Билеты алгебра + геометрия 8 класс

Билет №1

1. Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказательство одной теоремы по выбору учащихся)

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны.

Как выглядит параллелограмм:

Признаки:

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

AB || CD

AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

AC — общая сторона;

По условию AB = CD;

∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

∠3 = ∠4

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

AB = CD

BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

AC — общая сторона;

AB = CD по условию;

BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

∠ DCA = ∠BAC

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

∠DAC = ∠BCA

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

CO = OA;

DO = BO;

углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. ЧТД.

2. Задача на упрощение выражения

10√3-4√48-√75=10√3-4√ (16*3) - √ (3*25) = 10√3-4*4√3-5√3=√3 (10-16-5) = - 11√3

3. Задача на применение свойств параллелограмма

Один из углов параллелограмма равен 150. Найдите остальные углы
Решение А+Б=180
А=180-Б=180-105=75
С=А=75
Д=Б=105

Билет №2

1. Средняя линия трапеции. Свойство средней линии трапеции (доказательство)

Свойства средней линии трапеции

1. Длина средней линии равна половине суммы длин ее оснований:

1. Средняя линия всегда параллельна ее основаниям.

Доказательство теоремы о средней линии трапеции

Доказать, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

Дана трапеция ABCD со средней линией KL. Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B и L. На рисунке 2 это прямая BQ. А также продолжить основание AD до пересечения с прямой BQ.

Рассмотрим полученные треугольники LBC и LQD:

1. По определению средней линии KL точка L является серединой отрезка CD. Отсюда следует, что отрезки CL и LD равны.

2. ∠ BLC = ∠ QLD, так как эти углы вертикальные.

3. ∠ BCL = ∠ LDQ, так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD.

Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠LBC = ∠LQD, BC=DQ и самое главное BL=LQ = KL, являющаяся средней линией трапеции ABCD, также является и средней линией треугольника ABQ. Согласно свойству средней линией треугольника ABQ получаем:

1. KL = 1/2AQ = 1/2 (AD+DQ) = 1/2 (AD+BC)

2. KL || AD по свойству средней линии треугольника. А так как AD || BC по определению трапеции, то KL || BC.

2. Задача на решение неравенства

9(х + 2) ≥ 15 + 3х
9х + 18 ≥ 15 + 3х
9х – 3х ≥ 15 – 18
6х ≥ – 3
х ≥ – 0,5

3. Задача на применение свойства описанной окружности

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82 и 58. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180. Пусть угол A равен 82. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол B равен 58, то угол D равен 180-58=122.

Ответ: 122

Билет №3

1. Многоугольник. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Виды многоугольников. Стороны, внутренние углы, внешние углы, диагонали многоугольника. Сумма углов выпуклого многоугольника (вывод формулы).

Многоугольник – это простая замкнутая ломаная линия и конечная часть плоскости, которую она ограничивает.

Каждый многоугольник имеет вершины, стороны, внутренние и внешние углы.

Вершины ломаной линии называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной стороне, называется диагональю многоугольника.

Многоугольник с наименьшим количеством углов, вершин и сторон является треугольник.

Каждый многоугольник характеризуется площадью и периметром.

Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника.

Площадь для различных n - угольников рассчитывается по-разному, в зависимости от n.

Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который полностью лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через его соседние вершины.

Многоугольник, у которого все углы меньше 180°, называется выпуклым многоугольником.

 Пятиугольник ABCDE является выпуклым многоугольником. 

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n – 2) ∙ 180⁰

Диагональ – это отрезок соединяющий две вершины, не лежащие на одной стороне.

n - угольник – это многоугольник, в котором n вершин, n сторон и n углов.

При этом n ≥ 3.

Количество диагоналей в n-угольнике равно 180°⋅(n−2).

Таким образом треугольники не имеют диагоналей, т.к. каждая вершина является соседней всем остальным.

Правильный многоугольник – это многоугольник, стороны и углы которых равны между собой.

В таком случае каждый угол правильного многоугольника будет равен:

Так же диагонали правильного многоугольника равны.

Периметр правильного n-угольника:

P=a∙n

где a – длина его стороны.

Примерами правильных многоугольников служат правильный треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д.

УГЛЫ, ВЫСОТЫ И ПЛОЩАДИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ:

1. Правильный треугольник:

• Все углы правильного треугольника равны по 60⁰

• Высота правильного треугольника равна:

ℎ=a√3/2

• Тогда площадь правильного треугольника через его высоту:

ℎ=a²√3/4

2. Правильный четырёхугольник:

• Все углы квадрата равны по 90⁰

• Высота квадрата (правильного четырёхугольника) равна его стороне:

h=a

• Тогда его площадь равна:

S=a²

3. Правильный шестиугольник:

• Все углы правильного шестиугольника равны по 120⁰

• Правильный шестиугольник можно представить как шесть одинаковых правильных треугольников. Тогда высота шестиугольника будет равна двум высотам этого треугольника:

h=a√3​

• Тогда площадь правильного шестиугольника равна площади шести правильных треугольников, из которых он состоит:

S=3a²√3​​/2

У каждого правильного многоугольника совпадают центры вписанной и описанной окружностей:

2. Задача на нахождение суммы корней квадратного уравнения.

х²-13x-7=0

Дискриминант квадратного уравнения ах²+вх+с=0, определяется по формуле Д=в²-4ас

Д=(-13)²-4*1*(-7)=169+28=197

Корни квадратного уравнения определим по формуле

х₁=-в+√Д/2а=13+√197/2*1=13+√197/2

х₂=-в-√Д/2а=13-√197/2*1=13-√197/2

х₁+ х₂=(13+√197)/2+(13-√197)/2=(13+√197+13-√197)/2=26/2=13

3. Задачи на использование тригонометрических тожеств.

Вычислить sin α, если . Решение. Из основного тригонометрического тождества получаем: . Теперь остаётся извлечь квадратный корень и поставить правильный знак у синуса. Вот для этого и дана дополнительная информация об угле. Т очка α расположена в первой четверти, так что sin α 0 (рис. 1). Поэтому

Рис. 1. sinα 0

Билет №4

1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма (доказательство одной теоремы по выбору учащихся)

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны.

Как выглядит параллелограмм:

Свойства:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.

∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.

Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:

CO = AO

BO = DO

Теорема доказана. Наше предположение верно.

2. Задача на решение дробно-рационального уравнения

(х-2) (х-4) = (х+2) (х+3)

х²-4х-2х+8 = х²+3х+2х+6

х²-6х-х²-5х = 6-8

-11х = -2

х = -2:(-11)

3. Задача на применение свойства биссектрисы угла треугольника.

Периметр треугольника ABC равен 40 см. Стороны AC=15 см и AB=9 см. Найдите BD и DC, если AD– биссектриса угла BAC.

Решение:

Р_АВС = АВ+АС+ВС

9+15+ВС = 40

ВС = 16 см

AD– биссектриса

BD = 3x, DC = 5x

BD + DC = BC

3x + 5x = 16

x = 2

BD = 3 · 2 = 6 см, DC = 5·2 = 10 см.

Ответ: 6 см; 10 см.

Билет №5.

1. Частные виды параллелограмма. Прямоугольник. Свойства прямоугольника (доказательство одной теоремы по выбору учащихся)

Рассмотрим частные случаи параллелограмма:

1.      Прямоугольник. Параллелограмм, один из углов которого равен   (см. Рис. 2).

Поскольку один угол данного параллелограмма равен  , можем сделать вывод, что все углы прямоугольника составляют  .

Рис. 2

Определение

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого хотя бы один угол равен 

Итак, если хотя бы один угол параллелограмма равен  , то это прямоугольник. Одного угла достаточно в силу свойств параллелограмма, согласно которым противоположные углы параллелограмма равны, а сумма углов при одной стороне составляет  .

Все свойства параллелограмма присущи прямоугольникам:

- противоположные стороны равны;

- противоположные углы равны;

- диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;

Собственные свойства прямоугольника:

- диагонали прямоугольника равны АС = BD.

Если в параллелограмме диагонали равны, то данный параллелограмм является прямоугольником. Чтобы доказать данный факт, нужно доказать, что хотя бы один угол заданного параллелограмма прямой.

2. Задача на производительность.

Производительность - Это отношение объема проделанной работы ко времени, за которое она была сделана

Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 18 часов 40 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 40 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение.

Пусть вторая труба наполняет резервуар за x часов. Первая труба заполняет бассейн за  40 часов, а обе за   часа. Условно примем объем резервуара за 1. Тогда первая труба будет наполнять его со скоростью 1/x, а вторая со скоростью 1/40. И так как обе трубы заполняют этот резервуар за 56/54 часа, то можно записать уравнение:

откуда

Ответ: 35.

3. Задача на применение свойства ромба.

В ромбе ABCD угол DAB равен 36^∘. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

По свойству ромба соседние углы в сумме дают 180^∘.

Тогда ∠D=180^∘−36^∘=144^∘.

По свойству ромба диагонали являются биссектрисами углов.

Тогда ∠BDC=∠BDA=144^∘/2=72^∘.

Ответ: 72^∘. 

Билет №6

1. Ромб. Свойства ромба (доказательство одной теоремы по выбору учащихся).

Чтобы нарисовать ромб, нужно провести две взаимно перпендикулярных прямых, отложить на одной из них в обе стороны равные отрезки, на другой также отложить в обе стороны равные отрезки, и соединить полученные четыре точки.

Определение

Ромбом называется параллелограмм, у которого соседние стороны равны.

Ромбу, как и прямоугольнику, присущи все свойства параллелограмма:

Свойства ромба, присущие только ему

   В случае, если углы ромба равны 90 градусам, то он является квадратом и обладает свойствами квадрата

Докажем, что диагонали ромба перпендикулярны. Рассмотрим треугольник  . Он равнобедренный, АВ = ВС, точка О – середина основания АС, т.к. диагонали ромба, как любого параллелограмма, точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, ВО – медиана. Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой, таким образом,  . Мы доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Признак ромба

Если все стороны четырехугольника равны, то данный четырехугольник – ромб.

2. Задача на упрощение выражение с квадратными корнями.

3. Задача на использование свойства хорд окружности.

Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Найдите длину AB, если CE=8 см, DE=9 см, а длина AE в два раза больше длины BE.

Билет №7

1. Свойство медианы треугольника (доказательство).

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Все медианы пересекаются в одной точке.

Основные свойства медиан треугольника

1. Все три медианы пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести треугольника или барицентром. Это означает, что линии, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон, имеют общее пересечение.

2. Медианы делятся центром тяжести треугольника в отношении 2:1. То есть, если мы измерим отрезок между вершиной и центром тяжести, то он будет в два раза больше, чем отрезок между центром тяжести и серединой противоположной стороны.

3. Медианы являются линиями симметрии треугольника. Если повернуть треугольник на 180 градусов относительно центра тяжести, то каждая медиана совпадет со своей симметричной линией.

4. Медианы делят площадь треугольника на шесть равных частей. Если мы соединим центр тяжести треугольника с концами медиан, то получим четыре треугольника, площади которых будут равны между собой и каждая будет составлять 1/6 от площади исходного треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC и медиану AM.

1. Проведем медиану AM.

2. Так как точка M является серединой стороны BC, то BM = MC.

3. Рассмотрим треугольники ABM и ACM. В них AD является общей стороной, а углы BAC и BMA равны, так как они соответственные. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу, и по теореме равенства треугольников они равны в целом. Значит, AM = MC и BM = MC.

Таким образом, медиана AM делит сторону BC пополам, что и требовалось доказать.

2. Задача на решение системы неравенств.

1. Проверим, что неизвестное находится слева.

2. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным в каждом из них.

Ответ: числовой промежуток x ∈ (– 2; 0]

3. Задача на применение свойства ромба.

Диагонали ромба равны 48 см и 14 см. Найти его сторону и радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим ромб ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О (рис. 2).

У ромба диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому имеем:

AО = AC/2 = 7 cм, BО = BD/2 = 24 см.

