2. Признаки делимости. Простые числа.

Признаки делимости. Простые числа.

Признаки делимости – это правила, которые говорят о делимости заданного числа на некоторое число, не производя фактического деления.

Свойства делимости.

Если каждое слагаемое делится на n, то и вся сумма делится на n. Обратное утверждать нельзя.

Если одно из двух чисел делится на n, а другое нет, то их сумма и разность не делятся на n.

Если один из множителей делится на n, то и все произведение делится на n.

Если первое число делится на второе, а второе на третье, то и первое число делится на третье.

Простые числа.

Натуральные числа делят на простые и составные.

Простые числа – это числа, имеющие ровно два различных натуральных делителя, т.е. делятся только на 1 и на само себя.

Составные числа – это числа, имеющие более двух различных натуральных делителей, т.е. кроме 1 и самого себя, делятся еще на какое-нибудь число.

Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.

Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.

Число 4 — первое наименьшее составное число.

В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.

А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.

Теорема: Любое натуральное число – это либо 1, либо простое число, либо составное число.

Чтобы проверить, является ли число простым, нужно перебрать его делимость на все делители до корня квадратного из исследуемого числа, т.е. разделить на 2, 3 ,5 ,7, …,