Длина окружности

Геометрия. 9 класс.

Мастер подключения презентации к уроку.

S T O P

Дальнейший просмотр возможен только при наличии соответствующих знаний. А они у тебя есть?

Да.

Да, но я устал и думать не хочу.

Ничего не знаю и знать не хочу.

Могу доказать .

• Представим себе нить в форме окружности. Разрежем её и растянем за концы.

Тонкая нить

R

С

• Длина полученного

отрезка и есть длина

окружности.

Периметр любого вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности.

• При увеличении числа сторон правильный многоугольник всё ближе и ближе «прилегает» к окружности.

• Длина окружности – это

предел , к которому стремится

периметр правильного

вписанного многоугольника при

неограниченном увеличении

числа его сторон.

• Отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей.
• ( стр. 265, курсив предпоследний абзац)

Дано:

Окр(О 1 ; R 1 ),Oкр(O 2 ;R 2 ),

C 1 – длина Oкр(O 1 ; R 1 ), C 2 – длина Oкр(O 2 ; R 2 ).

Доказать:

O 1

O 2

Доказательство:

1) Впишем в каждую окружность правильный n -угольник.

• Пусть Р 1 , Р 2 – их периметры;

а а n1 , a n2 – их стороны.

Тогда P 1 = n . a n1 =

• Если число сторон неограниченно увеличивать, то n  ,

P 1  C 1 , P 2  C 2 тогда

Ч.т.д.

• По свойству пропорции

Число «пи». Вывод формулы длины окружности.

• Из свойства длины окружности следует .

что есть число постоянное и теоретически доказано, что это число иррациональное.

Обозначают его греческой буквой «пи».

C

2R

Это я знаю и помню прекрасно.

C=2  R

- формула длины окружности.

Задача 1. Вообразите, что вы обошли землю по экватору. На сколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги?

• Решение.

• Ноги прошли путь , где R радиус земного шара.

• Верхушка головы - где 1,7м рост человека.

• Разность путей равна

Итак голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги.

• Ответ:10,7 м.

Задача 2. Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к её длине 1м, то сможет ли между проволокой и землёй проскочить мышь.

Обычно отвечают, что промежуток будет тоньше волоса.

• Решение. Пусть длина промежутка х см.

Если R радиус земли, то длина проволоки была 2  R см,

а станет 2  ( R + x) см.

А по условию задачи их разность равна 100 см.

Уравнение.

• Ответ:16 см.

№ 1104(а). Найти длину окружности описанной около правильного треугольника со стороной а .

• Выразите R через а.

Подставьте в формулу длины окружности.

№ 1104 (в). Найти длину окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и

стороной b .

А

• Дано:  АВС – равнобедренный, вписан в О(О; R) ; АВ= A С= b, BC=a.

R

O

R

H

• Найти: С.

• Решение. 1)

• ВН=

В

С

• Из  АВН: АН 2 =

• Так как АО= R, то ОН=

№ 1104 (в). Найти длину окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием

а и боковой стороной b .

А

• Из  ВОН: B О 2 = OH 2 +BH 2 =R 2 =

О

С

В

Н

• C=

• Ответ:

№ 3. Дана равнобедренная трапеция со сторонами 2a , a , a , a . Найти длину окружности, описанной

около трапеции.

• Дано: АВС D – трапеция, АВ=ВС=С D = а, А D =2а.

B

C

Окр(О; R) описанная около окружности.

• Найти: Длину окружности.

• Решение.

D

A

• Достроим трапецию ABCD до правильного шестиугольника. Тогда окружность описанная около шестиугольника будет описана и около трапеции.

№ 3. Дана равнобедренная трапеция со сторонами 2a , a , a , a . Найти длину окружности, описанной

около трапеции.

• Так как шестиугольник правильный, то радиус описанной окружности равен стороне. А значит C=2  R=2  a.

B

C

D

A

• Ответ: 2  a.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

• Сформулируйте основное свойство длины окружности. На чём основывается его доказательство?

• Как вычисляется длина окружности по

формуле?

• Какое число обозначается буквой  и чему

равно его приближённое значение?

• Как изменится длина окружности, если

радиус окружности уменьшить (увеличить) в

k раз?

• Как изменится длина окружности, если

радиус окружности уменьшить (увеличить) в k

раз?

Домашнее задание

•     Вопросы 8-9(стр. 270) .
•      № 1108, №1105(а).