Треугольник AОB – прямоугольный, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Значит по теореме Пифагора АВ² = AО² + BО².

Имеем AB² = 7² + 24² или

AB² = 49 + 576, АВ² = 625, значит АВ = 25 см. 

Так как OМ перпендикулярно АВ, то

S = 1/2 · BD · AC = 48 · 14/2 = 336 (см²)

Кроме того, зная, что S = 2 · r · a, где r – радиус вписанной окружности, а – сторона ромба, имеем:

r = S/(2а);

r = 336/50 = 6,72 (см).

Ответ: 25 см, 6,72 см.

Билет №8

1. Площадь параллелограмма (доказательство).

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

S=a*h

Доказательство

Если параллелограмм — прямоугольник, то равенство выполнено по теореме о площади прямоугольника. Далее считаем, что углы параллелограмма не прямые.

Пусть в параллелограмме ABCD угол ∠BAD острый и AD AB. Иначе переименуем вершины. Тогда высота BH из вершины B на прямую AD падает на сторону AD, так как катет AH короче гипотенузы AB, а ABAD.

Основание K высоты CK из точки  C на прямую AB лежит на продолжении отрезка AD за точку D , так как угол ∠BAD  острый, а значит  ∠CDA тупой. Вследствие параллельности прямых BA и CD . ∠BAH=∠CDK. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники  ABH= DCK равны.

Сравним площадь параллелограмма ABCD и площадь прямоугольника HBCK. Площадь параллелограмма больше на площадь DCK , но меньше на на площадь . Так как эти треугольники равны, то и их площади равны. Значит, площадь параллелограмма равна площади прямоугольника со сторонами длиной в сторону и высоту параллелограмма.

2. Задача на применение свойства степени.

3. Задача на применение свойств в прямоугольном треугольнике.

Найти углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла, равен 18°.

Решение:

CH-высота, значит CHB - прямоугольный. ∠DCB=45° (CD - биссектриса.), значит ∠HCB=45°+18°=63° ∠B=90°–63°=27°, ∠А=90°–27°=63°, ∠С=90°

Ответ: 27°, 63°, 90°.

Билет № 9

1. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника (доказательство).

Определение. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника. На Рис. 3 MN - средняя линия треугольника  , BC - основание.

Теорема 3. Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине (Рис. 3).

.

Доказательство.

По условию известно, что  .

Рис. 3

Рассмотрим   и  :

по второму признаку подобия треугольников. Следовательно, ∠1=∠2 как соответственные, а по признаку параллельности прямых:  . Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Кроме того, из подобия треугольников   можно выписать и отношение их третьих сторон  . То, что средняя линия равна половине соответствующего основания, доказано.

Доказано.

2. Задача на установление соответствия между графиками функций и их уравнениями.

Ответ А – 1, Б – 3, В – 2.

3. Задача на применение свойств касательной к окружности.

Решение:

Билет № 10

1. Площадь треугольника. Вывод формулы.

2. Задача на решение неравенства с помощью координатной прямой.

Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:
а) (13x-1)/2
в) x/4 - x/5 ≤ 2;    г) 2y/5 - y/2 ≥ 1.

3. Задача на применение свойства трапеции.

В мастерской мастеру заказали решётку из металлических прутьев. Мастер на своём эскизе отметил только несколько величин.
Вычисли, сколько метров прута нужно для изготовления заказа.

Билет № 11

1. Площадь ромба. Вычисление площади ромба через диагонали (вывод формулы).

Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

S = (AC · BD) / 2.

Так же площадь ромба можно найти с помощью следующих формул:

1. S = a · H, где a — сторона, H — высота ромба.

2. S = a² · sin α, где α — угол между сторонами, a — сторона ромба.

3. S = 4r² / sin α, где r — радиус вписанной окружности, α — угол между сторонами.

Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Построим эскиз – ABCD это ромб:

Мы знаем, что диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом. Докажем, что:

Доказательство первое. Используем формулу площади треугольника. Ромб состоит из двух треугольников ABC и ADC. Можем записать:

Доказано.

