20.11.Еще пример задания

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22.

Решение (1 способ):

1. Если число в системе с основанием оканчивается на 22, то

   1. , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 2

   2. это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

2. определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

3. очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

1. остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

или равносильное

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

1. получаем

   1. при :

   2. при : решения – не целые числа

   3. при : и , второе решение не подходит

   4. при : решения – не целые числа

2. таким образом, верный ответ: 6, 42.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1. запись числа 86 в системе с основанием оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления 86 на равен 2, то есть для некоторого целого имеем

1. таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

2. среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:

так что первый ответ: 42.

1. остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше

2. поэтому , следовательно,

3. по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому

4. итак: , и при этом – делитель 84; возможные значения (на 5,8 и 9 число 84 не делится)

5. переводя число 86 в системы счисления с основаниями , находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2):

   8	6		3				Дальше делить нет смысла	8	6		4							8	6		6					8	6		7
   8	4		2	8		3		8	4		2	1			4			8	4		1	4		6		8	4		1	2		7
   	2		2	7		9…			2		2	0			5…				2		1	2		2			2			7		1
   				1								1										2								5

6. таким образом, верный ответ: 6, 42.