Диофантовы уравнения

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа № 36 имени генерала А. М. Городнянского»

города Смоленска

214032 г. Смоленск, ул. Городнянского, д. 4. т. 44-22-25

Исследовательская работа

«Диофант и диофантовы уравнения»

Автор: ученик 9А класса

Висков Алексей Максимович

Руководитель: учитель математики

Степанова Татьяна Александровна

Смоленск

2016

Содержание

1. Историческая справка

2. Числа и символы

3. Диофантовы уравнения

4. Оценка методов Диофанта историками науки

5. Неопределенные уравнения второго порядка

1. Примеры решения Диофантовых уравнений

1. Приложение (чертежи)

2. Заключение

Историческая справка

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди непроницаемой тьмы.

Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляют полтысячелетия! Нижняя грань определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского который жил в середине 2-ого в. до н.э.

С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещен отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине 4-ого в.н.э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!

Французский историк науки Поль Таннри, издатель наиболее полного текста Диофанта, попытался сузить этот промежуток В библиотеке Эскуриала он нашел отрывки из письма Михаила Пселла, византийского ученого Х1 в., где говорится, что ученейший Анатолий после того как собрал наиболее существенные части этой науки речь идет о введении степеней неизвестного и об их (обозначении), посвятил их своему другу Диофанту. Анатолий Александрийский действительно составил «Введение в арифметику», отрывки которой приводят в дошедшей до нас сочинений Ямблих и Евсений. Но Анатолий жил в Александрии в середине 111-го в до н. э и даже более точно – до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого. Итак, если знаменитый Александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант составляют одно лицо, то время жизни Диофанта - середина 111-го века нашей эры.

Зато место жительства Диофанта хорошо известно – Александрия, центр научной мысли и эллинистического мира.

Диофант прожил 84 года.

Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть из тринадцати книг, которые были объединены в «Арифметику», стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебры, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались совершенно неизвестными.

Мы можем только гадать о её корнях, и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

«Арифметика» Диофанта это сборник задач (всего 189), каждая из которых снабжена решением. Задачи в ней тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методах. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

Числа и символы

Диофант приводит традиционное определение числа как множество единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причем называет каждое такое решение числом.

Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином «лейпсис» — производное от глагола - «лейпо», «лейпо», что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток». Кстати, так поступает известный русский историк науки И. Тимченко. Положительное число Диофант называет словом «ипарксис», что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы.

Заметим, что термин «лейпсис» — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно «афелейн» или «афайрейн», которые являются производными от глагола «афайрео» — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам».

Мы так подробно остановились на филологическом анализе текста Диофанта, чтобы убедить читателя, что мы не отступим от истины, если будем переводить термины Диофанта как «положительное» и «отрицательное».

Диофант формулирует для относительных чисел правило знаков:

«отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное на положи тельное дает отрицательное, и отличительный знак для отрицательного есть перевернутая и укороченная (буква)».

Далее он пишет:

«После того как я тебе объяснил умножение, становится ясным и деление предложенных членов; теперь будет хорошо приступить к упражнениям над сложением, вычитанием и умножением таких членов. И положительные и отрицательные члены с различными коэффициентами прибавлять к другим членам, которые либо положительны, либо, равным

образом, и положительны и отрицательны, и от положительных членов и других отрицательных отнимать другие положительные и, равнымобразом, положительные и отрицательные

Заметим, что хотя Диофант ищет только рациональные положительные решения, в промежуточных выкладках он охотно пользуется отрицательными числами.

Мы можем, таким образом, отметить, что Диофант расширил числовую область до поля рациональных чисел, в котором можно беспрепятственно производить все четыре действия арифметики.

В «Арифметике» мы встречаем впервые и буквенную символику. Диофант ввел следующие обозначения для первых шести степеней х, х²,……х⁶ неизвестного х:

Свободный член Диофант обозначал символом М°, т. е. первой буквой слова «монас», что значит единица.

Он ввел специальный знак для отрицательного показателя степени и, таким образом, получил возможность обозначать первые шесть отрицательных степеней неизвестного.

Итак, у Диофанта была символика для обозначения одного неизвестного и его положительных и отрицательных степеней вплоть до шестой. Обозначения для второго неизвестного он не ввел, что сильно затрудняло решение задач. Иногда на протяжении одной задачи символ мог обозначать то одно, то другое неизвестное число. Кроме этих символов, Диофант употреблял знак для неопределенного квадрата . Например, если по условию задачи произведение двух чисел в сумме одним из них должно было равняться квадрату, то этот последний квадрат записывался с помощью . Далее, Диофант излагает правила умножения х на х для положительных и отрицательных m и n (|m| n|

Для равенства Диофант применял знак — первые две буквы слова «исос», т. е. равный. Все это дает ему возможность получить буквенную запись уравнения.

Далее, во «введении» формулируются правила преобразования уравнений: прибавление равных членов к обеим частям уравнения и приведение подобных членов. Оба эти правила получили впоследствии широкую известность под арабизированнмми названиями «алджебр» и «альмукабала»

Мы видим, что хотя при наименовании и обозначении степеней неизвестного еще применяются геометрические термины «квадрат», «куб» (что, кстати, сохранилось и до наших дней), однако при составлении уравнений Диофант спокойно складывает квадрат или куб со стороной, т. е.трактует их не как геометрические образы, а как числа. Более того, он находит возможным ввести «квадратоквадраты», «квадратокубы» и т. д., разумеется, никак не связывая их с пространствами высшего числа измерений, т.е. он употребляет геометрическую терминологию только благодаря сложившейся традиции. Таким образом, мы здесь встречаемся с совершенно новым построением алгебры, которая основывается уже не на геометрии, это было у Евклида, а на арифметике. Однако это не простой возврат к числовой алгебре Вавилона, а начало построения буквенной алгебры, которая наконец-то находит у Диофанта присущий ей язык.

Диофантовы уравнения

Но в «Арифметике» поражает не только совершенно новый язык, не только смелое расширение области чисел, но и особенно те проблемы, которые ставит и решает Диофант.

Чтобы понять сущность этих проблем и исследовать методы Диофанта, нам придется дать некоторые сведения из алгебраической геометрии и теории неопределенных уравнений. В настоящее время задача решения неопределенных уравнений формулируется так: пусть дано m многочленов от n переменных, mn, f₁(x , x, .....,x),...,...fm(x ...., x) с коэффициентами из некоторого поля. Требуется найти множество М(k) всех рациональных решений системы:

f 1(x ,....,xn)

. . . . . .

fm(x ...., xn)

и определить его алгебраическую структуру. При этом решение (x ...., xn) называется рациональным, если все х k.

Множество М(k), разумеется, зависит от поля k. Так, уравнение х² + у ²= З не имеет ни одного рационального решения в поле Q ‚ рациональных чисел, но имеет бесконечно много решений в поле Q ( 3 ), т. е. в множестве чисел вида а + b 3, где а и b — рациональные числа.

Наиболее важными для теории чисел являются случаи, когда 1) k = Q, где Q — поле рациональных чисел, или 2) k есть поле вычетов по простому модулю р. Диофант рассматривал первый из этих случаев. Мы также будем всегда в дальнейшем считать, что k = Q.

Мы ограничимся рассмотрением только таких задач Диофанта, которые сводятся к одному уравнению с двумя неизвестными, т. е. к случаю m = 1, n=2:

f (х, у) = О. (2)

Это уравнение определяет на плоскости R(2) алгебраическую кривую Г. Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой Г. В дальнейшем мы часто будем прибегать к языку геометрии, хотя сам Диофант нигде его не применяет. Однако геометрический язык стал в настоящее время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.

Прежде всего необходимо дать какую-нибудь классификацию уравнений (2) или, что то же, алгебраических кривых. Наиболее естественной и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам.

Напомним, что порядком кривой (2) называется максимальный порядок членов многочлена f (х, у), где под порядком члена понимается сумма степеней при х и у. Геометрический смысл этого понятия заключается в том, что прямая пересекается с кривой порядка n ровно в n точках. При подсчете точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечения, а также комплексные и «бесконечно удаленные» (см. стр. 26) точки. Так, например, окружность х + у = 1 и прямая х + у = 2 пересекаются в двух комплексных точках, а гипербола х — у = 1 и прямая у = х - в двух бесконечно удаленных точках, та же гипербола с прямой х = 1 имеет одну общую точку кратности 2. Однако для целей диофантова анализа (такое название получила область математики, выросшая из задач решения неопределенных уравнений; впрочем, теперь ее чаще называют диофантовой геометрией) классификация по порядкам оказалась слишком грубой.

Поясним сказанное на примере. Пусть задана окружность С: х + у = 1 и любая прямая с рациональным коэффициентами например, L: у = О. Покажем, что рациональные точки этой окружности и прямой можно поставить во взаимно однозначное соответствие.

Это можно сделать, например, так: закрепим точку А(О, —1) окружности и поставим в соответствие каждой рациональной точке В прямой L точку В’ окружности С, лежащую на пересечении С и прямой АВ (см.приложение рис. 1). То, что координаты точки В’ будут рациональными, предоставим читателю доказать самому либо прочесть аналогичное доказательство у Диофанта (оно будет изложено в следующем пункте). Очевидно, что такое же соответствие можно установить между рациональными точками любого конического сечения, если на нем лежит хотя бы одна рациональная точка, и рациональной прямой. Мы видим, что с точки зрения диофантова анализа окружность С и прямая L неотличимы: множества их рациональных решений эквивалентны. И это несмотря на то, что порядки обеих кривых различны.

Более тонкой является классификация алгебраических кривых по родам, которая была введена только в ХIХ в. Абелем и Риманом. Эта классификация учитывает число особых точек кривой Г.

Будем считать, что в уравнении (2) кривой Г многочлен f (х, у) неприводим над полем рациональных чисел, т. е. он не раскладывается в произведение многочленов с рациональными коэффициентами. Как известно, уравнение касательной к кривой Г в точке Р (х0 , y0) будет

У — Уо = k(х — х0)

где

k = - f х(х0, y0)/ f y(х0, y0).

Если в точке Р f х или f y отлична от нуля, то угловой коэффициент k касательной имеет вполне определенное значение (если f y(х0, y0) = О, а fх(х0, y0)) /= О, то k = R и касательная в P будет вертикальной).

Если же в точке P обе частные производные обращаются в нуль,

f х(х0, y0) = 0 и f y(х0, y0) = 0 ,

то точка Р называется особой.

Например, у кривой у = х + х точка (0, 0) будет особой, так как в ней

f х = 2х–3х и

f y = 2y обращаются в нуль.

Наиболее простыми особыми точками являются двойные, в которых хотя бы одна из производных f xx f xy f уу отлична от нуля. На рис. 2 изображена двойная точка, в которой кривая имеет две различные касательные. Другие более сложные особые точки изображены на рис. 3.

(см приложение рис. 3.)

У алгебраической кривой может быть только конечное число особых точек. Действительно, пусть

f (х, y) = 0 (*)

— уравнение кривой, где f (х, y) — неприводимый многочлен над полем Q рациональных чисел. Координаты особых точек должны удовлетворять уравнениям

f х(х, y) = 0 и f y(х, y) = 0 ,

и уравнению (*). Но система этих трех алгебраических уравнений может иметь только конечное число решений.

(рис. 3)

Мы определим здесь род для таких плоских алгебраических кривых, которые не имеют никаких особых точек, кроме двойных. В общем случае, т. е. для произвольной алгебраической кривой с любыми особенностями, род определяется более сложно, однако мы не будем пользоваться этим определением, поэтому не будем его приводить.

Итак, пусть число двойных точек плоской алгебраической кривой Г равно d (d= 0), тогда родом кривой Г называется целое число р, определяемое по формуле

Р=(n-1)(n-2)/2 – d

где n - порядок кривой Г. Можно показать, что р = 0.

Если Г прямая или кривая второго порядка, то из приведенной формулы видно, что р = 0, т. е. это кривые одного и того же рода. Кривые третьего порядка имеют род 0 или 1 в зависимости от того, имеют ли они особую точку или нет. Например, род 1 будет иметь «кривая Ферма» х³ + у³ = 1.

Однако и классификация по родам не учитывает арифметических свойств

кривой. Так, например, кривые х² + у² =1 и х² + у² = З имеют род 0, между тем на первой из них лежит бесконечно много рациональных то чек, а на второй — ни одной. Чтобы найти адекватную для целей Диофантова анализа классификацию кривых, заметим, что, решая уравнение (1), мы часто прибегаем к замене переменных

х = f(u, v), у = g(u, v), (3)

где f и g — рациональные функции, т. е. каждая из них может быть представлена в виде отношения двух многочленов. Подставляя (З) в уравнение (2) получим

G(u, v) = 0.

Это уравнение определяет некоторую кривую Г’. Для того чтобы рациональные точки кривой Г, кроме, быть может, конечного числа их, переходили в рациональные точки кривой Г’ и, обратно, рациональным точкам кривой Г’ отвечали рациональные же точки кривой Г, необходимо и достаточно, чтобы 1) функции f и g имели рациональные коэффициенты и 2) уравнения (З) были обратимы, т. е. из них, в свою очередь, можно было бы найти

u = f₁(x, y), v = g₁(x, y),

где g₁ и f₁— рациональные функции с рациональными коэффициентами.

Если между двумя кривыми Г и Г’ можно установить соответствие с помощью формул вида (З) и (З’) с рациональными и коэффициентами, то кривые называются бирационально эквивалентными, а сами эти преобразования называются бирациональными.

Так, например, если f(u, v) и g(u, v) — линейные функции, т.е.

