Бином Ньютона

Занятие №56

Өту уақыты/Date/Дата проведения: 21 апреля 2020 год

Пән/Subject/Дисциплина: математика

Курс/Course/Курс: первый

Топ/ Group/Группа: ФХ 11

Мамандық/Occupation/Специальность: Фермерское хозяйство (Тракторист – машинист сельскохозяйственного производства)

Оқытушы/ Teacher/Преподаватель: Сапаева В.Н.

Сабақтың тақырыбы/The theme of the lesson/Тема урока Бином Ньютона.

Сабақтың мақсаты/The aims of the lesson/Цели урока

Білімдік / Educational / Образовательная: формировать понятие о биноме Ньютона, навыки применения бинома Ньютона

Дамытушылық / Developing / Развивающая: развивать логическое мышление, память, внимание, умение сравнивать, анализировать;

Тәрбиелік / Upbringing / Воспитательная: воспитывать математическую культуру, трудолюбие, самостоятельность, умение контролировать свои действия.

Учебная литература: Учебник (1, 2 часть) «Алгебра и начала анализа» для 10 класса естественно-математического направления, А. Абылкасымова, Т. Кучер В. Корчевский, З. Жумагулова, Алматы, «Мектеп», 2019. §25 с. 188-190

Задание:

1. Рассмотрите теоретические сведения, запишите определения, формулы

2. Просмотрите учебное видео, пройдя по ссылке https://www.youtube.com/watch?v=9wF8JDBP6jg

3. Выполните задания для самостоятельного решения

4. Отправьте выполненную работу преподавателю

Критерии оценивания:

При оценивании учитывается уровень сложности и правильность выполненных заданий

Выполнен уровень А – оценка «3»

Выполнены уровень А и В – оценка «4»

Выполнены уровень А, В и С – оценка «5»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Бином Ньютона

Для любого натурального числа   n   и любых чисел  x  и  y  справедлива формула бинома Ньютона:

– числа сочетаний из  n  элементов по  k  элементов.

      В формуле слагаемые называют членами разложения бинома Ньютона, а числа сочетаний   – коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами.

      Если в формуле (1) заменить   y   на   – y ,   то мы получим формулу для   n - ой степени разности:

Свойства бинома Ньютона

Число слагаемых на 1 больше степени бинома.

Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля или равны числу сочетаний , где n – степень двучлена , k – переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

Коэффициенты симметричны.

Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.

Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.

Сумма коэффициентов разложения (x + y) ⁿ равна  2n.

Любой член бинома определяется по формуле

где k меняется от 0 до n

Вы наверняка помните, формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых.

Это и есть разложения бинома Ньютона для n =2 и n=3.

Согласитесь, что возводя в степень бином, вычислять коэффициенты через сочетания достаточно трудоемко. Чтобы облегчить эти вычисления, используют: Треугольник Паскаля

0

1

1

1     1

2

1     2     1

3

1     3     3     1

4

1     4     6     4     1

5

1     5     10     10     5     1

6

1     6     15     20     15     6     1

…

Треугольник Паскаля

0

1

2

3

4

5

6

…

Пример1. Записать разложение 4-й степени бинома

_{Решение}: Коэффициенты разложения берем из 4-й строки треугольника Паскаля и используем формулу Ньютона:

Пример2. Найдите третий и пятнадцатый члены бинома (х + а)¹⁶

_{Решение}:

Пример 3. Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона

Решение:

(1- 2а)⁴ = 1 * 1⁴ (2а)⁰ – 4* 1³ 2а + 6*1² (2а)² - 4 * 1¹ * (2а)³ + 1 * 1⁰(2а)⁴ == 1 - 8а + 24а² - 32а³ + 16а⁴.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Уровень А

Разложите биномы

Уровень В

Найдите

1. Третий член бинома (а + b⁾⁹

2. Шестой член бинома (а + b)¹⁵

Указание: примените формулу

Уровень С

Представьте в виде многочлена степень

1. (3х+2а)⁶