Второе доказательство. Выполним дополнительные построения – построим прямоугольник так что диагонали ромба будут параллельны сторонам этого прямоугольника:

Площадь прямоугольника равна:

Мы уже видим, что площадь ромба равна половине площади прямоугольника KLMN, так как прямоугольные треугольники образованные диагоналями ромба занимают ровно половину площади прямоугольника.  Подробнее: рассмотрим следующие треугольники, они равны

Можем записать:

Что и требовалось доказать.

Далее очевиден следующий вывод! Если в произвольном четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, то его площадь равна половине произведения диагоналей.
Эскиз:

Далее аналогично:

2. Задача на упрощение выражения.

10√3-4√48-√75=10√3-4√ (16*3) - √ (3*25) = 10√3-4*4√3-5√3=√3 (10-16-5) = - 11√3

3. Задача на нахождение площади параллелограмма.

Билет № 12

1. Площадь трапеции. Вывод формулы.

Трапеция — четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

S — площадь трапеции

a — основание

b — основание

h – высота

S=mh

S— площадь трапеции

ℎ — высота

m — средняя линия трапеции

S — площадь трапеции

a,b,c,d — стороны

S — площадь трапеции

d1, d2— диагонали

α — угол между диагоналями d1 и d2

S — площадь трапеции

r — радиус вписанной окружности

α — угол

2. Задача на движение по реке.

Лодка прошла 10 км по течению, а затем 5 км против течения. На весь путь лодка затратила 3 часа. Найдите среднюю скорость лодки на описанном участке пути, если скорость течения равна 2 км /ч. Ответ дайте в км/ч.

3. Задача на описанную окружность и вписанные углы.

В треугольнике ABC медиана CM равняется половине стороны AB. Длина медианы CM равна 1. Найти радиус описанной окружности (см. рис. 12).

Рис. 12.

Дано:  ; 

M – середина AB

CM = 1

Найти: R.

Решение

Докажем, что угол C равен 90 градусов. Есть три равных отрезка  CM=AM=MB.

 обозначим  , значит,   тоже  .   обозначим  , значит,   тоже  .

Сумма всех углов – 180 градусов, значит,  .

Углы   и   составляют угол  , значит, он равен 90 градусов. Таким образом, мы выяснили, что наш треугольник – прямоугольный.

Как мы знаем, в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, т.е. в точке  . Значит, радиус равен  .

Ответ: R=1.

Билет № 13

1. Теорема Пифагора (доказательство).

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

a2 + b2 = c2, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

a = √c2 − b2

b = √c2 − a2

c = √a2 + b2

Запоминаем.

в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a2 + b2 = c2.

Пошаговое доказательство:

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.

Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A — общий.

Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B — общий.

Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

Значит a2 = c * HB, b2 = c * AH.

Сложим полученные равенства:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

a2 + b2 = c * (HB + AH)

a2 + b2 = c * AB

a2 + b2 = c * c

a2 + b2 = c2

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.

Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

Проведём отрезок A₁B₁.

Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.

Таким образом получится:

Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,

A₁B₁ = AB по доказанному результату.

Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.

Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

2. Задача на решение неполного квадратного уравнения.

9x² + 4 = 0

Перенесем свободный член в правую часть:

9x² = - 4

Разделим обе части на 9:

x² = - 4/9

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

3. Задача на сумму углов многоугольника.

Чтобы найти сумму углов выпуклого многоугольника нужно использовать формулу: 180° (n - 2 ) ,  где n - число сторон многоугольника.

а) n = 6, получаем выражение: 180° × (6 - 2) = 180° × 4 = 720°.

б) n = 7, получаем выражение: 180° × (7 - 2) = 180° × 5 = 900°.

в) n = 8, получаем выражение: 180° × (8 - 2) = 180° × 6 = 1080°.

г) n = 10, получаем выражение: 180° × (10 - 2) = 180° × 8 = 1440°.

Ответ: 720°; 900°; 1080°; 1440°.

Билет № 14

1. Признаки подобия треугольников (доказательство одного по выбору учащихся).

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны  подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответсвенно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть заданы два треугольника   и   и пусть  ,  . Докажем, что   (Рис.2).