х = f(u, v) = au + bv + c,

у = g(u, v) = а₁u +b₁v +с₁,

причем а b неравно 0

a₁ b₁

то u, v также выразятся через х, у линейно

с рациональными коэффициентами, т. е. преобразование будет бирациональным. Приведем более сложный пример. Пусть задана кривая L:

у² = x⁴ – x³ +2x – 2 = (x -1)(x³ + 2) (*)

Покажем, что ее можно бирационально преобразовать в кривую L` вида v² = f₃(u) где f₃(u) - многочлен третьей степени. Для этого разделим обе части уравнения (*) на (x-4)⁴

и положим

x – 1 = 1/u , y/(x - 1)² = u

Тогда уравнение (*) преобразуется в

v² = 3u³ + 3u² + 3u + 1

При этом х и у выражаются через u , v рационально:

x = (1+u)/u , y = v/u²

и, обратно,

u = 1/( x - 1), v = y/(x - 1)² ,

т.е. кривые L и L’ бирационально эквивалентны

Множество рациональных точек М и М’ двух бирационально эквивалентных кривых можно привести во взаимно однозначное соответствие, за исключением, быть может, конечного числа точек. Исключительными точками будут те, в которых числитель и знаменатель по крайней мере одной из функций (З) или (З’) одновременно обращаются в нуль (отсюда ясно, что у линейных преобразований исключительных точек нет). Во втором нашем примере точке (1,0) кривой L не отвечает ни одна точка кривой L` , так как в ней обращаются в нуль числитель и знаменатель выражения для v/v=y/(x-1)².

С точки зрения диофантова анализа две бирационально эквивалентные кривые между собой равноправны. Между тем порядок кривой Г’ будет отличен от порядка кривой Г. Но можно доказать, что две бирационально эквивалентные кривые имеют один и тот же род. Таким образом, хотя ни порядок кривой n, ни число ее двойных точек d не являются инвариантами бирационального преобразования, но род p кривой, составленный из этих величин, будет таким инвариантом.

Обратное утверждение неверно: кривые одного и того же рода могут не быть бирационально эквивалентными. Это видно хотя бы из приведенного выше примера кривых х² + у² =1 и х² + у² = 3, которые имеют род 0: но на первой из них лежит бесконечно много рациональных точек, а на второй — ни одной.

Таким образом, кривые одного и того же рода разбиваются на классы бирационально эквивалентных между собой кривых. Вся сила введенных понятий была выявлена в работах Анри Пуанкаре, который в самом начале нынешнего века положил совокупность бирациональных преобразований в основу классификации и исследования проблем диофантова анализа.

Сейчас отметим только один, весьма важный для дальнейшего, факт: если Г — кривая третьего порядка, которая имеет по крайней мере одну рациональную точку, то ее уравнение с помощью бирациональных преобразований всегда можно привести к виду

y² = х³ + ах³ + b, (5)

где а и b — рациональные числа. Будем считать в дальнейшем, что кривая Г уже задана в виде (5).

Оценка методов Диофанта историками науки

Далее мы покажем, что Диофант владел общим методом для определения рациональных точек на кривых второго порядка. Как показал Пуанкаре, этот метод применим для всех кривых рода 0, имеющих рациональную точку Диофант нашел также общие методы для отыскания рациональных точек на кривых третьего порядка, причем методы эти оказались глубоко отличными от тех, которые он применял для кривых второго порядка. Из работ Пуанкаре следует, что эти методы Диофанта применимы для нахождения рациональных точек на любых кривых рода 1. Никаких других общих методов для нахождения рациональных точек алгебраических кривых до сих пор не существует.

Важную роль сыграли идеи и методы Диофанта в истории математики, ими пользовались математики от Виета и Ферма до Эйлера.

Между тем большинство историков науки, в противоположность математикам, до сих пор недооценивали труды Диофанта. Многие из них считали, что Диофант ограничивался нахождением только одного решения и применял для этого искусственные приемы, различные для разных задач. Такого мнения придерживался, например, Г. Ганкель, который писал: «современному математику после изучения 100 решений Диофанта трудно решить 101-ю задачу... Диофант скорее ослепляет, чем приводит в восторг».

Но, может быть, такая оценка объясняется тем, что книга Ганкеля была написана до работ Пуанкаре, проливших новый свет на проблемы диофантовых уравнений? А вот строки о Диофанте из книги О. Беккера и И.Гофмана: «Диофант не дает никакого общего метода, но применяет, по-видимому, для каждой новой задачи новый неожиданный искусственный прием, напоминающий восточные». Аналогичные высказывания делает и Ван-дер-Вардер в своей книге «Пробуждающаяся наука»: Обычно Диофант удовлетворяется каким-нибудь одним решением, не делая различия, будет ли оно целочисленным или дробным. Его метод меняется от одного случая к другому. И специально о неопределенных уравнениях второго порядка: «Ему удается так хитро устроить, чтобы в этом (т. е. результирующем) квадратном уравнении выпал либо член с х² либо постоянная величина, и удалось для х найти рациональное решение».

И это говорится об общем методе!

Более правильную оценку Диофанта мы находим у Г. Г. Цейтена: «Вообще говоря, Диофант старается найти какое-нибудь одно решение задачи, не отыскивая общего решения ее, которое включает в себя все возможные частные решения, но не следует придавать особенного значения этому факту, если желать понять полученные Диофантом результаты, ибо частные его

решения заключаются лишь в том, что он сейчас же придает определенные значения вспомогательным количествам, служащим для решения задачи» (История математики в древности и средние века, ГОНТИ, 1938, стр. 167—168).

После этого Цейтен разбирает способы Диофанта для решения неопределенных уравнений второго порядка. Однако и он не видит у Диофанта методов для решения неопределенных уравнений третьего порядка. До сих пор эти методы приписываются различным математикам нового времени. Так, Т. Сколем в своей книге «Диофантовы уравнения» приписывает методы Диофанта Коши и Люка, а сам Люка — Кожи и Ферма.

Итак, с общими методами решения неопределенных уравнений Диофанту так же не повезло, как и с отрицательными числами!

Но приступим к рассмотрению его задач.

Неопределённые уравнения второго порядка

Два вида таких уравнений были рассмотрены до Диофанта. Это уравнения x²+y²=z² и x²-ay²=1

Первое из них появилось еще в Древнем Вавилоне. Формулы для его решения были найдены пифагорийцами: x=k²-1, y=2k, z=k²+1. Второе полностью решается в «Началах» Евклида для случая a=2, причем не в рациональных, а в целых числах. Решение его для произвольного неквадратного a, вероятно, Архимед знал, поставивший перед Эратосфеном известную «задачу о быках».

Диофант в книге 2 своей «Арифметики» рассматривает различные неопределённые уравнения второго порядка и устанавливает, по существу, следующую теорему:

неопределённые уравнения второго порядка от двух переменных либо не имеет ни одного рационального решения, либо имеет их бесконечно много, причем в последнем случае все решения выражаются как рациональные функции параметра x=t(k), y= f (k), где t и f- рациональные функции.

Чтобы показать это приведем сначала задачу 8 книги 2.

«Данный квадрат разделить на два квадрата.

Пусть предложено 16 разделить на два квадрата.

И положим первый x², а другой тогда будет 16-x², таким образом, должно быть 16-х²=

Образуем этот квадрат из нескольких х минус столько единиц, сколько содержится в стороне 16; Пусть будет 2х-4, что в квадрате даст 4х²+16-16х. Это равно 16-х².

К обеим частям прибавим отрицательные члены и сделаем приведение подобных. Тогда 5х²=16х и х=16/5. Один будет 256/25, другой 144/25, сумма их будет 400/25=16,и каждый из них будет квадратом».

Попробуем теперь выделить метод Диофанта «в чистом виде». Пусть дано уравнение

x² +у² = a², (6)

которое представляет окружность с центром в начале координат. Одним из рациональных решений этого уравнения будет (0, —а). Диофант делает подстановку:

х = х,

(7)

у = kx - а.

Не имея обозначений для произвольного k, он берет k = 2, отмечая, однако, что следует образовать квадрат из «нескольких х минус столько единиц, сколько содержится в стороне 16» т. е. в нашей символике это в точности kx - 4

Подстановку (7) можно интерпретировать геометрически как проведение

через точку (0, —а) прямой y =kх—а. (7`)

Эта прямая встретит окружность (б) еще в одной точке, координаты которой будут рациональными функциями от k. Действительно,

x² + (kx - a)² = a

и

x = 2ak/(k² + 1) , y = kx – a = a((k² - 1)/(k² + 1))

Таким образом, каждому рациональному значению отвечает одна и только одна рациональная точка кривой (б). Наоборот, как легко видеть, если мы соединим произвольную рациональную точку кривой(6) с точкой (0, -а), то получим прямую с рациональным угловым коэффициентом.

Еще яснее метод Диофанта виден из решения задачи

9 книги II, которую он формулирует так:

«Данное число, являющееся суммой двух квадратов, разбить на два других квадрата».

Диофант задает число 13, которое равно сумме 4 + 9. Таким образом, одно решение (2, 3) уже известно. Чтобы найти другое, Диофант полагает первое число равным х = t + 2, второе у = 2t — З, т. е. он проводит прямую через точку (2,—З), замечая, как и прежде, что вместо множителя 2 можно взять любое другое число.

Интересно отметить, что в качестве известной точки он берет не указанную нами и имеющую положительные координаты, но выбирает точку с отрицательной ординатой, что соответствует отрицательному решению. Вообще Диофант в промежуточных выкладках охотно оперирует с отрицательными числами, хотя окончательное решение должно быть всегда рациональным и положительным.

Диофант применяет ту же процедуру и в задаче 16, 17 и др. книги II.

