Числовые последовательности

Числовые

последовательности

Определение числовой последовательности

Функцию вида

называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью.

Обозначают y=f(n) или y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n , …

Рассмотрим функцию

График состоит из отдельных точек.

…

Получим последовательность чисел

1, 4, 9, 16, 25, …, , …

Последовательность квадратов натуральных чисел

– I член последовательности

– II член последовательности

– III член последовательности

– n -ый член последовательности

Способы задания последовательности

Аналитическое задание числовой последовательности.

Последовательность задана аналитически , если указана формула ее n -го члена

Пример 1:

y n =n 2

последовательность 1,4,9,16,…, n 2 ,…

Способы задания последовательности

Аналитическое задание числовой последовательности.

Пример 2:

Найти первый, третий и шестой члены последовательности

Способы задания последовательности

Аналитическое задание числовой последовательности.

Пример 3:

Задать последовательность формулой n -го члена:

а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

Способы задания последовательности

Словесное задание числовой последовательности.

Правило составления последовательности описывается словами

Пример :

последовательность простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

последовательность кубов натуральных чисел

1, 8, 27, 64, 125, …

Способы задания последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Указывается правило позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным ( от латинского recurrere – возвращаться)

Способы задания последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Пример 1:

y 1 =3, y n = y n-1 + 4 , если n = 2, 3, 4, …

Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4

y 1 = 3 y 2 = y 1 + 4= 3 + 4 = 7

y 3 = y 2 + 4= 7 + 4 = 11 y 4 = y 3 + 4= 11 + 4 = 15 и т.д.

Получаем последовательность

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Способы задания последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Пример 2:

y 1 =1, y 2 =1, y n = y n-2 + y n-1

Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов

y 1 =1 y 2 =1 y 3 = y 1 + y 2 = 1 + 1 = 2

y 4 = y 2 + y 3 = 1 + 2 = 3 y 5 = y 3 + y 4 = 2 + 3 = 5 и т.д.

Получаем последовательность

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Способы задания последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Выделяют 2 особенно важные рекуррентно заданные последовательности:

1) Арифметическая прогрессия

у 1 = а, у n = у n-1 + d , а и d – числа, n = 2, 3, …

2) Геометрическая прогрессия

у 1 = b, у n = у n-1 · q, b и q – числа, n = 2, 3, …

1 , то последовательность у n = а n – возрастает. Последовательность (у n ) – убывающая , если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у 1 у 2 у 3 у 4 … у n … Пример: -1, -3, -5, -7, -9, … Если 0 , то последовательность у n = а n – убывает. " width="640"

Монотонные последовательности

Последовательность (у n ) – возрастающая , если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т.е. у 1 2 3 4 n

Пример:

2, 4, 6, 8, 10, …

Если а 1 , то последовательность у n = а n – возрастает.

Последовательность (у n ) – убывающая , если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у 1 у 2 у 3 у 4 … у n …

Пример:

-1, -3, -5, -7, -9, …

Если 0 , то последовательность у n = а n – убывает.