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то можно записать:

Таким образом углы треугольника   соответственно равны углам треугольника  . Покажем, теперь, что стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника, т. е. выполнено равенство (2).

Площади треугольников   и   по двум сторонам и углу между ними можно вычислить формулами:

Из (3) и (4), и из   следует:

С другой стороны:

Из (6) и (7), и из   следует:

Левые части уравнения (5) и (8) равны. Следовательно равны и правые части:

Умножая левую и правую части уравнения (9) на  , получим:

Продолжая аналогичные рассуждения, получим:

Сравнивая (8) и (11), получим:

Умножая левую и правую части уравнения (12) на  , получим:

Из (10) и (13), получим:

То есть стороны треугольника   пропорциональны сходственным сторонам треугольника  . Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть заданы два треугольника   и   и пусть  ,  . Докажем, что   (Рис.3).

Рассмотрим треугольник   у которого

Из условия (15) следует, что треугольники   и   подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно:

Но по условию теоремы  . Поэтому  . Треугольники   и   равны по двум сторонам и углу между ними (сторона AB общая,  ,   (поскольку   и  )). Следовательно   и поскольку  , то  .

Получили, что   и  . Тогда по первому признаку подобия треугольников  .

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть стороны треугольников пропорциональны:

Докажем, что  . Рассотрим треугольник   у которого  ,   (Рис.3). Треугольники   и   подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда выполнено следующее равенство:

Сравнивая равенства (16) и (17) получаем:  ,  .

Из этих рассуждений следует, что треугольники   и   равны по трем сторонам (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда  , а поскольку  , то  . Следовательно, по второму признаку подобия треугольников, треугольники   и   подобны:  .

Отношение площадей подобных треугольников

Теорема 4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Пусть треугольники   и   подобны. Тогда

и

где  -коэффициент подобия.

Площади треугольников   и   по двум сторонам и углу между ними равны:

Тогда

2. Задача на установление соответствия между графиками функций и их уравнениями.

Ответ А – 1, Б – 3, В – 2.

3. Задача на соотношение сторон подобных треугольников.

Начало формы

Известно, что два треугольника подобны: ΔROA∼ΔJVB. Не рисуя треугольники, напиши правильное отношение сторон треугольников.

ΔROA∼ΔJVB.

RO/JV=OA/VB=RA/JB

Билет № 15

1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

при проведении высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике возникают подобные треугольники и соответсвенно множество пропорциональных отрезков.

∆ACB - прямоугольный. Проводим CD - высоту из вершины прямого угла

Получим: ∆ADC ~ ∆ACB ~ ∆CDB (по двум углам)

Доказательство:

У маленьких треугольников с большим: по прямому углу и по 1 общему.

А у двух маленьких. Поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90˚, и два разных угла в двух треугольниках вместе дают угол С=90˚ (∠ACD+∠DBC=90˚), то получается, что ∠CBD=∠ACD

А в подобных треугольниках, соответсвующие стороны (напротив равных углов) пропорциональны:

То есть: из подобия ∆ADC ~ ∆CDB:

AD/CD = CD/DB, отсюда получаем:

CD² = AD•DB или

CD = √(AD•DB) - это важная формула которую стоит запомнить или уметь быстро выводить и знать, что есть такая. Данное выражение называется средним пропорциональным двух отрезков. Или средним геометрическим;

То есть высота в прямоугольном треугольнике из прямого угла - есть среднее пропорциональное между двумя отрезками, на которые она разбивает гипотенузу. Еще иногда такие отрезки называют проекциями катетов на гипотенузу.

Рассматривая подобие ∆ADC ~ ∆ACB:

AD/AC = AC/AB, откуда

AC² = AD•AB или AC = √(AD•AB) - Катет, есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

Аналогично другой катет: ∆ACB ~ ∆CDB

BC² = BD•AB или BC = √(BD•AB) - Катет, есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

2. Задача на применение свойств неравенств.

Возьмем конкретные числа вместо и букв и проверим каждое неравенство: а=3, m=2

1) -3*3 (получаем -9