашнее задание). Приведите примеры использования фигурных чисел.

Задание № 9. Изобразите число 5, 6 и 8 как: линейное, плоское, телесное.

Решение:











Линейное число

		
				
				
		

Плоское число

Т елесное число

Задание № 10. Найдите первые пять шестиугольных чисел; сумму первых четырёх семиугольных чисел; сумму квадратов первых трех восьмиугольных чисел.

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения плоского фигурного числа

1. Найдем первые пять шестиугольных чисел. Используя формулу для , получим:

1. Найдем сумму первых четырёх семиугольных чисел. Используя формулу для , получим значения чисел:

Сумма первых четырех семиугольных чисел равна:

1. Найдем сумму квадратов первых трёх восьмиугольных чисел. Используя формулу для , получим значения чисел:

Сумма квадратов первых трёх восьмиугольных чисел равна:

Задание № 11. Найдите треугольное число, которое является: девятым шестиугольным числом; двадцать первым шестиугольным числом; тридцать девятым шестиугольным числом.

Решение:

1. Воспользуемся формулой для нахождения шестиугольного числа.

Найдем девятое шестиугольное число:

Формула треугольного числа,

Найдем треугольное число, являющееся девятым шестиугольным числом:

Проверим,

Следовательно, семнадцатое треугольное число является девятым шестиугольным числом.

1. Найдем двадцать первое шестиугольное число:

Найдем треугольное число, являющееся двадцать первым шестиугольным числом:

Действительно,

Следовательно, сорок первое треугольное число является двадцать первым шестиугольным числом.

1. Найдем тридцать девятое шестиугольное число:

Найдем треугольное число, являющееся тридцать девятым шестиугольным числом:

Проверим,

Следовательно, семьдесят седьмое треугольное число является тридцать девятым шестиугольным числом.

Список использованной литературы

1. Алгебра 7, Алгебра 8, Алгебра 9. Макарычев Ю.Н. и др.: Москва: «Просвещение», 2015.

2. Бендукидзе А. Д. Фигурные числа // Квант. — 2016. — № 9. — С. 74-75.

3. Вольфсон Г.И., Пратусевич М.Я., Рукшин С.Е., Столбов М.К., Ященко И.В. «ЕГЭ 2013. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра», Москва, Издательство МЦНМО, 2013. - 256 стр.

4. Деза Е.И., Ростовцев А.С. Модель формирования и развития математической креативности старшеклассников при обучении элементам теории специальных чисел // Modern Humanities Success. 2019. №4. С. 144 – 149.

5. Деза Е.И., Модель Д.Л. Особенности построения учебных пособий в условиях интегративно-модульного подхода к обучению дискретной математике // Вестник МГПУ. Журнал Московского городского педагогического университета. Серия: Педагогика и психология. 2015. №4 (34). С. 84 – 89.

6. Деза Е.И., Котова Л.В., Модель Д.Л. Современные средства математической подготовки студентов педагогических вузов // Проблемы современного образования. 2018. №2. С. 147 – 155.

7. Деза Е.И., Деза М.М. Фигурные числа. М.: МЦНМО, 2015. 350 с. 9. Деза Е.И. Специальные комбинаторные числа. М.: ЛЕНАНД, 2018. 504 с.

8. Деза Е.И. Специальные числа натурального ряда. М.: URSS, 2011. 240 с.

9. Жмурова, И. Ю. Элективный курс ««Некоторые специальные числа натурального ряда» как одно из средств предпрофильной подготовки выпускников основной школы / И. Ю. Жмурова, Е. В. Солдатова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2015. — № 16 (96). — С. 5-7. — URL: https://moluch.ru/archive/96/21559/ (дата обращения: 23.08.2020).

10. Жмурова И. Ю., Коршунова Л. А. Элективный курс «Эйлеровы графы» как средство реализации интеграционных связей математики // Молодой ученый. — 2013. — № 5. — С.689–691.

11. Жмурова И. Ю., Ленивова А. В. Диофантовы уравнения от древности до наших дней // Молодой ученый. 2014. № 9. С. 1–5

12. Мак-Лахлан, Н.В. Теория и приложения функций матье / Н.В. Мак-Лахлан. - М.: Иностранной литературы, 2017. - 474 c.

13. Математика в современном мире / ред. В.А. Успенский. - М.: Мир, 2018. - 202 c.

14. Матвиевская, Г.П. История математики: Курс лекций / Г.П. Матвиевская. - М.: Ленанд, 2019. - 208 c.

15. Мордкович А.Г., Л. А.Александрова,Т.Н. Мишустина ,Е.Е. Тульчинская, П.В. Семёнов «Элементы статистики и теории вероятностей.» – Москва: Мнемозина, 2017.

16. Новейший справочник школьника 4-11 классы; Автор: Г.П. Шалаева» 139 стр. «Фигурные числа», 2017.

17. Полякова Т. С., Жмурова И. Ю., Лялина Е. В. Интеграционные связи и их оценка учителями математики и бакалаврами педагогико-математического образования // Методический поиск: проблемы и решения. 2015. № 1 (18). С. 66–72.

18. Ростовцев А.С. Элективный курс «Числа Бернулли» как средство повышения математической культуры старшеклассников // Сборник трудов VIII Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура». Тольятти: ТГУ, 2017. С. 373 – 377.

19. Стефанова, Н. Л., Шубина, Н. Л. Мысль, ограниченная словом: математический язык через призму естественного языка [Текст] : метод. пособие к элективному курсу / Н. Л. Стефанова, Н. Л. Шубина. – СПб. : Книжный мир, 2011.

20. Тимофеева, И.Л. Вводный курс математики: Учебное пособие / И.Л. Тимофеева. - М.: Academia, 2019. - 163 c.

21. Энзенбергер Х.М. Дух числа. Книга под подушку для всех, кто боится математики. – М.: издательство «СТРАТА», 2013.

22. Донцова М.А. ОПЫТ ОРГАНИЗАЦИИ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ ПО МАТЕМАТИКЕ В СТАРШИХ КЛАССАХ // Современные проблемы науки и образования. – 2018. – № 2.;
    URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=27523 (дата обращения: 06.08.2020).

23. Роговая С. Н., Сумина Г. Н. Многоугольные и пирамидальные числа. URL: http://www.amgpgu.ru/upload/iblock/454/rogovaya_s_n_sumina_g_n_mnogo ugolnye_i_piramidalnye_chisla_.pdf (дата обращения: 06.08.2020).

24. Концепция развития образования РФ до 2020 года. URL: http://edu.mari.ru/ou_respub/sh14/commondocs/Концепция%20развития%20образования%20%20РФ%20до%202020%20%20г.pdf

25. Национальный проект «Образование». URL: https://edu.gov.ru/national-project

26. Федеральный закон об образовании в Российской Федерации от 29.12.2012 N 273-ФЗ (последняя редакция). Доступ из справ.-правовой системы «Консультант Плюс». URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_140174/

27. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утвержден приказом Министерства образования и науки РФ от 17 мая 2012 г. N 413; с изменениями и дополнениями от: 29 декабря 2014 г., 31 декабря 2015 г., 29 июня 2017 г.).

URL: https://fgos.ru