Легко видеть, что метод Диофанта совершенно общий; он позволяет найти все рациональные точки кривой второго порядка, если эта кривая содержит хотя бы одну рациональную точку. Действительно, пусть дано уравнение второго порядка от двух переменных

f₂(x, y) (8)

и пусть оно имеет рациональное решение (а, b). Следуя Диофанту, сделаем подстановку:

x = a + t,

y = b = kt

и получим

f₂(a + t, b + kt) = f₂(a +b) + tA(a, b) + t²C (a, b, k) = 0.

Но f₂(a +b) = 0, поэтому

t = -( A(a, b) + kB(a, b))/C(a, b,k).

Таким образом, для каждого рационального k существует одно и только одно рациональное решение.

Если заданное уравнение имеет вид

y² = а²х² + bх + с, (9)

то Диофант несколько видоизменяет прием, полагая

y² = ax + m.

Тогда

x = (c- m²)/(2am – b).

Постараемся выяснить геометрический смысл этой второй подстановки. Для этого нам придется перейти к однородным или проективным координатам. Поскольку

координаты очень удобны для исследования свойств алгебраических кривых и мы будем неоднократно применять их в дальнейшем, остановимся на этом вопросе подробнее. До сих пор мы рассматривали, как это принято в аналитической геометрии, аффинную плоскость R⁽²⁾, каждая точка которой задается упорядоченной парой действительных чисел (х, у). Теперь рассмотрим проективную плоскость Р⁽²⁾, каждую точку которой будем характеризовать упорядоченной тройкой действительных чисел

(u, v,z) , из которых хотя бы одно отлично от нуля. Точки (u, v,z) и (u₁, v₁,z₁) будем считать одинаковыми тогда и только тогда, когда и u₁ = ku , v₁ = kv и z₁ = kz , причем k неравно 0. Таким образом, бесконечно много троек определяют одну и ту же точку. Любой набор u, v,z задающий точку, называется ее однородными координатами.

Установим теперь соответствие между точками плоскостей R⁽²⁾ и P⁽²⁾ Пусть (u, v,z) есть некоторая точка P⁽²⁾. Если z неравно нулю, то возьмем тройку (u/z, v/z, 1), которая определяет ту же точку. Поставим в соответствие этой точке точку плоскости R⁽²⁾ с координатами (х, у),

где х = u/z , у = v/z.

Если же z= 0, то точке (u, v,0) не будет отвечать ни одна точка плоскости R⁽²⁾. Такие точки будем называть бесконечно удаленными или несобственными. Все такие точки лежат на бесконечно удаленной прямой z = 0. Поскольку координата вполне равноправна с остальными координатами,

то мы получаем возможность рассматривать на плоскости P⁽²⁾ бесконечно удаленные точки и бесконечно удаленную прямую как вполне равноправные с конечными точками и прямыми.

Для перехода от уравнения

f(х, у) = 0,

записанного в аффинных координатах, к уравнению в однородных координатах полагаем

х = u/z , у = v/z.

Сделав соответствующую подстановку и приведение к общему знаменателю, получим уравнение

Ф(u, v,z) = 0,

где Ф(u, v,z) многочлен относительно u, v и z . Например, уравнение гиперболы

x² – y² = 1

в однородных координатах примет вид

u² – v² = z²

Чтобы найти бесконечно удаленные точки этой кривой, положим z = 0 (иначе говоря, найдем ее точки пересечения с бесконечно удаленной прямой). Тогда v = +(-) u,

т. е. получим две точки (1, 1,0) и (1,—1, 0) . Обе они имеют рациональные координаты. Такие точки называют рациональными бесконечно удаленными.

Вернемся к подстановке Диофанта. Уравнение (9) в однородных координатах запишется так:

v² = a² u² + buz + cz² (9’)

Точки (1, а, 0) и (1, —а, 0) будут ее рациональными бесконечно удаленными точками. Проведем через первую из них прямую. Общее уравнение прямой в однородных

координатах имеет вид

Аu + Вv + Сz = 0.

Но наша точка лежит на этой прямой, т. е.

А*1 + В*a + С*0 = 0.

Значит, можно положить А = ka, В = —k, С = km, где m

произвольно. Таким образом, уравнение искомой прямой будет

аu – v + mz = 0,

или, снова переходя к аффинным координатам, получим у = ах + m

Но это и есть подстановка, примененная Диофантом. Итак, она эквивалентна проведению произвольной прямой через рациональную бесконечно удаленную точку кривой (9). Оговоримся сразу же, что мы вовсе не считаем, будто Диофант имел понятие о бесконечно удаленных точках кривой. Он просто пользовался эквивалентными соображениями. В истории математики нам известно немало примеров, когда основные факты некоторой теории были найдены до возникновения самой теории и до возникновения ее основных понятий. Так было, например, с арифметикой квадратичных полей, которая была построена Эйлером, Лагранжем и Гауссом до введения квадратичных полей и даже до появления понятия алгебраического числа. Это было сделано в рамках теории квадратичных форм, но открытые там факты были эквивалентны арифметике квадратичных полей.

