3. Обратная функция

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

§3. Обратная функция

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Повторим

Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определенному правилу f число у , то, говорят, что на этом множестве задана функция .

D(f) – область определения функции;

х – независимая переменная или аргумент;

у – зависимая переменная;

множество всех значений y=f(x), xϵХ называют областью значений функции и обозначают E(f).

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Задача

Пусть дана функция y=f(x)

Найти значение функции в точке х=х 0

Например:

Найти значение функции у=5х+7 в точке х=7.

у(7)=5∙7+7

Ответ: у(7)=42

Прямая

Задача

Пусть дана функция y=f(x)

Найти значение аргумента в точке у=у 0

Например:

Дана функция у=5х+7. Найти значе-

ние аргумента при котором у=22.

22=5х+7

5х=22-7

5x=15

х=15:5

x=3

Ответ: у(3)=22

Обратная

=35+7=42

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Задача

Пусть дан закон изменения скорости движения от времени

Найти закон изменения времени от скорости.

Решение:

0 – gt=

gt= – 0

t=

Обратимая функция

Обратная функция к

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Если функция принимает каждое свое значение у только при одном значении x , то эту функцию называют обратимой .

Пусть обратимая функция. Тогда каждому из множества значений функции соответствует одно определенное число из области определения, такое, что Это соответствие определяет функцию от , которую обозначим . Поменяем местами и : Функцию называют обратной к функции . Обозначают .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример

Найти функцию, обратную функции

Решение:

Ответ:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

y

y

5

0

x

x

0

5

• D(y)= (; 5)

• E(y)= (; 0)

• D(y)= (; 0)

• E(y)= (; 5)

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Свойства обратных функций:

• Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции , а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции

• Монотонная функция является обратимой:

а) если функция возрастает, то обратная к ней функция также возрастает;

б) если функция убывает, то обратная к ней функция также убывает.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример

Показать, что для функции существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение:

Функция возрастает на R.

Значит, обратная функция существует на R.

Решим уравнение относительно . Получим,

Поменяв местами и получим:

Это и есть искомая обратная функция.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример

Дана функция

Доказать, что для нее существует обратная функция, записать аналитическое выражение обратной функции в виде и построить график обратной функции.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Решение:

Функция возрастает на промежутке значит, она имеет обратную функцию.

Из уравнения находим: или . Промежутку принадлежат лишь значения функции .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Поменяв местами и получим

График этой функции получается из графика функции с помощью симметрии относительно прямой .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина