Экстремумы функции

ЭКСТРЕМУМЫ

Определение экстремумов

Точка х 0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x)≥f(x0)

Точка х 0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x) ≤ f(x0)

Для точек максимума и минимума принято общее название – экстремумы.

Укажите экстремумы функции f(x)

Определите экстремумы функций

Определите экстремумы функций

• f(x) = x 3 – 3x 2 – 9x +11
• f(x) = -1/3x 3 +4x 2 – 7x +18
• f(x) = сos2x-2cosx
• f(x) =3x-cos3x

Какой угол образуют касательные к экстремальным точкам с осью ОХ?

α=

tgα=

k=

f´(x)=

Критические точки

• Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции

Критическая точка

• Производная равна нулю или не существует

f´(x)=0

Необходимое условие экстремума :

• Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная, то она равна нулю: f′(х 0 )=0.
• ИЛИ
• Для того чтобы в точке х 0 существовал

экстремум необходимо, чтобы она была

критической.

Рассмотрим функцию f(x) = x 3

• f´(x) = (x 3 )´= 3x 2 f´(x) =0

3x 2 =0

х=0- критическая

точка

Есть ли экстремум?

Сравните графики

Достаточное условие экстремума:

• Если при переходе через критическую точку х 0 производная меняет знак, то в данной критической точке экстремум.
• Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 точка максимума.
• Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 точка минимума.

Определите экстремумы функций

• f(x) = x 3 – 3x 2 – 9x +11
• f(x)=2х 3 +3х 2 -4
• f(x) = -1/3x 3 +4x 2 – 7x +18
• f(x) = сos2x-2cosx
• f(x) =3x-cos3x

Определите экстремумы функций

• f(x)=2х 3 +3х 2 -4
• f(x) = -1/3x 3 +4x 2 – 7x +18
• f(x) = сos2x-2cosx
• f(x) =3x-cos3x

Алимов Ш.А. стр. 288

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

На рисунке изображен график функции   — определенной на интервале (−7; 13). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−5; 12].