28.23.Еще пример задания

Сколько различных решений имеет уравнение

¬((J → K) →(M  N))  ¬((M  N) → (¬J  K))  (M  N  K  L) = 0

где J, K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение (вариант 1, упрощение выражения):

1. перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

1. логическая сумма трех слагаемых равна нулю, поэтому каждое из них должно быть равно нулю

2. обозначим сумму двух первых слагаемых через и попытаемся «свернуть» ее; для этого представим импликацию в виде , тогда

1. выполним замены и , тогда

1. раскроем импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» ( ):

1. теперь применим формулу де Моргана :

1. заметим, что в третьем слагаемом тоже есть сомножитель , поэтому уравнение можно переписать в виде

или

1. это равенство выполняется, тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю;

2. учитывая, что в первом слагаемом есть сомножитель , а во втором – , это может быть в двух случаях:

1. – любое (0 или 1)

2. 

1. рассмотрим случай «а»: условию удовлетворяют 3 пары (M,N): (0,0), (0,1) и (1,0); из условия сразу получаем, что и ; учитывая, что – любое (0 или 1), в случае «а» получаем 6 разных решений;

2. в случае «б» условие сразу дает ; преобразуем второе условие с помощью формулы де Моргана:

это значит, что при получаем и – любое (2 решения), а при имеем и – любое (еще 2 решения)

1. проверяем, что все решения разные, поэтому всего найдено 6 + 2 + 2 = 10 решений

2. ответ – 10.

Решение (вариант 2, использование свойств импликации):

1. выполнив шаги 1-4 из первого варианта решения, получим

при заменах и

1. поскольку нужно, чтобы , оба слагаемых равны нулю, то есть, обе импликации истинны: и

2. отсюда по таблице истинности операции «импликация» находим, что это может быть в двух случаях:

1. – любое (0 или 1)

2. 

1. рассмотрим случай «а»: условию удовлетворяют 3 пары (M,N): (0,0), (0,1) и (1,0); из условия сразу получаем, что и ; учитывая, что – любое (0 или 1), в случае «а» получаем 6 разных решений;

2. в случае «б» условие сразу дает ; преобразуем второе условие с помощью формулы де Моргана и перепишем третье:

,

это значит, что при получаем и – любое (2 решения), а при имеем и – любое (еще 2 решения)

1. проверяем, что все решения разные, поэтому всего найдено 6 + 2 + 2 = 10 решений

2. ответ – 10.