Так было и в «Арифметике» Диофанта, где некоторые общие предложения алгебраической геометрии были открыты и изучены, но без геометрической интерпретации, в рамках чистой алгебры и теории чисел.

Зададимся теперь вопросом, знал ли Диофант, что число решений поставленных им задач бесконечно? Или он, действительно, довольствовался нахождением одного рационального решения?

В книге II он ничего не говорит об этом и бесконечность решений можно усмотреть только из метода Диофанта. Однако в задаче 19 книги II он пишет: «мы уже знаем, что заданный квадрат можно разбить на два квадрата бесконечным числом способов». Далее, задачу 19 книги IV Диофант формулирует так:

«Найти общие (или неопределенные) выражения для трех чисел таких, что произведение любых двух из них вместе с единицей давало бы квадрат».

Диофант находит эти выражения в виде х + 2, х и 4х + 4 и пишет:

«Итак, проблема решена с помощью общих выражений (или в неопределенном виде), так что произведение любых двух из них вместе с единицей дает квадрат, как бы ни было выбрано х. Ибо найти общие (или неопределенные) выражения означает дать такую формулу, что, каково бы ни было значение х, после его подстановки удовлетворяются условия (задачи)».

Заметим, что методы Диофанта для решения неопределенных уравнений

y² = ах² + bх + с

совпадают с так называемыми «подстановками Эйлера», которые хорошо известны каждому, изучавшему математический анализ. И там и тут х и у выражаются с помощью рациональных функций от одного параметра; делается это с помощью одних и тех же подстановок, только при

вычислении интеграла dx / ( ax²+bx²+c ) нам не нужно требовать, чтобы

коэффициенты этих функций сами были рациональными числами. Поэтому можно положить

y = ax + t или y = xt + c

У Диофанта же, поскольку речь шла о рациональных точках, все подстановки должны были иметь рациональные коэффициенты. Поэтому ему приходилось учитывать это добавочное требование.

Примеры решения Диофантовых уравнений

1. Решите в целых числах уравнение xy = x + y

Решение:

Имеем ху – х – у + 1 = 1

или (х – 1)(у – 1) = 1

Поэтому

х – 1 = 1,

у – 1 = 1, откуда х = 2, у = 2

или

х – 1 = – 1,

у – 1 = – 1, откуда х = 0, у = 0

других решений в целых числах данное уравнение не имеет.

2. Решите в целых числах уравнение 60х – 77у = 1.

Решение:

Разрешим это уравнение относительно х:

х = (77у + 1) / 60 = (60у + (17у +1)) / 60 = у + (17у + 1) / 60.

Пусть (17у + 1) / 60 = z, тогда у = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Если обозначить (9z – 1) / 17 через t, то z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Наконец, пусть (- t + 1) / 9 = n, тогда t = 1- 9n. Так как мы находим только целые решения уравнения, то z, t, n должны быть целыми числами.

Таким образом, z = 2 – 18n + 2 = 2 – 17n, а поэтому

у = 6 – 51n + 1 – 9n = 7 – 60n, х = 2 – 17n +7 – 60n = 9 – 77n. Итак, если х и у – целые решения данного уравнения, то найдется такое целое число n, что

х = 9 – 77n, y = 7 – 60n. Обратно если у = 9 – 77n, х = 7 – 60n, то, очевидно,

х, у – целые. Проверка показывает, что они удовлетворяют исходному уравнению.

3. Решите в целых положительных числах уравнение х² - ху + 2х – 3у = 11.

Решение:

Данное уравнение можно переписать в виде

х² + 2х - 11 = у(3 + х),

откуда

у = х² + 2х - 11 / (3 + х) = х² + 2х - 3 - 8 = (3 + х) = ((х - 1)(х + 3) – 8) /

/ (х+3)

Итак, у = х – 1 – 8 / (х + 3).

Для того чтобы у было целым числом, необходимо и достаточно, чтобы х + 3 было делителем числа 8, и так как мы ищем только положительные значения х, то должно быть х + 3 = 8 или х + 3 = 4, откуда х =5. у =3; х = 1, у = -2. Второе решение не удовлетворяет условию задачи. х =5. у =3

4. Решить в натуральных числах х⁴ + 2х⁷ у – х¹⁴ - у² = 7

Решение:

Перепишем данное уравнение в виде:

– х¹⁴ – х⁹ + х⁷ у + х⁹ + х⁴ – х² у + х⁷у + х² у - у² = 7,

или

– х⁷ (х⁷ + х² – у) + х² (х⁷ + х² – у) + у (х⁷ + х² – у) = 7,

или

(х⁷ + х² – у)(- х⁷ + х² + у) = 7.

Поскольку делителями 7 являются лишь числа -1, 1, -7, 7, то искомые числа х и у надо искать среди решений следующих четырех систем:

х⁷ + х² – у = 1,

(1)

- х⁷ + х² + у = 7,

х⁷ + х² – у = -1,

(2)

- х⁷ + х² + у = -7,

х⁷ + х² – у = 7,

(3)

- х⁷ + х² + у = 1,

х⁷ + х² – у = -7,

(4)

- х⁷ + х² + у = -1,

Первая система имеет единственное решение в натуральных числах х = 2,

у = 131, третья система имеет также единственное решение в натуральных числах х = 2, у = 125. Вторая и четвертая системы не имеют решения в натуральных числах. Данное уравнение имеет два решения в натуральных числах: х = 2, у = 131; х = 2, у = 125.

5. Решите систему

8х + 5у + z = 100

х + у + z = 20

уравнений в целых положительных числах.

Решение:

Вычитая из первого уравнения второе, получим

7х + 4у = 80

откуда

у = 20 – 7х / 4

Поскольку х и у должны быть целыми положительными числами, то легко установить, что х может иметь только два значения: 4 и 8, а соответствующие значения у таковы: 13 и 6. Находим z, z равно 3 и 6.

Итак, система имеет два решения:

х = 4, у = 13, z = 3; x = 8, y = 6, z = 6.

6. Решить в целых положительных числах систему уравнений:

х² + 5у² +4z² + 4ху + 4 уz = 125 1

х² + 3у² - 4z² + 4ху - 4уz = 75 2

Сложив оба уравнения, получим:

2х² + 8у² + 8ху = 200,

или

х² + 4у² + 4ху = 100,

или

(х + 2у) ² = 100,

откуда (1)

х + 2у = 10,

Вычитая второе уравнение из первого, получим:

2х² + 8у² + 8ху = 50,

или

(у + 2z) ² = 25,

откуда

у + 2z = 5 (2)

Умножая обе части уравнения (2) на 2 вычитая затем новое уравнение из (1), получим:

х – 4z = 0, т.е. х = 4z. (3)

Таким образом, из (2) и (3) следует:

х = 4z, у = 5 – 2z.

Так как z 0 и y 0, то возможны лишь два случая:

а) z = 1, у = 3, х = 4; б) z = 2, у = 1, х = 8;

7. Докажите, что 2х² – 4х – 5у² – 10у = 10 не имеет решений в целых числах.

Доказательство:

Перепишем данное уравнение так:

2х² – 4х – 10у – 10 = 5у²

Левая часть этого уравнения есть четное число; следовательно, правая часть тоже должна быть четным числом, т. е. у = 2z. Тогда уравнение примет вид:

2х² – 4х – 20z² – 20z = 10

Если х - четное число. То левая часть есть число, делящееся на 4, а правая часть не делится на 4. Допустим, что х – нечетное. Пусть х = 2t + 1.

Тогда имеем:

8t² – 8t + 2 – 8t – 4 – 20z² – 20z = 10,

или

8t² – 20z (z + 1) = 12

Так как произведение z (z +1) четно, то левая часть последнего уравнения делится на 8. Но правая часть не делится на 8. В силу изложенного данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Приложение (чертежи)

Заключение

Диофантовы уравнения это актуальная и наше время тема, т. к. решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ. А ведь именно Диофант положил начало этому математическому разделу. И в этом его большая заслуга.

Список литературы 1. Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения [Текст]. – М.: «Наука», 1972 г. - 68 с. 2. Бухштаб, А. А. Теория чисел [Текст]. - М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960. - 378 с. 3. Виноградов, И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд. [Текст]. – СПб.: Издательство «Лань», 2006. - 176 с. 4. Гаусс, Карл Фридрих Труды по теории чисел. Под общей ред. Виноградова И.М. [Текст] – М.: Изд. академических наук СССР, 1959 г. - 980 с. 5. Гельфонд, А.О. Решение уравнений в целых числах. Популярные лекции по математике, вып. [Текст]. М.: «Гостехиздат», 1957 г. - 66 с. 6. Давенпорт, Г. Введение в теорию чисел [Текст]: Пер. с английского Мороза Б.З. под ред. Линника Ю.В. – М.: «Наука», 1965 г. - 176 с. 7. Матисеевич, Ю.В. Десятая проблема Гильберта [Текст]. - М.: «Физматлит», 1973 г. - 224 с. 8. Михелович, Ш.Х. Теория чисел [Текст]. – М.: «Высшая школа», 1962 г. - 260 с. 9. Соловьев, Ю. Неопределенные уравнения первой степени [Текст]: Квант, 1992 г., №4. 10. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики [Текст]. – М.: «Наука», 1990 г. - 256 с.